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第11章静电场中的导体和电介质


第十一章 静电场中的导体和电介质
§11-1 静电场中的导体 §11-2 电容 电容器 §11-3 静电场中的电介质 §11-4 静电场的能量
下一页 结 束

§11-1 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
1. 静电平衡条件 ⑴ 静电平衡: 带电体系中电荷静止不动, 电场分布不随时间变化 ⑵ 导体的特点:导体内存在自由电荷 ⑶ 静电感应

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⑷ 导体的静电平衡条件

E′

f0

f′

E0

感应 电荷

E = E0 + E ′ = 0
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感应 电荷

静电平衡条件:导体内的场强处处为零 (充分必要条件)
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2. 推论 ⑴ 导体是等势体,导体表面 是等势面

a

b

E=0

? U ab = ∫ E ? dl = 0
a

b

⑵ 导体外的场强处处与 它表面垂直

E

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二、导体上的电荷分布
1. 实心导体 ⑴ 电荷分布

E=0 ?
?

∑q

i

=0

(S )

∫∫ E ? dS = 0 =

∑ qi
ε0
ΔS1
ΔS 2

S

E

结论:导体内部无净电荷,电 荷只分布在导体的表面 ⑵ 电荷面密度与场强的关系

P ΔS
ΔS 3

Φe =

(S )

∫∫ E ? dS

σ
( ΔS 2 )

=

( ΔS1 )

∫∫

E ? dS +

∫∫

E ? dS +

( ΔS3 )

∫∫

E ? dS
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σΔ S = ∫∫ E ? dS = E ΔS = ε0 ( ΔS )
1

?

σ E= ε0
尖而凸出部分: 曲率较大,电荷面密度较大 比较平坦部分: 曲率较小,电荷面密度较小 凹进去的部分: 曲率为负,电荷面密度最小

⑶ 表面曲率的影响,尖端放电

σ E= ε0

?

σ↑ σ↓

? E↑ ? E↓
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尖端放电: 带电导体尖端附近的电场特别大,可使尖端附 近的空气发生电离而产生放电现象 电风实验

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避雷针的工作原理 带电云

静电感应 电晕放电 可靠接地

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1 σ∝ R

R1

l >> R1,R2
导线

R2

q1
?

证明: 用导线连接两导体球

q2
4πε 0 R1 q1 = 4πε 0 R 2 q2

U R1 = U R2

? ?

σ 1 4π R12 σ 2 4π R2 2 = 4πε 0 R1 4πε 0 R2

σ1 R2 = σ2 R1
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2. 导体壳 ⑴ 空腔内无带电体

(S )

∫∫ E ? dS = 0

?

∑q
i

i

=0
A

电荷分布在表面

BS

S

(S )

∫∫

q ∑ E ? dS = 0 = ε0
B

若内表面带电,必等量异号 与导体是等势体矛盾

? UAB = ∫A E ? dl ≠ 0

结论:电荷分布在导体的外表面, 内表面无电荷 空腔内没有电场,电势处处相等
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⑵ 空腔内有带电体

(S )

∫∫ E ? dS = 0
i

q q ?q S

?

∑q

=0

结论: 内表面有感应电荷 ? q,外表面有感应电荷 q

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⑶ 静电屏蔽 ① ② 屏蔽外电场 屏蔽内电场 接地空腔导体屏蔽内电场

q
E =0

q

?q

E

用空腔导体屏蔽外电场

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例1:半径为R1 的导体球 A 带有电荷 q,球外有一内、外半径分 别为 R2和 R3 的同心导体球壳 B ,带电量为 Q。试求 ⑴ 场强分布、电势分布及两球 Q +q 的电势差 ⑵ 如果用导线将球和球壳连接, ? q 场强分布和电势分布及两球之 q 间的电势差如何? B A R1 R2 ⑶ 在⑴情形中,将外球壳 B 接地, O 场强分布、电势分布、两球之间 的电势差如何? ⑷ 在⑴情形中,将内球 A 接地, 情况如何?
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R3

解: ⑴ 由高斯定理可得场强分布

r < R1
R1 < r < R2

E1 = 0

E2 =

q

4πε 0 r 2

R2 < r < R3

r > R3
电势分布
r

E3 = 0 q+Q E4 = 4πε 0 r 2
R1 R2 R3 ∞ R1 R2 R3

r < R1 U 1 = ∫ E1 dr + ∫ E 2 dr + ∫ E 3 dr + ∫ E 4 dr
1 1 q+Q ( ? )+ = 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R3 q
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R1 < r < R2

U 2 = ∫ E 2 dr + ∫ E 3 dr + ∫ E 4 dr
r R2 R3

R2

R3



=

q 4πε 0 r
R3

?

q 4πε 0 R2


+

q+Q 4πε 0 R3

R2 < r < R3

r > R3
两球的电势差

q+Q U 3 = ∫ E3 dr + ∫ E4 dr = r R3 4πε 0 R3 ∞ q+Q U 4 = ∫ E4 dr = r 4πε 0 r
R2

ΔU = ∫ E ? dl = ∫
A

B

R1

1 1 ( ? ) E2 dr = 4πε 0 R1 R2
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q

⑵ 用导线将球和球壳连接后,场强、电势分布

r < R1
R1 < r < R2

E1′ = 0 ′ =0 E2

U1′ = ′= U2 ′= U3

q+Q 4πε 0 R3 q+Q 4πε 0 R3 q+Q 4πε 0 R3

R2 < r < R3

′ =0 E3
′= E4 q+Q 4πε 0 r 2

r > R3
两球的电势差

′ = U4

q+Q 4πε 0 r

ΔU ′ = 0
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⑶ 在⑴情形中,外球壳的电势为

U外

q+Q = 4πε 0 R3

设外球壳接地后电量变为 Q ′ ,则电势变为 q + Q′ ′ U外 = =0 4πε 0 R3

? Q ′ = ?q
r < R1
R1 < r < R2

E1′′ = 0
′′ = E2 q 4πε 0 r 2

U 1′′ =
′′ = U2

1 1 ( ? ) 4πε 0 R1 R2
1 1 ( ? ) 4πε 0 r R2
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q

q

R2 < r < R3

′′ = 0 E3
′′ = 0 E4
q

′′ = 0 U3

r > R3

′′ = 0 U4

1 1 ( ? ) ΔU ′′ = 4πε 0 R1 R2
⑷ 在⑴情形中,内球的电势为

q+Q 1 1 U内 = ( ? )+ 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R3 ′ 设内球接地后电量变为q,则电势为 q q′ + Q 1 1 ′= =0 U内 ( ? )+ 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R3
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q′

QR1 R2 ? q′ = R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3

r < R1
R1 < r < R2

E1′′′ = 0

U 1′′′ = 0

QR1 R2 ′′′ = E2 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )r 2
′′′ = U2 QR2 ( R1 ? r ) 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )r

R2 < r < R3

Q( R1 ? R2 ) ′′′ = U3 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )
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′′′ = 0 E3

r > R3

QR3 ( R1 ? R2 ) ′′′ = E4 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )r 2
QR3 ( R1 ? R2 ) ′′′ = U4 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )r

Q( R2 ? R1 ) ΔU ′′′ = 4πε 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )

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例2:在一个半径为R 的接地导体球附近有一点电荷 q,点电荷 到球心的距离为 l ,求导体球上感应电荷的总电量 解:q 在球心 O 的电势为 q U1 = 4πε 0l

q′
O

设球面上的感应电荷为 q ′ q′在球心 O的电势为

R

l

q

U2 =

(S )

∫∫

σ ′dS 1 = 4πε 0 R 4πε 0 R

(S )

∫∫ σ ′dS = 4πε
q + q′

q′
0

R

O 点电势

U = U1 + U 2 =

R ? q′ = ? q l

4πε 0l

4πε 0 R

=0

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§11-2 电容
一、孤立导体的电容

电容器

孤立导体:附近没有其他导体和带电体

q ∝U

q =C U

q
U

孤立导体的电容

物理意义:使导体升高单位电势所需要的电量 单位: 法拉(F) 微法拉(μ F) 皮法拉(pF)

1F = 1 C V

1F = 106 μ F = 1012 pF
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例1:求半径为R 的孤立导体球的电容 解: 孤立导体球带 q的电量时的电势

U=

q

4πε 0 R q C = = 4πε 0 R U

把地球看成一个孤立导体

R = 6.37 × 106 m
C = 4π × 8.85 × 10?12 × 6.37 × 106 = 708μ F
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二、电容器及其电容

q C= UA
不仅与导体 A 有关 还导体 C 有关 电容器: 两个能够带等量异号电 荷的导体所组成的系统 电容: C AB

B

q q = = U A ? U B U AB

q ?q q

A

C
UB = 0

极板:组成电容器的两导体
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三、常见电容器的电容
假定两板间是真空,忽略边缘效应 1. 平行板电容器 设极板 A、 B分别带电 ± q 极板间场强 电势差
B

A B

S

q
d
?q

σ E= ε0

E

U AB

由电容的定义

σ d qd = = ∫ E ? dl = Ed = A ε0 ε0S

q ε0S C= = U AB d

S d

? C
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2. 圆柱型电容器 设极板 A、 B分别带电 ± q

电势差

λ 场强分布 E = 2π ε 0 r
B
RB

q (λ = ) L

RA

RB

U AB = ∫ E ? dl = ∫ Edr
A
RA

?q
B

q
A

L

=∫
电容

RB

RA

RB λ λ dr = ln 2πε0 RA 2πε0r

2πε 0 L q = C= RB U AB ln RA

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3. 球型电容器 设极板 A、 B分别带电 ± q 场强分布 电势差
B A

E=

q 4πε 0r
RB
A

2

B
RB
A

A RA

q

?q
RB

O

U AB = ∫ E idl = ∫R Edr = ∫R
1 1 = ( ? ) 4πε 0 RA RB q

q 4πε 0 r
讨论
2

dr

4πε 0 RA RB q = 电容 C = RB ? RA U AB

RB >> RA 或 RB → ∞

? C = 4πε 0 RA
孤立导体的电容
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4. 电容计算的步骤 ⑴ 设电容器两极板分别带电 ± q ⑵ 求出两极板之间的电场分布E ⑶ 求出两极板之间的电势差 U AB

q ⑷ 用定义式 C = 求出电容 C U AB

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例2:半径都是 a的两无限长平行直导线相距为 d (d 求单位长度的电容 解: 设 A、 B的电荷线密度分别为 ± λ 场强分布

>> a),

λ λ + E= 2πε 0 x 2πε 0 (d ? x)

A
O



B



导线间电势差

U AB =

电容

d λ d ?a λ = ln ≈ ln πε 0 a πε 0 a λ πε 0 C= = U AB ln(d a )



B A

E ? dl =



d ?a

a

Edx

x
a

P

E

x

d

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四、电容器的串、并联
1. 串联电路

+ q ?q + q ?q
C1 C2

+ q ?q
Cn

1 1 1 1 = + + …… + C C1 C2 Cn
2. 并联电路

ε
+ q1 + q2 + qn
C n ? qn
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C = C1 + C2 + …… + Cn

ε

C1 ? q1 C2 ? q2
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例3:如图所示,三个“无限长”的同轴导体圆柱面 A、 B 和C, 半径分别为Ra、 Rb、 Rc。圆柱面B 上带电荷,A 和 C 都接 地。求B的内表面上电荷线密度 λ1和外表面电荷线密度 λ2 之比值 λ1 λ2 解一:根据高斯定理

A、 B 间电场分布 λ1 Rc E1 = ? 2πε 0 r
Ra

B、 A间的电势差
U BA = ∫ E1 ? dr
Rb

?λ1 λ1 λ2 ?λ2 Rb Ra A B C

= ?∫

Ra

Rb

λ1 dr 2πε 0 r

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Rb λ1 = ln 2πε 0 Ra

C 间电场分布 B、

λ2 E2 = 2πε 0 r
Rc RC

C 间的电势差 B、
U BC = ∫ E2 ? dr = ∫
Rb Rb

Rc λ2 λ2 ln dr = 2πε 0 Rb 2πε 0 r

U BA = U BC

?

λ1 ln( Rc Rb ) = λ2 ln( Rb Ra )
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电容 BA和BC并联 单位长度的电容分别为 解二:

C C

* BA

2πε 0 = ln( Rb Ra ) 2πε 0 = ln( Rc Rb )
?

* BC

U BA = U BC

λ1
C
* BA

=

λ2
* CBC

λ1 ln( Rc Rb ) = ? λ2 ln( Rb Ra )
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五、电容器的储能(电能)

t 时刻

正极板: + q 负极板:

?q u ?
?dq

u+

u = u+ ? u?
负极板

+q

C

?q
u? ? dq

dt 时间内

正极板

电容器储存的能量(电源作功)

dWe = dA = (?dqu? ) ? (?dqu+ )

u+ ? dq

= (u+ ? u? )dq = udq
总能量 We =

ε



Q

0

udq = ∫

Q

0

Q2 q dq = 2C C

1 1 2 We = CU = QU 2 2

电容也是电容 器储存能量本 领大小的标志
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六、电容器的分类及应用
1. 分类 ⑴ 容量变化情况:可变电容器,半可变或微调电容器, 固定电容器等 ⑵ 用途:高频电容器,低频电容器等 ⑶ 绝缘介质:真空电容器,空气电容器,云母电容器, 纸质电容器,陶瓷电容器,电解电容器等 2. 应用 ⑴ 滤波:如电源滤波或信号杂波消除等 ⑵ 隔直和耦合:如信号传输等 ⑶ 振荡:如谐振电路、电磁波发射等
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§11-3 静电场中的电介质
一、电介质的极化
1. 导体与电场相互作用的特点 ⑴ 电场改变导体的电荷分布 ⑵ 导体的电荷改变电场的分布 2. 导体、电介质增大电容

q0
? q0
导体

S
E0

C0 =

ε0S
d

q0

E =0
E0

t d

⑴ 导体增大电容

σ0 (d ? t ) U = E0 (d ? t ) = ε0
q0 = (d ? t ) ε0S

q0 ε 0 S > C0 ? C= = U d ?t
导体表面出现感应电荷
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? q0

⑵ 电介质增大电容 在外电场作用下使电介质出现带电的现象 电介质极化: 介质内场强

E = E0 ? E ′ < E0

U = E0 (d ? t ) + Et
= E0 (d ? t ) + ( E0 ? E ′)t

q0
? q′
电介质

S
E0 E0 E ′ E0 E

= E0 d ? E ′t

q′

t d

电介质在电容器中的作用 q0 q0 q0 = C0 > ? C= = ⑴ 提高电容器耐压 U E0 d ? E ′t E0 d 介质上出现极化电荷 ⑵ 增大电容器容量
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< U0

极化电荷 ? q 0

二、极化的微观机制
分子正(负)电荷“重心” 电介质的分类

q1
q2

q
q3

P

⑴ 无极分子:正、负电荷“重心”重合 如氢、甲烷、石蜡等 ⑵ 有极分子:正、负电荷“重心”不重合 如水、有机玻璃等 1. 无极分子的位移极化 极化电荷 极化电荷

E0 f? f? f+ f+
感生电矩
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E0

p

2. 有极分子的取向极化

ff ?

?

p

ff + E0

+

E0

固有电矩 M = p × E0 注:⑴ 电子位移极化存在于任何电介质中 ⑵ 有极分子中,分子的取向极化效应强得多 ⑶ 在高频电场作用下,电介质极化主要是位移极化 ⑷ 两类介质极化的微观机制不同,但宏观结果都一样
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三、电极化强度矢量
1. 电极化强度矢量 定义: 单位体积内所有分子电偶极矩的矢量和

p ∑ P=

分子

ΔV

(库仑/米2)

描述介质极化状态(极化强度和极化方向) 2. 极化电荷与电极化强度的关系 (以位移极化为模型) 设分子电量为 ± q 极化时正负电荷“重心”相对位移 l 分子的电偶极矩 设分子数密度为 m 电极化强度

p 分子 = ql

P = mp分子 = mql
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取面元 dS = n dS

柱体的体积为

dV = ldS cos θ = l ? dS
因极化留在柱体内的正电荷总量为

θ

n
l

dq′ = qmdV = mqldS cos θ
= mql ? dS = P ? dS
(穿过 dS负电荷总量的大小) 任取闭合曲面 S

dS

S

n dS

(S )

q′ ∫∫ P ? dS = ?(∑ S内)

普遍关系
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极化电荷面密度σ ′ 与P 的关系

σ′ > 0 θ
dS
电介质

n

θ>

π
2

电介质

l
n

θ<

π
2

θ σ′< 0

l

表面电荷层的厚度为

dS 上的极化电荷为

极化电荷面密度为

l cosθ dq′ = qmdV = mql cos θ dS = P cos θ dS dq′ = P cos θ = P ? n = Pn σ′ = dS
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例1:求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知 电极化强度为 P 解:取球心 O为原点,极轴与P平行的球坐标系

σ ′ = P cosθ
0 ≤θ <

π
2

σ′> 0 σ′= 0
σ′< 0

P
O

A θ

n

θ=
π
2

π
2

θ

z

<θ ≤π

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四、电介质的极化规律
各向同性均匀电介质

P = χ eε 0 E

χe

——电介质的极化率

各向异性线性电介质 (直角坐标系中)

Px = ε 0 [( χ e ) xx E x + ( χ e ) xy E y + ( χ e ) xz E z ]
Py = ε 0 [( χ e ) yx E x + ( χ e ) yy E y + ( χ e ) yz E z ] Pz = ε 0 [( χ e ) zx E x + ( χ e ) zy E y + ( χ e ) zz E z ]
( χ e ) xx 、( χ e ) xy 、 … 、 ( χ e ) zz 是9个常数,由电介质的性
质决定。这9个常数组成的张量叫做电介质的极化率张量
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例2:平板电容器充满了极化率为 χ e 的均匀电介质。已知充电 后金属极板上自由电荷面密度为 ± σ 0 ,求电介质表面的 极化电荷σ 、电介质内电极化强度 ′ P 和电场强度 E 、以 及电容器的电容 C 与没有电介质时电容 C 0 之比 解: 平板电容器,以上各量的关系为

σ′= P

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
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σ′ P E′ = = ε0 ε0 P = χ eε 0 E E = E0 ? E ′ σ0 E0 = ε0

(附加场)

联立解得

σ0 P E = E0 ? E ′ = ? = E0 ? χ e E ε0 ε0 E0 σ0 = ? E= 1 + χ e (1 + χ e )ε 0
χ ε E0 χ eσ 0 e 0 σ ′ = P = χ eε 0 E = = 1 + χe 1 + χe

q0 σ 0 S (1 + χ e )ε 0 S = = C= = (1 + χ e )C0 d Ed U
电介质使电容器电容增大 (1 + χ e ) 倍
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五、电位移矢量、有介质时的高斯定理
在有介质的情况下,高斯定理为

(S )

∫∫ E ? dS = ε ∑ (q
0 ( S内)
( S内)

1

极化电荷

0

+ q ′)
自由电荷 自由电荷

利用

(S )

∫∫ P ? dS = ? ∑ q ′

? ∫∫ (ε 0 E + P) ? dS = ∑ q 0 ( S内)
(S )

定义:D = ε 0 E + P

——电位移矢量
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有介质时的高斯定理

(S )

∫∫ D ? dS = ∑ q
( S内)

0

在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于该 闭合曲面所包围的自由电荷的代数和 电位移线(D 线):从正自由电荷出发,终止于负自由电荷

q0
? q′
电介质

q0
E线
? q′
电介质

q′

q′
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D线

? q0

? q0
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各向同性介质: P = χ e ε 0 E

D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E = (1 + χ e )ε 0 E
相对介电常数: ε r = 1 + χ e

D = ε rε 0 E = ε E
绝对介电常数: ε

= ε 0ε r

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几种电介质的相对介电常数和击穿场强
电介质 空气 水 云母 玻璃 陶瓷 纸 油 电木 二氧化钛 氧化钽 聚苯乙烯 聚乙烯 钛酸钡 相对介电常数 ε r 1.000590 78 3.7~7.5 5~10 5.7~6.8 3.5 4.5 7.6 100 11.6 2.6 2.3 102~104
kV / mm) 击穿场强(

3 — 80~200 10~25 6~20 14 12 10~20 6 15 25 50 3
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例3:半径为R 的导体球,带有电荷 Q0 ,球外有一均匀电介质的 同心球壳,球壳的内外半径分别为a 和 b ,相对介电常数 为ε r ,如图,求: ⑴ 介质内外的E 和 D 的分布 ⑵ 离球心为 r 处的电势U 解: ⑴ 场分布球对称 由高斯定理
(S )

作球形高斯面
0 ( S内)

εr

Q0

∫∫ D ? dS = ∑ q
D1 = 0
Q0 D2 = 4π r 2

a

O
b

R

r

P
S

r<R

E1 = 0
E2 = 4πε 0 r 2
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R<r<a

Q0

a<r<b r >b
⑵ 电势的分布

Q0 D3 = 4π r 2 Q0 D4 = 4π r 2
∞ R

E3 =

4πε 0ε r r 2 Q0 E4 = 4πε 0 r 2
a b ∞

Q0

r≤R

U1 = ∫ E ? dr = ∫ E1dr + ∫ E2 dr + ∫ E3dr + ∫ E4 dr
r r R a b

=

Q0 ? 1 1 ? Q0 ? 1 1 ? Q0 ? + ? + ? ? ? ? 4πε 0 ? R a ? 4πε 0ε r ? a b ? 4πε 0b


R ≤ r ≤ a U 2 = ∫r E ? dr = ∫ E2 dr + ∫ E3dr + ∫ E4 dr
r a b

a

b



=

Q0 ? 1 1 ? Q0 ? 1 1 ? Q0 ? + ? + ? ? ? ? 4πε 0 ? r a ? 4πε 0ε r ? a b ? 4πε 0b
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a≤r ≤b

U 3 = ∫ E ? dr = ∫ E3dr + ∫ E4 dr
r r b



b



=

Q0 ?1 1? ? + ? ? 4πε 0ε r ? r b ? 4πε 0b Q0


r≥b

U 4 = ∫ E ? dr = ∫ E4 dr r
r



=

4πε 0 r

Q0

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例4:一平行板电容器的极板面积为S,板间距离d,电势差为 U。两极板间平行放置一层面积与极板相同、厚度为t 的 均匀电介质,电介质的相对介电常数为ε r 。试求: ⑴ 极板上的电量 Q0 ⑵ 两极板间的电位移D 和场强E ⑶ 电容器的电容,电介质 的位置对结果有无影响? 解:⑴ 作柱形高斯面 由高斯定理

ΔS
Q0

S
εr
t d

S1

(S )

∫∫ D ? dS = DΔS = ∑ q
Q0 D = σ0 = S

0

= σ 0 ΔS ?Q0

ΔS

?

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Q0 真空中 E1 = = ε0 ε0S Q0 D 介质中 E2 = =

D

ε 0ε r

ε 0ε r S

Q0 Q0 电势差 U = E1 (d ? t ) + E2t = (d ? t ) + t ε0S ε 0ε r S

=
极板上电量

ε 0ε r S

Q0

[ε r (d ? t ) + t ]

Q0 =

ε 0 ε r SU ε r (d ? t ) + t
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D=

ε 0 ε rU ε r (d ? t ) + t

E1 =
⑶ 电容

ε r (d ? t ) + t

ε rU

U E2 = ε r (d ? t ) + t

Q0 ε 0ε r S C= = U ε r (d ? t ) + t

电介质的位置对结果无影响

t=d

?

C=

ε 0ε r S
d

= ε r C0

ε r ——电容率
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例5:一平行板电容器的极板面积为S,板间距离d,电势差为 U。两极板间左、右两半空间分别充满相对介电常数为 ε r1 和 ε r 2 的电介质,如图(设ε r1充满的空间的极板面积 为 S1)。试求: ⑴ 两极板间的电位移 D 和场强 E ⑵ 极板上的电荷面密度 ⑶ 电容器的电容 解:⑴ 左、右两边的场强相等

S

Q0

S1 ε r1

εr2

d

U ? E1 = E 2 = d
电位移

?Q0

U 左半边 D1 = ε 0ε r1 E1 = ε 0ε r1 d
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U 右半边 D2 = ε 0ε r 2 E2 = ε 0ε r 2 d Q0 ⑵ 作高斯面 电荷面密度 U 左半边 σ 01 = D1 = ε 0ε r1 d U = ε ε 右半边 σ 02 = D2 0 r2 ?Q0 d

σ 01 ΔS S σ 02
S1 S ′ ε r1 ΔS
εr2
d

⑶ 极板上总电量

? ε 0ε r1S1 ε 0ε r 2 ( S ? S1 ) ? Q0 = σ 01S1 + σ 02 ( S ? S1 ) = ? U + ? d ? d ? 电容

Q0 ε 0ε r1S1 ε 0ε r 2 ( S ? S1 ) = C1 + C2 = + C= U d d

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§11-4 静电场的能量
电容器储存的电能为

Q02 1 = CU 2 We = 2C 2
以平板电容器为例进行讨论

1 We = Q0U 2
Q0 = σ 0 S = DS

U = Ed

?

1 1 We = DESd = DEV 2 2

式中:V

= Sd

——电场所在空间的体积
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能量密度:单位体积内的电场能量

We 1 we = = DE V 2
1 一般情况: we = D ? E 2
各向同性介质 D = ε 0 ε r E
2 1 1 D we = ε 0 ε r E 2 = 2 2 ε 0ε r

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电场总能量

1 We = ∫∫∫ we dV = ∫∫∫ D ? EdV 2 (V ) (V )
各向同性介质

1 We = ∫∫∫ we dV = ∫∫∫ DEdV 2 (V ) (V )

1 = ∫∫∫ ε 0ε r E 2 dV 2 (V )
电容的计算

Q02 We = 2C

?

Q02 C= 2We
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例1:球形电容器的内、外半径分别为R1和 R2,两球面间充满 相对介电常数为ε r 的均匀电介质,内、外球面上带有电 荷 ±Q0 ,试求: ?Q0 ⑴ 电场的总能量 ⑵ 电容器的电容 ⑶ 若电介质击穿场强为E g , 电容器能承受的最高电压U M 解: ⑴ 由高斯定理可得场强分布

+Q0 ε r
R1

O
R2

r

4 πε 0 ε r r 2 1 Q 0 ? we = ε 0ε r E 2 = 2 32π 2ε 0ε r r 4
2

E =

Q0

( R1 < r < R2 ) ( R1 < r < R2 )
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取体积元

dV = 4π r dr
2

?Q0

体积元中电场能量

+Q0 ε r
R1

dWe = we dV =
Q02

Q

8πε 0ε r r

2 0

2

dr

O
R2

r

dr

电容器中电场的总能量

We = ∫

R2

R1

?1 1 ? dr = ? ? ? 2 8πε 0ε r r 8πε 0ε r ? R1 R2 ? Q02

⑵ 由电容器储能公式

Q02 4πε 0ε r R1 R2 C= = 2We R2 ? R1
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⑶ 电容器带有电荷 Q0 时,两极板的电势差
U = ∫ Edr = ∫
R1 R2
R2 R1

?1 1 ? dr = ? ? ? 2 4πε 0ε r ? R1 R2 ? 4πε 0ε r r

Q0

Q0

场强的最大值为 Q0 EM = ≤ Eg 2 4πε 0ε r R1 电容器能储存的最大电量

Q0 M = 4πε 0 ε r R12 E g
电容器能承受的最高电压

UM

? 1 1 ? = R Eg ? ? ?R ? R ? 2 ? ? 1
2 1
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例2:一电容为C 的空气平行板电容器,接上端电压U 为定值 的电源充电,在电源保持连接的情况下,试求把两个极 板间距离增大至 n 倍时外力所作的功 解一:与电源保持连接,极板间电势差不变 电容值

C = ε0S d
电容器储存的能量

?

C ′ = ε 0 S ( nd ) = C n

We = CU 2 2

? We′ = C ′U 2 2 = CU 2 ( 2n )

ΔWe = We′ ? We = (U 2 2 ) ? ?( C n ) ? C ? ? 1 <0 = CU 2 ? (1 ? n ) n ? ? ? 2
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′ 板间距增大过程中,电量由 Q0 减至 Q0
电源作功
′ ? Q0 ) U = ( C ′U ? CU ) U A1 = ( Q0
2 2 = CU ? =? C n ? C U ? ( ) ?(1 ? n ) n ? ?<0 ? ?

设拉开极板过程中外力作功为A2 由功能原理

A2 + A1 = ΔWe
1 A2 = ΔWe ? A1 = CU 2 ? >0 ( n ? 1) n ? ? ? 2
拉开极板过程中外力作正功

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解二:设拉开极板过程中,板间距为x ,板面积为S

电量为

q0 = C ′′U =

ε0S
x

U

极板间相互作用力(外力)为
2 σ0 q0 ε0S 2 f = q0 ? = = 2U 2ε 0 2ε 0 S 2 x

极板拉开距离dx,外力作的元功为

dA2 = fdx =
nd

ε 0 SU 2
2x
2

dx

极板距离增至 n 倍,外力作的功为

A2 = ∫

ε 0 SU 2
2x
2

d

dx =

ε 0 SU 2 ?
2d

1? 1 2 = CU ? ? 1 ( n ? 1) n ? ? ? 2 ? ? n ? ?
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