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(完)山东省济宁市2008—2009学年度高三第一阶段质量检测数学(理)试题2009.3


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山东省济宁市 2008—2009 学年度高三第一阶段质量检测 数学(理)试题
2009.3

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号、 考试科目用 2B 铅

笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之差为 A.0 B.-1 C.-3 2.为了解一片大约一万株树木的生长情况, 随机测量了其中 100 株树木的底部周长 (单位:㎝).根据所得数据画出的样本 0.04 频率分布直方图如图,那么在这片树木中, 底部周长小于 110 ㎝的株树大约是 0.02 A.3000 C.7000 B.6000 D.8000 0.01 O 3.已知集合 S ? {x 80 90 100 110 120 130 周长(㎝) D.3 频率/组距

x?2 ? 0} , T ? {x x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ≥ 0} (a ? R) ,若 S T ? R , x
C. 0 ≤ a ≤ 1 开始 D. 0 ? a ≤ 1

则实数 a 的取值范围是 A. ?1 ≤ a ≤ 1 B. ?1 ? a ≤ 1 4.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n , 利用如图所示的程序框图计算该数列的 第 10 项,则判断框中应填的语句是 A. n ? 10 B. n ≤ 10 C. n ? 9 D. n ≤ 9 5.已知向量 a ? (sin(? ?

n ? 1, m ? 1
n ? n ?1

?

4? ) 等于 若 a ? b ,则 sin(? ? 3
A. ?

6

),1), b ? (4, 4 cos ? ? 3) ,

m ? m? n

3 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D.

1 4

输出 m 结束

6.若 (1 ? x)n ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? A.-56 B.56

? an xn (n ? N*) ,且 a1 : a3 ? 1: 7 ,则 a5 等于
C.-35 D.35

P ,则点 P 到点 A 的距离小于等于 7.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 内任取一点

a 的概率为
A.

2 2

B.

2 ? 2

C.

1 6

D.

1 ? 6

8.函数 y ? ln

1 的大致图象为 x ?1
y y y

y

?1 O 1

2

x

?2

?1 O

x

O 1

2

x ?2

?1 O

x

B. C. D. A. n 和两个不重合的平面 ?、 ? ,有下列命题: 9.已知两条不重合的直线 m、 ① 若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ;② 若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ;

n 是两条异面直线, m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ③ 若 m、
④ 若 ? ? ? ,?

? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? .
B.2 C.3 D.4

其中正确命题的个数是 A.1

? x ?1≤ 0 ? 10. 已知点 P( x, y) 满足 ? 2 x ? 3 y - 5 ≤ 0 ,点 Q( x, y) 在圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上,则 ?4 x ? 3 y ? 1≥ 0 ?

PQ 的最大值与最小值为
A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2

11.设 Sn 是各项都是正数的等比数列 {an } 的前 n 项和,若 取值范围是 A. q ? 0 B. 0 ? q ≤ 1 C. 0 ? q ? 1

Sn ? Sn?2 ≤ S n ?1 ,则公比 q 的 2
D. 0 ? q ? 1 或 q ? 1

12.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围是 A. [7, ?? ) B. (0,16) C. (7,16] D. [7,16)

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项: 1.第Ⅱ 卷共 2 页,必须用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.字体 要工整,笔迹要清晰.严格在题号所指示的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填写在答题纸上. 13.已知抛物线和双曲线都经过点 M (1, 2) ,它们在 x 轴上有共同焦点,抛物线的顶点为坐标 原点,则双曲线的标准方程是 .

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx(a, b ? R) 的图象 如图所示,它与直线 y ? 0 在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分) 的面积为
O

y

x

27 ,则 a 的值为 4

.

(14 题图)

15.某简单几何体的三视图如图所示, 其正视图、侧视图、俯视图的面积分别 是 1,2,4,则这个几何体的体积为 16.给出下列四个命题:

.

正视图 俯 视 图

侧视图

① 命题:“设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ” 的否命题是“设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”; ② 将函数 y ? 再向右平移

(15 题图)

? 个单位长度,得到函数 y ? 2 cos x 的图象; 4
n (?n ) ? n2 ? 1 ? 3

2 sin(2 x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变), 4

?

③用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ? 1)( n ? 2)

,从“ k ”到 ( n2? 1)( n? N 时 *)

“ k ? 1 ”的证明,左边需增添的一个因式是 2(2k ? 1) ; ④ 函数 f ( x) ? e ? x ?1( x ? R) 有两个零点.
x

其中所有真命题的序号是

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、 B C 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . b、 c 分别为角 A、、
2 2 2

(Ⅰ )求角 A 的值; (Ⅱ )若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 某甲有一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子;某乙也有一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子. (Ⅰ )若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一个球,直到取到红球为 止,求甲取球次数 ? 的数学期望; (Ⅱ )若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时为 乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,所有的棱长都为 2, ?A 1 AC ? 60 . (Ⅰ )求证: A1B ? AC ; (Ⅱ )当三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积最大时,

A1 B1

C1

ABC 所成的锐角的余弦值. 求平面 A 1B 1C 与平面
A B
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x( a ? R ) .
2

C

(19 题图)

1 2

(Ⅰ )当 a ? 1 时, ?x0 ?[1, e] 使不等式 f ( x0 ) ≤ m ,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )若在区间 (1, ??) 上,函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 的下方,求实数 a 的取 值范围. 21. (本小题满分 12 分)

椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 P 、Q 两点,且 OP ? OQ( O a 2 b2

为坐标原点).(Ⅰ )求证:

1 1 ? a 2 b2

等于定值;

(Ⅱ )当椭圆的离心率 e ? [

3 2 , ] 时,求椭圆长轴长的取值范围. 3 2

22. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 一 切 正 整 数 n , 点 P n (n ,Sn )都 在 函 数

f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,且在点 Pn (n, Sn ) 处的切线的斜率为 kn .
(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 bn ? 2 n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;
k

(Ⅲ)设 A ? { x x ? k n , n?N *}, B ? {x x ? 2an , n ? N*} ,等差数列 {cn } 的任一项

cn ? A B ,其中 c1 是 A B 中最小的数, 110 ? c10 ? 115 ,求数列 {cn } 的通项公式.

济宁市 2008—2009 学年度高三第一阶段质量检测 数学(理工类)试题 参考答案

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) ACCD BADD CBBD 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13.

x2 y2 ? ?1 3? 2 2 2 2 ? 2

14. -3

15.

4 3

16.① ③

三、解答题:

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 17.解:(Ⅰ )在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ? 2bc 2
2 2 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ )由 a ?

?
3
3



3, A ?

?

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? 由0 ? x ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 。 3 6 6 6 6 2 3
而 B ? x, C ? 18.解:(Ⅰ )由题意知甲取球次数 ? 的取值为 1,2,3,4

P(? ? 1) ?

3 1 3? 3 3 3? 2 ? 3 3 ? ; P (? ? 2) ? ? ; P (? ? 3) ? ? ; 6 2 6 ? 5 10 6 ? 5 ? 4 20 3 ? 2 ? 1? 3 1 P(? ? 4) ? ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 20

则甲取球次数 ? 的数学期望为

1 3 3 1 7 E? ? 1 ? ?2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 20 20 4
(Ⅱ )由题意,两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有
1 1 C6 ? C6 ? 36 (种) 不同的情形

每种情形都是等可能的,记甲获胜为事件 A,则

P( A) ?

1 1 1 1 1 1 C3 C3 ? C2 C2 ? C1 C1 7 1 ? ? 1 1 C6C6 18 2

所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率,这个游戏规则不公平。 19. (Ⅰ )证明:取 AC 的中点 O ,连接 AO 1 , BO , 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,所有棱长都为 2, ?A 1 AC ? 60

则 AO ? AC, BO ? AC, AO 1 1

BO ? O ,所以 AC ? 平面 A1BO

而 A1B ? 平面 A 1B 1BO ,故 AC ? A

ABC 的距离最大,此时 (Ⅱ)当三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积最大时,点 A 1 到平面

AO ? 平面 ABC .设平面 ABC 与平面 A1B1C 的交线为 l , 1
AB // l , 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 // AB , AB // 平面 A 1B 1C ,则
过点 O 作 OH ? l 交于点 H ,连接 A1H .由 OH ? l , AO , ? l 知 l ? 平面 AOH 1 1

ABC 所成二面角的平面角。 则 l ? A1H ,故 ?A 1HO 为平面 A 1B 1C 与平面
在 Rt ?OHC 中, OC ?

1 3 AC ? 1, ?OCH ? ?BAC ? 60 ,则 OH ? 2 2

在 Rt ?AOH 中, AO ? 2sin 60 ? 3 , AH ? 1 1

15 OH 5 , cos A1HO ? ? 2 A1H 5
5 。 5

ABC 所成锐角的余弦值为 即平面 A 1B 1C 与平面

ABC 的距离最大,此时 另解:当三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 的体积最大时,点 A 1 到平面

AO ? 平面 ABC .以 OB, OC, OA1 所在的直线分别为 x, y, z 轴,建立直角坐标系,依题意得 1

O(0,0,0), A(0, ?1,0), B( 3,0,0), C(0,1,0), A1(0,0, 3), C1 (0,2, 3) .
由 AB ? A 1B 1C 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) 1B 1得B 1 ( 3,1, 3) ,设平面 A 而A 则? ? (0,1, 3) , 1B 1 ? ( 3,1,0), AC 1

? ? n ? A1C ? 0 ? ? y ? 3z ? 0 ,? , 取 n ? (? 1 , 3 1 ,) n ? A B ? 0 3 x ? y ? 0 ? ? ? 1 1 ?

而 AO ? 平面 ABC ,则平面 ABC 的一个法向量为 OA1 ? (0,0, 3) 1 于是 cos ? n, OA1 ??

n ? OA1 n ? OA1

?

3 5 ? , 5 5? 3

ABC 所成锐角的余弦值为 故平面 A 1B 1C 与平面
20.解:(Ⅰ )当 a ? 1 时 f ( x) ?

5 。 5

1 2 1 x ? ln x( x ? 0) , f ?( x) ? x ? 2 x

由 x ? [1, e] , f ?( x) ? 0 得函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 为增函数, 则当 x ? [1, e] 时 f ( x) ? [ ,1 ?

1 2

1 2 e ]。 2
1 即可。 2

故要使 ?x0 ?[1, e] 使不等式 f ( x0 ) ≤ m 成立,只需 m ≥

(Ⅱ )在区间 (1, ??) 上,函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 的下方等价于
2 对 ?x ? (1, ??) , f ( x ) ? 2ax ,即 ( a ? ) x ? ln x ? 2ax ? 0 恒成立。

1 2

设 g ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x( x ? [1, ??)) ,
2

1 2

1 1 ? ( x ? 1)(2a ? 1 ? ) . x x 1 当 x ? (1, ??) 时, x ? 1 ? 0, 0 ? ? 1 . x 1 (1)若 2a ? 1 ≤ 0 ,即 a ≤ , g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 [1, ??) 为减函数, 2 1 1 则当 ?x ? (1, ??) 时 g ( x) ? g (1) ? a ? ? 2a ? ? ? a , 2 2 1 1 1 1 2 只需 ? ? a ≤ 0 ,即当 ? ≤ a ≤ 时 g ( x) ? ( a ? ) x ? ln x ? 2ax ? 0 恒成立. 2 2 2 2 1 1 1 1? 1 , ?1 (2) 若 0 ?2 a? 即 ? a ? 1 时, 令 g ?( x) ? ( x ? 1)(2a ? 1 ? ) ? 0 得 x ? 2 x 2a ? 1 1 1 ) 为减函数, ( , ?? ) 为增函数, 函数 g ( x) 在区间 (1, 2a ? 1 2a ? 1 1 ), ??) ,不合题意. 则 g ( x) ? ( g ( 2a ? 1
则 g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? (3)若 2a ? 1≥1 ,即当 a ≥ 1 时 g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 [1, ??) 为增函数, 则 g ( x) ? ( g (1), ??) ,不合题意.

1 1 1 ≤ a ≤ 时 g ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x ? 2ax ? 0 恒成立, 2 2 2 1 1 即当 ? ≤ a ≤ 时, 在区间 (1, ??) 上函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 的下方。 2 2
综上可知当 ? 另解:对 ?x ? (1, ??) , f ( x ) ? 2ax 恒成立, 即对 ?x ? (1, ??) , ?( a ? ) x ? 2ax ? ln x 恒成立.
2

1 2

设函数 p ( x) ? ?(a ? ) x ? 2ax , q( x) ? ln x
2

1 2

(1)如图 1,当 ?( a ? ) ? 0 时,即 a ?

1 2

1 ,函数 p ( x) 为开口向下的二次函数, 2

则当 x ? (1, ??) 时,函数 p ( x) 的图象在 q( x) 的图象上方是不可能的; (2)如图 2,当 ?( a ? ) ? 0 时,即 a ? 图象恒在 q( x) 的图象上方; (3)如图 3,当 ?( a ? ) ? 0 时,即 a ?

1 2

1 ,对于 ?x ? (1, ??) 的函数 p( x) ? ? x 的 2

1 2

1 ,函数 p ( x) 为过坐标原点且开口向上的 2

二次函数,要使 ?x ? (1, ??) 的函数 p ( x) 的图象恒在 q( x) 的图象上方,只需函数 p ( x) 的 图象与 x 轴的交点不在 x ? 1 的右边, 即

y

p ( x)

y

1 1 1 1 2a 则a ? , 且a≥- , 即? ≤ a ? . ≤1 , 1 2 2 2 2 a? 2
y

q ( x)
O
1

p ( x)

q ( x)
O
1

p ( x)
O
1

x

q ( x)

x

x

图1

图2

1 1 综上可知当 ? ≤ a ≤ 时,对 ?x ? (1, ??) 的函数 p ( x) 的图象恒在 q( x) 的图象上 2 2 1 1 方,即当 ? ≤ a ≤ 时函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 的下方。 2 2

图3

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 21. (Ⅰ )证明: ? 消去 y 得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 (1 ? b2 ) ? 0 ? x ? y ?1 ? 0
? ? 4a4 ? 4(a2 ? b2 )a2 (1 ? b2 ) ? 0, a2 ? b2 ? 1
设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? , 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

由 OP ? OQ ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 化简得 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,则 即 a ? b ? 2a b ,故
2 2 2 2

2a 2 (1 ? b2 ) 2a 2 ? ?1 ? 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2

1 1 ? ?2 a 2 b2

(Ⅱ )解:由 e ? 化简得 a ?
2

c 2 , b ? a 2 ? c 2 , a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 a

2 ? e2 1 1 ? ? 2 2(1 ? e ) 2 2(1 ? e2 )

由 e ?[

5 3 3 2 5 6 , ] 得 a 2 ? [ , ] ,即 a ? [ , ] 4 2 3 2 2 2

故椭圆的长轴长的取值范围是 [ 5, 6] 。
2 2 22.解:(Ⅰ )由 P n (n, Sn ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图象上知 Sn ? n ? 2n

则 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1(n ? N*, n ≥ 2) ,而 a1 ? S1 ? 3 满足上式, 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1; (Ⅱ )由 f ( x) ? x2 ? 2x ,求导 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,
n 而在 P n (n, Sn ) 处的切线的斜率为 kn ,则 kn ? 2n ? 2 , bn ? 4(2n ? 1) ? 4

故 Tn ? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? 则 4Tn ? 4 ? 3? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 44 ?

? 4 ? (2n ?1) ? 4n ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n?1 ? 4n ) ? 4 ? (2n ?1) ? 4n?1

?3Tn ? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 2 ? (42 ? 43 ? 44 ?
整理得 Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9
B?B

(Ⅲ )由 A ? {x x ? 2n ? 2, n ? N *} , B ? {x x ? 4n ? 2, n ? N *} 得 A 又 cn ? A

则 c1 ? 6 , 而 110 ? c10 ? 115 , 则 c10 ? 114 B, c1 是 A B 中的最小数,

于是等差数列 {cn } 的公差为 d ?

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12 , 10 ? 1 9

则 cn ? 6 ? 12(n ?1) ? 12n ? 6 ,即数列 {cn } 的通项公式为 cn ? 12n ? 6 .


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