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构造法在高中数学中应用


构造法在高中数学中的应用 摘要:构造法是数学中常用的方法。是一种根据问题的特征,利 用已知的数学模型或已解决的问题,构造几何图形、函数及方程等 一切可能的数学对象解决问题的方法.运用构造法解题对于培养思 维的敏捷性和创造性,具有重要的意义.严格地说构造法是一种数 学思想,它没有固定的构造法则,且具有很强的创造性,因此掌握 起来具有一定的难度.本文试图通过对不同题型的分析来选择适当 的构造方法,从而得出一些稍具经验,目的是为用构造法解题提供 一点可以参考的思路. 关键词:构造法 创造性 思维能力 教学 一、求参数范围问题 求参数范围的题目多为不等式、方程、函数等问题.因此,我们 可以从这些角度选择适当的构造对象,来完成问题的解决.下面以 具体的问题加以说明. 例 1.设 、 、 都是实数,且 .求证: 、 、 中必有一个不小 于 . 分析:上面式子中, 、 、 三个数地位相同(即 、 、 是对称 的) ,且出现了和、积的形式,二次方程根的判别式也是以和、积 的形式呈现的.我们联想到这一点,那么可以构造一个二次方程, 用根的判别式来试试. 解:根据已知,有: .因此 、 可以看成方程 的两根.于是对于 此方程, .解不等式得, .由于对称性,可以对 、 进行同样的 讨论,所以 、 、 中必有一个不小于 . 通过这个例子我们可以看出,如果题目中包含在着某两个(或两 个以上)变量的和、积式,我们可以从构造二次方程(或二次函数) 的方向出发,来寻求解决问题的办法. 例 2.若方程 在区间 上有唯一解,求 的取值范围. 分析:在区间 中, 原方程可以变形为 ,这个方程可以看做两个 函数有公共点来处理.因此,我们想到构造函数来解此问题. 解:构造函数 ,则 的图像是关于 对称且开口向下的抛物线的一 部分. 的图像是除去一个端点的一条线段.从图 1 可以看出,只 须分别求出过(0,2)和(2,0)时抛物线所对应的 值即可.它 们对应的 值分别是 ,并且抛物线和线段相切时,由 的判别式 得, .即当 或 时,方程有唯一解. 这个例子是求参数范围问题中的常见题型,我们采取的办法是构 造函数, 通过函数的图像交点来处理. 这是一种值得借鉴的方法. 图 形应用于代数问题会使问题变得清晰简洁,从而易于解决. 二、求值问题 求值问题通常包括解方程和求某一个表达式的值,这里我们把化 简表达式也放进来一起考虑.这类问题涉及到的内容大多是方程, 也有部分用到函数,所以构造方向一般就是这两者.具体见下面的 例子. 例 3.解方程 . 分析:本题是一个三次方程,直接解会相当复杂.进一步观察, 发现“ ”在这里似乎有点特殊.因此,我们换个角度,从这个 入 手看看. 解:把原方程看做以 为未知数的方程, 作为参数(已知数) ,那 么就出现了一个二次方程 ,解得 ,化简,得: 或 . 解这两个方程,得: 或 从而巧妙地求出了方程的解. 通过这个例子我们得到的启示是:如果一个问题从正面解决比较 困难时,不妨换个角度,用一种全新的思路来思考,会找到一个顺 利的解题途径. 例 4.已知且 求 的值. 分析:这个题目给人的第一印象似乎无从下手,三角式和三次式 混合出现,很难找到运算的起点.但是仔细观察已知,两个方程中 都含有参数 ,但是要求的目标里面并没有 ,消掉它!看看会有什 么效果. 解:根据已知,消去 ,得 ,即 . 构造函数 , 在 是单调递增的奇函数, 所以由上式可知, . 即 , 所以 . 通过这个例子我们发现,出现两个形式相似的表达式或方程时, 选择构造函数,通过函数的单调性

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