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二次函数专题第7—12课时


第 7—12 课时

一:教学目标: 教学目标: 1.立足教材,打好基础,查漏补缺,熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基 本技能. 2.让学生自己总结交流所学内容,发展学生的语言表达能力和合作交流能力. 3.通过学生自己 归纳总结本部分内容,使他们在动手操作方面,探索研究方面, 语言表达方面,分类讨论、归纳等方面都有所发展. 二:教学重点与难点 重点:将本部

分的知识有机结合,强化训练学生综合运用数学知识的能力, . 重点 难点:把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识. 难点: 三:教学时间:4 课时 教学时间: 【课时分布】 函数部分在第一轮复习时大约需要 4 个课时,其中包括单元测试.下表为内 容及课时安排. 课时数 内 容 二次函数的对称性,顶点问题 1 二次函数极值、平移问题 1 二次函数与 x 轴交点的问题 1 二次函数的综合问题 1 二次函数的探索运用(练习) 2 教学过程: 板书设计) 四:教学过程: 板书设计) (
(1) :二次函数的对称性、顶点问题 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1、 关于 x 轴对称 y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 ? bx ? c ;
y = ?a ( x ? h ) ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 ; y 轴对称 2、 关于 y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y = ax 2 ? bx + c ;
2 2

y = a ( x ? h) + k

y = a ( x + h) + k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 ; 3、 关于原点对称 y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 + bx ? c ;
2 2

y = a ( x ? h) + k

关于原点对称后,得到的解析式是 4、 关于顶点对称
y = ax + bx + c 关于顶点对称后,得到的解析式是
2

y = a ( x ? h) + k
2

y = ?a ( x + h ) ? k
2



y = ?ax 2 ? bx + c ?
2

b2 2a ;

y = a ( x ? h) + k
2

m, ) n 5、 关于点 ( 对称 y = a ( x ? h) + k
2

关于顶点对称后,得到的解析式是

y = ?a ( x ? h ) + k


2

m, ) n y = ? a ( x + h ? 2m ) + 2n ? k 关于点 ( 对称后,得到的解析式是 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此

a

永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择

合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法

b ? 4ac ? b 2 ? y = ax 2 + bx + c = a? x + + ? 2a ? 4a ? 1 : 公 式 法 : , ∴ 顶 点 是 2 b 4ac ? b b x=? (? , ) 2a 4a 2a ,对称轴是直线.
2
2

顶点为( h , k ),对称轴是直线 x = h . 3:运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. (2) :二次函数平移问题 平移步骤:
y = a ( x ? h) + k h, ) k ,确定其顶点坐标 ( ; ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 2 h, ) k ⑵ 保持抛物线 y = ax 的形状不变,将其顶点平移到 ( 处,具体平移方法如下:
2

2:配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y = a ( x ? h ) + k 的形式,得到

y=ax2

向向(k>0)【或向或(k<0)】平平|k|个个个

y=ax 2+k

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|个个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平 |k|个个个 向向(k>0)【或或(k<0)】 平平|k|个个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|个个个

y=a(x-h)2

向向(k>0)【或或(k<0)】平平|k|个个个

y=a(x-h)2+k

平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . (3) :二次函数与直线相交的问题 1 直线与抛物线的交点
2 1 y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 得交点为(0, c ). 2 2 与 y 轴 平 行 的 直 线 x = h 与 抛 物 线 y = ax + bx + c 有 且 只 有 一 个 交 点

( h , ah

2

+ bh + c ).

2 3 抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y = ax + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标

x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情
况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点 ? ? > 0 ? 抛物线与 x 轴相交;

②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? = 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? < 0 ? 抛物线与 x 轴相离. 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为 k ,则横坐标是 ax + bx + c = k 的两个实数根.
2

一次函数 y = kx + n(k ≠ 0) 的图像 l 与二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0 ) 的图像
2

? y = kx + n ? 2 G 的交点,由方程组 ? y = ax + bx + c 的解的数目来确定: ①方程组有两组不同 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③ 的解时 方程组无解时 ? l 与 G 没有交点.
抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴两交点为
2

A( x1,),B( x 2,) ,由于 x1 、 x 2 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,故 0 0 b c x1 + x 2 = ? , x1 ? x 2 = a a

AB = x1 ? x2 =

(x1 ? x2 )

2

=

(x1 ? x2 )

2

b 2 ? 4ac ? ? b ? 4c = = ? 4 x1 x2 = ? ? ? ? a a a ? a?
2

4:二次函数的综合运用 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 1,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A( 3 ,0) ,B( 2 3 ,0) ,C(0,-3)三点,求抛物线 的解析式。 2,已知抛物线 y=a(x-1)2+4 , 经过点 A(2,3) ,求抛物线的解析式。 顶点式。 1,已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A(2,1) ,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为(3,1) ,求抛物线的解析式。 交点式。 1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。

1 2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0)(1,0)求抛物线 y= 2 a(x-2a)(x-b)的解析式。 ,
定点式。

1 5?a y = ? x2 + x + 2a ? 2 2 2 1,在直角坐标系中,不论 a 取何值,抛物线 经过 x 轴上一 定点 Q,直线 y = (a ? 2) x + 2 经过点 Q,求抛物线的解析式。
2,抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 3,抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A,求抛物线的解析式。 平移式。 1, 把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2, 抛物线 y = ? x + x ? 3 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。 1,抛物线 y=ax2+4ax+1(a﹥0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC,
2

求此抛物线的解析式。 对称轴式。 1、抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴 距离的 2 倍,求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B(点 A 在点 B 左边)两点,交 y 轴于点 C,且

3 OB-OA= 4 OC,求此抛物线的解析式。
对称式。 1, 平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上,且 A(-10,0) ,AC=16,D(2,6) 。AD 交 y 轴于 E,将三角形 ABC 沿 x 轴折叠,点 B 到 B1 的位置,求经过 A,B,E 三点的抛物线 的解析式。 2, 求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴(或 x 轴)对称的抛物线的解析式。 切点式。 1,已知直线 y=ax-a2(a≠0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点,求抛物线的解析式。 2, 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点 A(2,1),求抛物线的解析式。 判别式式。 1、已知关于 X 的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根,求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。 2、 已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。

五:课堂练习: 课堂练习:
1.(2003·大连)抛物线 y=(x-2)2+3 的对称轴是( ). A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=2

2.(2004·重庆)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,则点 M(b, ( ). A.第一象限;

c )在 a

B.第二象限; C.第三象限;

D.第四象限

3.(2004·天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c,且 a<0,a-b+c>0,则一定 有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 D.b2-4ac≤0 C.b2-4ac<0 4.(2003· 杭州)把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得 图象的解析式是 y=x2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 5.(2004· 河北)在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为 ( ).

6.(2004·昆明)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐 标是 4, 图象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.(2004· 河北)若将二次函数 y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式,则 y=_______. 2.(2003·新疆)请你写出函数 y=(x+1)2 与 y=x2+1 具有的一个共同性质_______. 3.(2003·天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该 抛物线的解析式为_________. 4.(2004· 武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足 条件的二次函数的解析式:_________. 5.(2003·黑龙江)已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1,则 a+c=_____. 6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线 x=4; 乙:与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 二次函数的综合 综合应用 4. 二次函数的综合应用 (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值; (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数 关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达 式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性, 对问题加以拓展等. 例 5 (2003·厦门)已知抛物线 y=x2+(2k+1)x-k2+k, (1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点. (2)设 x1、x2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x12+x22=-2k2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②设点 P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值. 分析: 分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不 相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可. (2)①根据二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的 关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式; ②由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n1=n2,由 n1=m12+m1,n2=m22+m2 得 m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1.

2 2 解:(1)证明:△=(2k+1) -4(-k +k) =4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. ∵8k2+1>0, 即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得 x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k. ∵x12+x22=-2k2+2k+1, ∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. ∴8k2=0,∴k=0, ∴抛物线的解析式是 y=x2+x. ②∵点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n1=n2. 又 n1=m12+m1,n2=m22+m2. ∴m12+m1=m22+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. ∵P、Q 是抛物上不同的点, ∴m1≠m2,即 m1-m2≠0. ∴m1+m2+1=0 即 m1+m2=-1. 点评: 点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数 的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.

六.作业布置 作业布置

1.(2003·安徽)已知函数 y=x2+bx-1 的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当 x>0 时,求使 y≥2 的 x 取值范围.

2.(2004·济南)已知抛物线 y=点关于 y 轴对称.

1 2 x +(62

m 2 )x+m-3 与 x 轴有 A、B 两个交点,且 A、B 两

(1)求 m 的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.

3.(2004 · 南 昌 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 给 定 以 下 五 点 A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,

9 ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于 y 轴的直线为 2
对称轴.我们约定:把经过三点 A、E、B 的抛物线表示为抛物线 AEB(如图所示). (1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式, 请用约定的方法一一表示出来; (2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果 存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.

能力提高练习
一、学科内综合题 1.(2003·新疆)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点, 与 y 轴交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°, 求这个二次函数的解析式.

二、实际应用题 2.(2004·河南) 某市近年来经济发展速度很快, 根据统计: 该市国内生产总值 1990 年为 8.6 亿元人民币,1995 年为 10.4 亿元人民币,2000 年为 12.9 亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测 2005 年该市 国内生产总值将达到多少?

3.(2003·辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后, 公司经历了从亏损到 盈利的过程.下面的二次函数图象(部分) 刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销 售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元?

4.(2003· 吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m 时,水面 CD 的宽是 10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 280km(桥长忽略不计).货车正以每小时 40km 的速度开往乙地,当行驶 1 小时时, 忽然接到 紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位 在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能 否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能, 要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时 多少千米?

三、开放探索题 5.(2003· 济南) 某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两 个重要的结论.一是发现抛物线 y=ax2+2x+3(a≠0),当实数 a 变化时,它的顶点都在某条直 线上;二是发现当实数 a 变化时,若把抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点的横坐标减少 加

1 ,纵坐标增 a

1 1 1 ,得到 A 点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增加 ,得到 B 点的坐标,则 A、 a a a

B 两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3 上. (1)请你协助探求出当实数 a 变化时,抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的解析式; (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由; (3)在他们第二个发现的启发下,运用 “一般──特殊──一般” 的思想, 你还能发现什 么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.

6.(2004·重庆)如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的边长为 a,O 为原点, 点 B 在 x 轴的负 半轴上,点 D 在 y 轴的正半轴上.直线 OE 的解析式为 y=2x,直线 CF 过 x 轴上一点 C(且与 OE 平行.现正方形以每秒

3 a,0) 5

a 的速度匀速沿 x 轴正方向平行移动, 设运动时间为 t 秒, 10

正方形被夹在直线 OE 和 CF 间的部分的面积为 S. (1)当 0≤t<4 时,写出 S 与 t 的函数关系; (2)当 4≤t≤5 时,写出 S 与 t 的函数关系,在这个范围内 S 有无最大值?若有, 请求出 最大值;若没有,请说明理由.

答案: 答案: 基础达标验收卷 一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 二 、 1.(x-1)2+2 2. 图 象 都 是 抛 物 线 或 开 口 向 上 或 都 具 有 最 低 点 ( 最 小 值 ) 3.y=-

1 2 5 x +2x+ 4.如 y=-x2+1 5.1 2 2 1 8 1 8 1 8 1 8 6.y= x2- x+3 或 y=- x2+ x-3 或 y=- x2- x+1 或 y=- x2+ x-1 5 5 5 5 7 7 7 7

三、 1.解:(1)∵函数 y=x2+bx-1 的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得 b=-2. ∴函数解析式为 y=x2-2x-1. (2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略. 图象的顶点坐标为(1,-2). (3)当 x=3 时,y=2,根据图象知,当 x≥3 时,y≥2. ∴当 x>0 时,使 y≥2 的 x 的取值范围是 x≥3. 2.(1)设 A(x1,0) B(x2,0). ∵A、B 两点关于 y 轴对称. ∴?

? x1 + x2 = 0, ? x1 x2 ≤ 0.

∴?

?2(6 ? m 2 ) = 0, ? ??2(m ? 3) ≤ 0. ?

解得 m=6.

(2)求得 y=(3)方程-

1 2 x +3.顶点坐标是(0,3) 2

1 2 2 x +(6- m )x+m-3=0 的两根互为相反数(或两根之和为零等). 2

3.解:(1)符合条件的抛物线还有 5 条,分别如下: ①抛物线 AEC; ②抛物线 CBE; ③抛物线 DEB; ④抛物线 DEC; ⑤抛物线 DBC. (2)在(1)中存在抛物线 DBC,它与直线 AE 不相交. 设抛物线 DBC 的解析式为 y=ax2+bx+c.

9 ? ?4a ? 2b + c = 2 , ? 9 将 D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得 ?a + b + c = 0, 2 ?16a + 4b + c = . ? ?
解这个方程组,得 a=

1 5 ,b=,c=1. 4 4 1 5 ∴抛物线 DBC 的解析式为 y= x2- x+1. 4 4

【另法:设抛物线为 y=a(x-1)(x-4),代入 D(-2, 又将直线 AE 的解析式为 y=mx+n. 将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 ? 解这个方程组,得 m=-3,n=-6. ∴直线 AE 的解析式为 y=-3x-6. 能力提高练习 一、 1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴-

9 1 ),得 a= 也可.】 2 4

??2m + n = 0, ?n = ?6.

b <0,∴b>0. 2a

又∵抛物线交于 y 轴的负半轴. ∴c<0.

(2)如图,连结 AB、AC. ∵在 Rt△AOB 中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在 Rt△ACO 中,∠ACO=60°, ∴OC=OA·cot60°= 3 ,∴C( 3 ,0). 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0).

? 3 , ?a = ?9a ? 3b + c = 0, 3 ? ? ? 由题意 ?3a + 3b + c = 0, ? ?b = 3 ? 1, ?c = ?3. ?c = ?3. ? ? ? ?
∴所求二次函数的解析式为 y=

3 2 x + ( 3 -1)x-3. 3

2.依题意,可以把三组数据看成三个点: A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9) 设 y=ax2+bx+c. 把 A、B、C 三点坐标代入上式,得

?c = 8.6, ? ?25a + 5b + c = 10.4, ?100a + 10b + c = 12.9. ?
解得 a=0.014,b=0.29,c=8.6. 即所求二次函数为 y=0.014x2+0.29x+8.6. 令 x=15,代入二次函数,得 y=16.1. 所以,2005 年该市国内生产总值将达到 16.1 亿元人民币. 3.解:(1)设 s 与 t 的函数关系式为 s=at2+bt+c

?a + b + c = ?1.5, ? 由题意得 ?4a + 2b + c = ?2, ?25a + 5b + c = 2.5; ?
1 2 t -2t. 2

?a + b + c = ?1.5, ? 或 ?4a + 2b + c = ?2, ?c = 0. ?

1 ? ?a = 2 , ? 解得 ?b = ?2, ?c = 0. ? ?

∴s=

(2)把 s=30 代入 s=

1 2 1 t -2t, 得 30= t2-2t. 2 2

解得 t1=0,t2=-6(舍). 答:截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元. (3)把 t=7 代入,得 s= 把 t=8 代入,得 s=

1 21 ×72-2×7= =10.5; 2 2

1 ×82-2×8=16. 2

16-10.5=5.5. 答:第 8 个月公司获利润 5.5 万元. 4.解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2,桥拱最高点 O 到水面 CD 的距离为 hm, 则 D(5,-h),B(10,-h-3).

?25a = ?h, ∴? ?100a = ? h ? 3.

1 ? ?a = ? , 解得 ? 25 ?h = 1. ? 1 2 x. 25

抛物线的解析式为 y=-

(2)水位由 CD 处涨到点 O 的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到 xkm/h. 当 4x+40×1=280 时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过 60km/h. 5.略

6.解:(1)当 0≤t<4 时,

如图 1,由图可知 OM=

a t,设经过 t 秒后,正方形移动到 ABMN, 10 a 2 ×4= a, ∵当 t=4 时,BB1=OM= 10 5

∴点 B1 在 C 点左侧. ∴夹在两平行线间的部分是多边形 COQNG, 其面积为: 平行四边形 COPG-△NPQ 的面积. ∵CO=

3 a,OD=a, 5 3 2 a. 5 a a ,a),∴DP= . 2 2

∴四边形 COPQ 面积=

又∵点 P 的纵坐标为 a,代入 y=2x 得 P( ∴NP=

a a t. 2 10 1 a a NP NQ = ( ? t ) 2 2 2 10

由 y=2x 知,NQ=2NP,∴△NPQ 面积=

3 2 a a 2 3 2 a2 a2 2 ∴S= a -( ? t) = a(5-t) = [60-(5-t)2]. 5 2 10 5 100 100

(2)当 4≤t≤5 时, 如图,这时正方形移动到 ABMN, ∵当 4≤t≤5 时,

2 a a≤BB1≤ ,当 B 在 C、O 点之间. 5 2

∴夹在两平行线间的部分是 B1OQNGR,即平行四边形 COPG 被切掉了两个小三角形△NPQ 和△CB1R,其面积为:平行四边形 COPG-△NPQ 的面积-△CB1R 的面积.

a a a a a t,NP= ? t,S△NPQ=( ? t)2 , 2 2 10 2 10 3 3 a ∵CO= a,CM= a+ t,BiM=a, 5 5 10 3 a a 2 ∴CB1=CM-B1M= a+ t-a= t- a. 5 10 10 5
与(1)同理,OM=

∴S△CB1R=

1 a 2 CB1·B1R=(CB1)2=( t- a)2. 2 10 5 3 2 a a 2 a 2 t) -( t- a)2 ∴S= a -( 5 2 10 10 5 3 2 a2 a[(5-t)2+(t-4)2] 5 100

=

=

3 2 a2 a(2t2-18t+41) 5 100 3 2 a2 9 1 a[2·(t- )2+ ]. 5 100 2 2 9 3 a2 1 119 2 时,S 有最大值,S 最大= a· = a. 2 5 100 2 200

=

∴当 t=


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