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3.1.1 倾斜角与斜率


问题情境 飞逝的流星沿不同 的方向运动

在空中形成美丽的直线
2

我们思考:?
知识回顾: 我们学过:y=x+1,它表示什么?
如何在平面直角坐标系内确定它的位置? y
1 -1

o

x

问题1:在直角坐标系下,确定一条直线的几

何 要素有哪些? 过一点能不能确定一条直线?

问题1: 经过一点可以作出无数条直线?

y

o

.

x

确定直线位置的要 素除了点之外,还有直线 的方向,也就是直线的倾 斜程度.

建构概念:
1.直线的倾斜角 y α o

l

直线L与x轴相交 时,取x轴为基准,x轴 正向与直线L向上方向 之间所成的角α 叫做直线L的倾斜角。 x

注意: (1)直线向上方向; (2)x轴的正方向。

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

直线倾斜角的范围
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?

?x

?x

p

o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

o o ? ? [ 0 ,180 )

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾

斜角与它对应。



2、每一个倾斜角都对应于唯一的
一条直线。



问题2:生活中也有一些反映倾斜程度的量, 你知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾 类似的,能否引进一个来刻画直 斜程度吗?
线的倾斜程度的量?

升 高 量 前进量

升高量 坡度(比) ? 前进量 (即为坡角的正切值)

类比坡度,引进一个刻画直线倾斜程度的 量——直线的斜率(直线倾斜角的正切值)

2、直线的斜率
定义:我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? , ? ? ? 0 ,90 ? ? 90 ? ,180 ? ? ?
0

0

?

倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度

倾斜角 (度) 斜率

30

60

135
-1

150

3/3

3

? 3/3

如何描述这二者的关系呢? 当α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;当 α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.

想一想 我们知道,两点也可以唯一确定 一条直线。

问题3:
如果知道直线上的两点,怎么样来 求直线的斜率(倾斜角)呢?

探究新知:由两点确定的直线的斜率

锐角
y
y2
y1

k ? tan ?

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

想一想?



p1 p 2的位置对调时,k 值又如何呢?

y
P2 ( x2 , y2 )

P 1 ( x1 , y1 )

?

y

P 1 ( x1 , y1 )

Q( x1 , y2 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x1 , y2 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

对公式的
深入理解
1、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:成立,因为分 子为0,分母不为0, K=0

x1 o

x2

x

对公式的
深入理解
2、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

y1

o

x

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< ? <180° ? = 0°

k >0

k<0

k=0

应用与实践
例1 如下图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
y
A(3,2)

B(-4,1),

O
C(0,-1)

思考: 过A点的 直线L与线段BC 有交点,求L的斜 x 率k的变化范围

应用与实践
例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4
y A3 A1 O A2

l3

l1

解:(待定系数法) 设直线上另一点A1(1,y)
y?0 ?1 ? 则:k ? 1? 0

y ?1

x

所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可

A4 l 4

l2

说明:也可设其它特殊点

应用与实践

例 3 从 M ? 2 , 2 ?射出一条光线, 经过 x 轴反射

后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设P(x,0) 因为入射角等于反射角
y

? K MP ? ?K PN
2 3 ? 2?x 8? x

N(-8,3)
2 -2

M(2,2)
O
2

x

解得 x ? ?2

P

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?
4、斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

巩固与测试
1. 判断正误: ①因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率。

( )

②因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线 的倾斜角不存在 ③直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

( ) ( )
1 2 ,则

2.(填空题)已知

A(x,-2),B(3,0),且 k AB ?

x = ______ -1 .

3.(填空题)已知三点 A(-2,3),B(3,-4m),C( 1 在同一条直线上,则实数 m=_________. 2

1 2

,m)


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