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考点23 导数的概念与几何意义 积分


考点 23 导数的概念与几何意义 积分 知识点 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) , 比值

?y ? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 = 。 ?x ?x ?x ?y 如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x) ?x
即 f(x 0 )= lim

在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ? 0 ?x ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x

说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤 (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ;

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 。 ?x ?0 ?x
(2)求平均变化率 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) ) 为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.常见函数的导出公式. (1) C ' ? 0 (C 为常数)(2) ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q 有理数)(3) (sin x)' ? cos x ; (4) (cos x)' ? ? sin x (7) (log a x)' ? (5) (a x )' ? a x ln a (8) (ln x )' ? (6) (e x )' ? e x
/

处的切线的

斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相应地,切线方程

1 log a e x

1 . x

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导
' ' ' ' '

数: (Cu ) ? Cu . 法则 3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
' '

的平方: ? ? ‘=

u ' v ? uv ' (v ? 0) 。 v2 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'| X =

?u? ?v?

y'| U ·u'| X 5.导数的应用
' ' (1) 一般地, 设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 如果 f ( x) ? 0 , ' 则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数; (2)曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, 右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;

(3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函数? ( x ) 在(a, b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较, 其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 6.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小区 间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,?n)作和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i

)△x(其中△x 为小区

间长度) , 把 n→∞即△x→0 时, 和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作: 即

?

b

a

f ( x)dx ,

?

b

a

f ( x)dx = lim ? f (ξ i)△x。
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。
m 基本的积分公式: 0 dx =C; x dx = x = e +C; ? a dx =

?

?

1 1 x x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; ? dx=ln x +C; ? e dx m ?1 x

x

ax +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。 ln a
b

(2)定积分的性质 ; ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数) ② ? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ; ③ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(其中 a<c<b ) 。 ①
a b a b

b

b

a b

a

a

c

b

a

a

c

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x) 曲边梯的面积 S ?

(f(x) ≥ 0) 围成的

?

b

a

f ( x)dx 。
≥0) , 及直线 x= 曲 边 梯 形 DMNC =

如果图形由曲线 y1=f1(x), y2=f2(x) (不妨设 f1(x)≥f2(x) a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

四.典例解析 题型 1:导数的概念 例 1. 已知 s=

1 2 gt , (1) 计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、 3.001 2





3.0001

秒?.各段内平均速度; (2)求 t=3 秒是瞬时速度。 解析: (1) ?3,3.1?, ?t ? 3.1 ? 3 ? 0.1, ?t 指时间改变量;

?s ? s (3.1) ? s (3) ? v?

?s 0.3059 ? ? 3.059 。 ?t 1

1 1 g 3.12 ? g 3 2 ? 0.3059 . ?s 指时间改变量。 2 2

其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体 出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 (2)从(1)可见某段时间内的平均速度 极限定义可知,这个值就是 ?t ? 0 时,

? s ?t ?s 随 变化而变化, ?t 越小, 越接近于一个定值,由 ?t ?t

V= lim

?x ?0

?s ?t

= lim

?x ?0

?s 的极限, ?t 1 1 (3 ? ?t ) 2 ? g 3 2 2g 2 s (3 ? ?t ) ? s (3) ? lim ? x ? 0 ?t ?t

1 g lim (6+ ?t ) =3g=29.4(米/秒)。 2 ?x?0 4 例 2.求函数 y= 2 的导数。 x 4 4 4?x(2 x ? ?x) 解析: ?y ? , ? 2 ?? 2 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) 2 ?y 2 x ? ?x , ? ?4 ? 2 ?x x ( x ? ?x) 2
=

? lim

?x ? 0

? ?y 8 2 x ? ?x ? ? lim ?? 4 ? 2 =- 3 。 2 ? ? x ? 0 ?x x ( x ? ?x) ? x ?
1 1 ? ) 的导数; x x3

点评:掌握切的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。 题型 2:导数的基本运算 例 3. (1)求 y ? x ( x ?
2

? 1) 的导数; x x x (3)求 y ? x ? sin cos 的导数; 2 2 2 x (4)求 y= 的导数; sin x 3x 2 ? x x ? 5 x ? 9
(5)求 y=

(2)求 y ? ( x ? 1)(

1

x
3

的导数。

1 2 ' 2 ,? y ? 3 x ? 3 . 2 x x 1 1 ? 1 1 2 (2)先化简, y ? x ? ? x? ?1 ? ?x ? x 2 x x 1 3 1 ?2 1 ?2 ?1 ? 1 ? ' ?y ?? x ? x ? ?1 ? ?. 2 2 2 x ? x?
解析: (1)? y ? x ? 1 ? (3)先使用三角公式进行化简.

x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2

1 1 1 ? ? ? y ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ? ( x 2 )'sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x (4)y’= = ; sin 2 x sin 2 x
'
3

'

(5)? y= 3x 2 -x+5- 9 x
3 2

?

1 2

? 3 1 9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 (x ) ' -x' +5' -9 ( x ) ' =3* x 2 -1+0-9* (- )x 2 = ? y’=3* 2 2 2 x

1 2

1

3

点评: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运 算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或 三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。 例 4.写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+ X
2 2

(2)y=lnu, u=lnx

解析: (1)y=cos(1+ X ); (2)y=ln(lnx)。
' ' ' 点评:通过对 y=(3x-2 ) 展开求导及按复合关系求导,直观的得到 y x = yu . ux .给出复合函数的求导
2

法则,并指导学生阅读法则的证明。 题型 3:导数的几何意义

例 5. (1)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 (2)过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0



解析: (1)与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而

y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A; 2 (2) y? ? 2 x ? 1 ,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 2 x0 ? 1 ,且 y0 ? x0 ? x0 ? 1 ,于是切线
方程为 y ? x0 ? x0 ?1 ? (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得 x0 =0 或-4,代入可验正
2

D 正确,选 D。 点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 2 2 例 6. (1) 半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r, 若将 r 看作(0, +∞)上的变量, 则( ? r )` 1 ,○ 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 =2 ? r ○ 1 的式子: 2 ;○ 2 式可以用语 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ ○ 言叙述为: 。

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 。 x 4 4 4 3 2 式可填 ? =4? R 2 故○ ? =4? R 2 ,用语言叙述为“球 ( ? R 3) ( ? R 3) 解析: (1)V 球= ? R ,又 3 3 3
(2)曲线 y ? 的体积函数的导数等于球的表面积函数。 ” ;

1 和 y ? x 2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1, x 3 它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 。 4
(2)曲线 y ? 点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。 题型 4:借助导数处理单调性、极值和最值 例 7. (1)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( ) A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) (2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 (3)已知函数 f ? x ? ? ) C.3 个 D. 4 个

恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。

1 ? x ? ax e 。 (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 1? x

解析: (1)依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x) ?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f (1) ,故选 C; (2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,函数 f ( x) 在开 区间 ( a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A。 2 ax +2-a -ax (3) :(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= 。 2 e (1-x) 2 2x -2x (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= , f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(- 2 e (1-x) ∞,1), (1,+∞).为增函数; (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.; a-2 a-2 a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - , x2= ; a a a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - (- (1,+∞) a-2 ( ,1) a-2 a-2 a-2 a ) , ) a a a

f '(x) f(x)

+ ↗ a-2 ), ( a

- ↘

+ ↗

+ ↗ a-2 , a a-2 )为减函 a

f(x)在(-∞, -

a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a

数。 (Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1; 1 a-2 (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1; 2 a 1+x -ax (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ≥1, 1-x 1+x -ax 1+x 得:f(x)= e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1。 1-x 1- x 点评:注意求函数的单调性之前,一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。 例 8. (1) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是( (B)0
3 2 2

) (D)4

(A)-2

(C)2

(2)设函数f(x)= 2 x ? 3(a ?1) x ? 1, 其中a ? 1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值。

x 0 ? 可得 x=0 或 ( 解析: (1)f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) , 令 f ?() 2 2 舍去) , 当-1?x?0 时,f ?( x ) ?0, 当 0?x?1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C;
(2)由已知得 f ( x) ? 6x ? x ? (a ?1)? ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得
'

x1 ? 0, x2 ? a ? 1。

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 6 x2 , f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增;
' ' 当 a ? 1 时, f ( x ) ? 6 x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? , f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ( x)
'

(??, 0)
+

0 0

(0, a ? 1)

a ?1
0

(a ? 1, ??)

f ( x)

极大值 极小值 ? 从上表可知,函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递减;在 (a ? 1, ??) 上单调递增。

?

? ?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 没有极值;当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极大值, 在 x ? a ? 1 处取得极小值 1 ? (a ?1) 。 点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际 问题的能力。 题型 5:导数综合题 例 9.设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、 B 的坐标分别 ??? ? ??? ? 为 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点. (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 求 (I)求点 A、 B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程.
3

解析: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 ; 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 。 所以,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故 x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 。 所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) 。 (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y) ,

PA? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4 , 1 y?n 1 k PQ ? ? ,所以 ?? 。 2 x?m 2 y?m ?x?n ? 2 2 又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,所以 ? 2? ? 4 ? ,消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 。 2 ? 2 ?
点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。 例 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? sin x , 数 列 { an } 满 足 : 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1,2,3,?. 证

明:(ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1;(ⅱ) an ?1 ?

1 3 an 。 6 证明: (I) .先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 ,n=1,2,3,?
(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。 (ii).假设当 n=k 时结论成立,即 0 ? ak ? 1 。 因为 0<x<1 时, f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数。 又 f(x)在[0,1]上连续,从而 f (0) ? f (ak ) ? f (1),即0 ? ak ?1 ? 1 ? sin1 ? 1 .故 n=k+1 时,结论成立。 由(i)、(ii)可知, 0 ? an ? 1 对一切正整数都成立。 又因为 0 ? an ? 1 时,an?1 ? an ? an ? sin an ? an ? ? sin an ? 0 ,所以 an?1 ? an ,综上所述 0 ? an?1 ? an ? 1 。 (II) .设函数 g ( x) ? sin x ? x ? x3 , 0 ? x ? 1 , 由(I)知,当 0 ? x ? 1 时, sin x ? x , 从而 g ( x) ? cos x ? 1 ?
'

1 6

又 g (x)在[0,1]上连续,且 g (0)=0,所以当 0 ? x ? 1 时,g (x)>0 成立。 于是 g (an ) ? 0, 即sin an ? an ?

x2 x x2 x x2 ? ?2sin 2 ? ? ?2( ) 2 ? ? 0. 所以 g (x)在(0,1)上是增函数。 2 2 2 2 2
1 3 1 an ? 0 .故 an ?1 ? an 3 。 6 6
1m 的正六棱柱, 试问当帐篷的顶 大? 的基础知识,以 边 长 为

点评:该题是数列知识和导数结合到一块。 题型 6:导数实际应用题 例 11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 (如右图所示) 。 点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值 及运用数学知识解决实际问题的能力。 解析:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面

32 ? x

( ?

2

1

2 ? ) x (单位: ? x8 m) 。 ?2
2

于是底面正六边形的面积为(单位:m ) :

32 ? ( x ? 1)2 ? 6?

3 3 3 ? ( 8 ? 2 x ? x 2 )2 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 。 4 2
3

帐篷的体积为(单位:m ) :

V ( x) ?

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x3 ) 2 ?3 ? 2
3 (12 ? 3x 2 ) ; 2

求导数,得 V ?( x) ?

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2。 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 点评:结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例 12.已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下方式取定:曲 线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线与经过 (0, 0) 和 (x n ,f 平行(如图)求证:当 n ? N 时, 2 (Ⅰ)x 2 n ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ;
*

3

3

(x n ))两点的直线

1 2 ' 2 证明: (I)因为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x)
n ?1 n?2 (Ⅱ) ( ) ? x n ? ( ) 。

1 2

在 ( xn?1 , f ( xn?1 ))
2 xn ? xn ,

处的切线斜率 kn?1 ? 3xn?1 ? 2xn?1.
2

因 为 过 ( 0 , 0和 ) ( xn , f ( xn )) 两 点 的 直 线 斜 率 是





2 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 .
2 (II)因为函数 h( x) ? x2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1

? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 , x x x x 1 1 所以 xn ? 2 xn?1 ,即 n ?1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( ) n ?1. xn 2 xn ?1 xn ?2 x1 2 y 1 2 2 2 又因为 xn ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则 n?1 ? . yn 2 1 1 2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 . 2 2 1 1 1 n?2 2 n?2 n ?1 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故 ( ) ? xn ? ( ) . 2 2 2
点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理 能力。 题型 7:定积分 例 13.计算下列定积分的值 (1)

?

3

?1

(4 x ? x )dx ;(2) ? ( x ? 1) dx ;(3) ? ( x ? sin x)dx ;(4) ? 2? cos2 xdx ;
2 5 1
2 0

2

?

?

?

2

解析:(1)

6 5 (2)因为 [ ( x ? 1) ]? ? ( x ? 1) ,所以

1 6

?

2

1

( x ? 1) 5 dx ?

1 1 2 ( x ? 1) 6 |1 ? ; 6 6

(3)

(4)

例 14. (1)一物体按规律 x=bt 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度 的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 2 (2)抛物线 y=ax +bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

3

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt 2 2 2 2 4 媒质阻力 Fzu ? kv ? k (3bt ) ? 9kb t ,其中 k 为比例常数,k>0。
解析: (1)物体的速度 V ?

a 当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 , b
又 ds=vdt,故阻力所作的功为:

1

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv 2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

( 2 ) 依 题 设 可 知 抛 物 线 为 凸 形 , 它 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x1=0 , x2= - b/a , 所 以

S ? ? a (ax2 ? bx)dx ?
0

?

b

1 3 b (1) 6a 2
2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 ?
2

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx
2

得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0. 于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16 128b 3 128b 2 (3 ? b) ? , ; S (b) ? , ( b ? 0 ) S ( b ) ? 6(b ? 1) 4 3(b ? 1) 5 9 。 2

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b)<0.故在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max ?

点评:应用好定积分处理平面区域内的面积。 五.思维总结 1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主 主要考查: (1)函数的极限; (2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用; (3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。 2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标。

导数的概念及其几何意义 1.(2010 辽宁)已知点 p 在曲线 y ?

4 上,? 为曲线在点 p 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值 e ?1
x

? ? ? 3? 3? (B) [ , ) (C) ( , ] (D) [ , ? ) 4 2 2 4 4 2.(2010 江西)等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ??? ( x ? a8 ) ,则 f '(0) ?
A. 2
6

范围是 ? (A) [0, ) 4

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

3.(2009 全国)曲线 y ?

A. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0 4.(2009 全国)已知直线 y=x+1 与曲线 y =ln(x+a)相切,则 a 的值为() A:1 B:2 C-1 D-2 5. (2009 安徽) 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 ( A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? x (C) y ? 3x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 3 2 2 6.(2010 江苏)函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16, 则 a1+a3+a5=_21
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x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0

x ?1 ? ln ? x ? 1? , 其中实数 a ? 1 。 x?a (1)若 a=-2,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线方程;7x-4y-2=0
7.(2010 重庆)已知函数 f ? x ? ? (2)若 f ? x ? 在 x=1 处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性 a=-3 积分的运算及应用 8.(2011 课标)由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(C)
16 3

(A)

10 3

(B)4

(D)6

9.(2011 福建) A.1 (A)

? 0 (e +2x)dx 等于
2

1

B.e-1
2 3

C.e (B)

D.e+1 (C)

10.(2010 山东)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为

1 12
?
2 ? 2

1 4

1 3

(D)

7 12

11.(2009 福建) A. ?

? ? (1 ? cos x)dx 等于
B.2 C. ? ? 2 D. ? ? 2

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( ) 2 x 15 17 1 ln 2 A. B. C. D. 2 ln 2 4 2 4 lg x x?0 ? ? 13.(2011 陕西)设 f ( x) ? ? ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? 1 . a x ? ? 3t 2dt x? 0 ? 0 ?
12.(2008 宁夏)由直线 x ?


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