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高中数学:两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αs

in_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α 3.常用的公式变形 (1)tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π sin α± α= 2sin?α± ?. cos ? 4? [小题能否全取] sin 2α 1.(2011· 福建高考)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 C.4 解析:选 D B.3 D.6 sin 2α 2sin αcos α = =2tan α=2×3=6. cos2α cos2α )

2.sin 68° 67° sin -sin 23° 68° cos 的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2

)

D.1 2 . 2

解析:选 B 原式=sin 68° 23° cos -cos 68° 23° sin =sin(68° -23° )=sin 45° = 2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 A.- 1 C. 9 解析:选 B 5 3 )

1 B.- 9 D. 5 3

4 1 cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- . 9 9

π 4 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin?α+4?=________ ? ? 5 3 解析:由已知条件 sin α=- 1-cos2α=- , 5 π 2 2 7 2 sin?α+4?= sin α+ cos α=- . ? ? 2 2 10 7 2 答案:- 10 π 2 5.若 tan?α+4?= ,则 tan α=________. ? ? 5 π tan α+1 2 解析:tan?α+4?= ? ? 1-tan α=5, 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 3 答案:- 7

1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则 后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得.特别地,对于余弦:cos 2α =cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为 “降幂公式”,在考题中常有体现.

2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对 角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是 观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形.

三角函数公式的应用

典题导入 1 π [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 1 π [自主解答] (1)∵f(x)=2sin?3x-6?, ? ? 5π 5π π π ∴f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. ? ? ? ? 4 π π 10 6 (2)∵α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= , ? ? ? ? 13 5 π 6 10 ∴2sin α= ,2sin?β+2?= . ? ? 5 13 5 3 即 sin α= ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 以题试法

π 3 1.(1)已知 sin α= ,α∈?2,π?,则 ? ? 5

=________. π 2sin?α+4? ? ? π 5 ,则 tan?4+2α?=( ? ? 5 )

cos 2α

(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 4 C.- 3 解析:(1) cos 2α π 2sin?α+4? ? ? = 1 B.- 7 D.-7

cos2α-sin2α =cos α-sin α, 2 2 2? sin α+ cos α? 2 ?2 ?

π 3 4 ∵sin α= ,α∈?2,π?,∴cos α=- . ? ? 5 5 7 ∴原式=- . 5 4 1- 3 2×2 π 2 5 4 (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- ,所以 tan?4+2α?= = ? ? 5 3 4 1-4 1+ 3 1 - . 7 7 答案:(1)- 5 (2)B

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 x [例 2] (2013· 德州一模)已知函数 f(x)=2cos2 - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f?α-3?= ,求 的值. ? ? 3 1+cos 2α-sin 2α π x [自主解答] (1)∵f(x)=2cos2 - 3sin x=1+cos x- 3sin x=1+2cos?x+3?, ? ? 2 ∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3]. π 1 1 1 (2)∵f?α-3?= ,∴1+2cos α= ,即 cos α=- . ? ? 3 3 3 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sin α= . 3



cos2α-sin2α cos 2α = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α

1 2 2 - + 3 3 cos α+sin α 1-2 2 = = = . 2cos α 2 2 - 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法 π π 4 3 2.(1)(2012· 赣州模拟)已知 sin?α+6?+cos α= ,则 sin?α+3?的值为( ? ? ? ? 5 4 A. 5 C. 3 2 3 B. 5 D. 3 5 )

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 解析:(1)由条件得 3 3 4 3 sin α+ cos α= , 2 2 5

1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 π 4 ∴sin?α+3?= . ? ? 5 tan α+tan β 3π (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

典题导入 [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 sin α+cos α =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α

π 4 π (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos?α+6?= ,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? 5 ? ? sin α+cos α tan α+1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α-cos α tan α-1

则 tan α=2. 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] = tan?β-α?-tan α -2-2 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2 3

π 4 (2)因为 α 为锐角,cos?α+6?= , ? ? 5 π 3 π 24 所以 sin?α+6?= ,sin 2?α+6?= , ? ? 5 ? ? 25 π 7 cos 2?α+6?= , ? ? 25 π π π 所以 sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ?

?

?



24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50 17 2 (2) 50 由题悟法

4 [答案] (1) 3

1. 当“已知角”有两个时, 一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α=2·;α=(α+β)-β; 2 α=β-(β-α); 1 α= [(α+β)+(α-β)]; 2 1 β= [(α+β)-(α-β)]; 2 π π π π π +α= -?4-α?;α= -?4-α?. ? ? 4 2 ? 4 ? 以题试法 π 1 π 2 3.设 tan(α+β)= ,tan?β-4?= ,则 tan?α+4?=( ? ? 4 ? ? 5 13 A. 18 3 C. 22 解析:选 C 13 B. 22 1 D. 6 π π tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? )



3 = . π? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ?

π tan?α+β?-tan?β-4? ? ?

[典例] (2012· 广东高考)已知函数 f(x)=2cos

?ωx+π?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. 6? ?
(1)求 ω 的值; π 5π 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=- ,f ? ? ? ? 5

?5β-5π?=16,求 cos(α+β). 6 ? 17 ?
π 2π 1 [尝试解题] (1)∵f(x)=2cos?ωx+6?,ω>0 的最小正周期 T=10π= ,∴ω= . ? ? ω 5 1 π (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? π 5π 5π 16 6 而 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=- ,f?5β- 6 ?= , ? ? ? ? ? 17 5 ? 5π π 1 6 ∴2cos?5?5α+ 3 ?+6?=- , ? ? ? ? 5 5π π 16 1 2cos?5?5β- 6 ?+6?= , ? ? 17 ? ? π 3 8 即 cos?α+2?=- ,cos β= , ? ? 5 17 3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × =- . 5 17 5 17 85

——————[易错提醒]——————————————————————————

1.在解答本题时有两点容易失误: ?1?忽略角α,β的范围,求解cos α,sin β的值时出错; ?2?在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误. 2.解决三角函数问题时,还有以下几点容易失误: ?1?对公式记忆不准确而使公式应用错误; ?2?三角公式不能灵活应用和变形应用; ?3?忽略角的范围或者角的范围判断错误. ————————————————————————————————————— — ?针对训练 1 1.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B= ,则 sin A 的值为________. 3 π 解析:由题意知,C-A= ,且 C+A=π-B, 2 π B 故 A= - , 4 2 π B B B 2 则 sin A=sin?4- 2 ?= ?cos 2 -sin 2 ?, ? ? 2? ? 1 1 则 sin2A= (1-sin B)= , 2 3 又 sin A>0,则 sin A= 答案: 3 3 3 . 3

π π 3 12 2.已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈?2,π?,β∈?-2,0?,求 cos 2α 的值. ? ? ? ? 5 13 π 解:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π ∵- <β<0,∴0<-β< ,π<2α-β< , 2 2 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 5 又- <β<0 且 sin β =- ,∴cos β= , 2 13 13 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 12 56 4 5 3 = × - ×?-13?= . ? 65 5 13 5 ?

1. (2012· 重庆高考)设 tan α, β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, tan (α+β)的值为( tan 则 A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· β=2, tan tan(α+β)= tan α+tan β =-3. 1-tan αtan β )

π π 3 2.(2012· 南昌二模)已知 cos?x-6?=- ,则 cos x+cos?x-3?的值是( ? ? ? ? 3 2 3 A.- 3 C.-1 解析:选 C 2 3 B.± 3 D.± 1

π 1 3 3 3 cos x+cos ?x-3? =cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 3 ? ? 2 2 2 2

? 3cos x+1sin x?= 3cos?x-π?=-1. ? 6? 2 ?2 ?
π π 1 3. (2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin?4+α?sin?4-α?的值为 ? ? ? ? 2 ( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B.- 4 1 D.- 2

π π π π π 1 1 解析:选 A 依题意得,sin?4+α?sin?4-α?=sin?4+α?· ?4+α?= sin?2+2α?= cos cos? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 1 1 2α= (1-2sin2α)= . 2 4 4. 已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线的斜率为 4, 则函数 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π C. 2,2π )

B.2,π D. 3,2π

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b, f′(1)=3+b=4,b=1. 所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x

π = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?, ? ? 故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. 5. (2012· 东北三校联考)设 α、 都是锐角, cos α= β 且 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 2 5 B. 5 D. 5 5 或 5 25 2 5 , 5 5 3 , (α+β)= , cos β=( sin 则 5 5 )

解析:选 A 依题意得 sin α= 1-cos2α= 4 cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π, 4 5 4 cos α>cos(α+β),注意到 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5

4 5 3 2 5 2 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × = . 5 5 5 5 25 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 3 1 2 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(- 3 3 3 5 9 3 ,则 cos 2α=( 3 )

解析:选 A 将 sin α+cos α=

5 sin α+cos α)2=1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+ 3 cos α=- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· α+sin α)=- . (cos 3 3

π 4π 1 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得 4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 4π 1 即 cos? 5 -x?= , ? ? 2 4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15

7π 答案: 15 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · =________. 2 1-tan ?45° -α? cos2α-sin2α 1 sin 2α 2 解析:原式=tan(90° -2α)· cos 2α 1 sin 2α sin?90° -2α? 2 = · cos?90° -2α? cos 2α = cos 2α 1 sin 2α 1 · = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β 1 ∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标 3 4 是 ,则 cos α=________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 1 4 2 2 3 =- ×?-3?+ × 5 ? ? 5 3 = 3+8 2 . 15

3+8 2 答案: 15 π π 1 10.已知 α∈?0,2?,tan α= ,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ? 2 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = 2 1-tan2α sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2 1 2× 2 4 = , 1 3 1- 4



又 sin2α+cos2α=1,

π ∴5sin2α=1,而 α∈?0,2?, ? ? ∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5 5 2 5 4 × = , 5 5 5

∴sin 2α=2sin αcos α=2×

4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 π π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin?2α+3?=sin 2αcos +cos 2αsin = × + × = . ? ? 3 3 5 2 5 2 10 π 4 π 11.已知:0<α< <β<π,cos?β-4?= . ? ? 5 2 (1)求 sin 2β 的值; π (2)求 cos?α+4?的值. ? ? π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos?β-4?=cos cos β+sin β= cos β+ sin β= , ? ? 4 2 2 3 ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π 7 法二:sin 2β=cos?2-2β?=2cos2?β-4?-1=- . ? ? ? ? 9 π (2)∵0<α< <β<π, 2 π π 3 π 3π ∴ <β<- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2 π ∴sin?β-4?>0,cos(α+β)<0. ? ? π 1 4 ∵cos?β-4?= ,sin(α+β)= , ? ? 3 5 π 2 2 ∴sin?β-4?= ? ? 3 , 3 cos(α+β)=- . 5 π π ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π =cos(α+β)cos?β-4? ? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 x x 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos?-2?+sin?π-2?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

π π 2 10 (2)若 f(α)= ,α∈?0,2?,求 tan?α+4?的值. ? ? ? ? 5 x x x π x x 解:(1)f(x)=cos?-2?+sin?π-2?=sin +cos = 2sin?2+4?, ? ? ? ? ? ? 2 2 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5 α α 2 10?2 则?sin2+cos2?2=? ? ? ? 5 ?, 8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5 π 又 α∈?0,2?,则 cos α= 1-sin2α= ? ? 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4 π 3 tan α+tan +1 4 4 = =7. π 3 1-tan αtan 1- 4 4 9 4 1- = , 25 5

π 所以 tan?α+4?= ? ?

1 π 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg?a?,且 α+β= ,则实数 a 的值为( ? ? 4 A.1 1 C.1 或 10 1 B. 10 D.1 或 10

)

解析:选 C

1 lg?10a?+lg?a? ? ? tan α+tan β tan(α+β)=1? = =1?lg2a+lg a=0, 1-tan αtan β ? 1? 1-lg?10a?· ?a? lg

1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 π π 2.化简 sin2?α-6?+sin2?α+6?-sin2α 的结果是________. ? ? ? ? π π 1-cos?2α-3? 1-cos?2α+3? ? ? ? ? 解析:原式= + -sin2α 2 2 π π 1 =1- ?cos?2α-3?+cos?2α+3??-sin2α ? ? ?? 2? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 =1-cos 2α· -sin2α=1- cos - = . 3 2 2 2

1 答案: 2 π π 3 π π 3 5 3.已知 sin α+cos α= ,α∈?0,4?,sin?β-4?= ,β∈?4,2?. ? ? ? ? 5 ? ? 5 (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= , 5 9 4 即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 π 3 又 2α∈?0,2?,∴cos 2α= 1-sin22α= , ? ? 5 sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3 π π π π 3 π (2)∵β∈?4,2?,β- ∈?0,4?,sin?β-4?= , ? ? ? ? ? 5 4 ? π 4 ∴cos?β-4?= , ? ? 5 π π π 24 于是 sin 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?= . ? ? ? ? ? ? 25 π 又 sin 2?β-4?=-cos 2β, ? ? 24 ∴cos 2β=- , 25 π 7 又∵2β∈?2,π?,∴sin 2β= , ? ? 25 1+cos 2α 4? π 又∵cos2α= = ?α∈?0,4??, ? ?? 2 5 2 5 5 ∴cos α= ,sin α= . 5 5 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 24 2 5 5 7 11 5 ×?-25?- × =- . ? ? 5 25 5 25

π 1.(2012· 北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈?2,π?. ? ? (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x· 3sin x+cos x)=0, (

所以 sin x=0 或 tan x=-

3 . 3

π 由 sin x=0,x∈?2,π?,得 x=π; ? ? 由 tan x=- π 3 5π ,x∈?2,π?,得 x= . ? ? 3 6

5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 (2)f(x)= π 3 1 3 (1-cos 2x)+ sin 2x=sin?2x-3?+ . ? ? 2 2 2

π π 2π 5π 因为 x∈?2,π?,所以 2x- ∈? 3 , 3 ?. ? ? ? 3 ? π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2 π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2 β α π 1 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 3 2 9 π 解:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π. 4 2 2 4 2 α ∴cos?2-β?= ? ? = α 1-sin2?2-β? ? ?

2 5 1-?3?2= , ? ? 3 β 1-cos2?α-2? ? ?

β sin?α-2?= ? ? =

1 4 5 1-?-9?2= . ? ? 9

α+β β α ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? 2 β α β α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 4 5 2 7 5 =- × + × = . 9 3 9 3 27 ∴cos(α+β)=2cos2 α+β 49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729


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