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烟台市2014届高三上学期期末考试高三数学试题(理)


烟台市 2014 届高三上学期期末考试



学(理)

注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟; 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.每小题给出四个选项,只有一个 选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设全集

U ? R, M ? x x ? x ? 3? ? 0 , N ? x x ? ?1 ,则图中阴影部分表示的集合为 A. x ? 3 ? x ? 0 C. x x ? ?3

?

?

?

?

?

?

B. x x ? ?1

?

?
?

?

?

D. x ?1 ? x ? 0

?

2.在递减等差数列 ? an ? 中, 若 a1 ? a5 ? 0, 则Sn 取最大值时 n 等于 A.2 B.3 C.4 D.2 或 3 3.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个 两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧 面是 A. 9? B. 12? C.18 ? D.24 ? 4.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是 A. a ? b
3 3

B.

1 1 ? a b

C. a ? 1
b

D. 1g ? b ? a ? ? 0 5.设 m、n 是不同的直线, ?、?、? 是不同的平面,有以下四个命题:

A.①④

B.②③

C.①③

D.②④
1

6.在 ?ABC中,若?B、?C 的对边长分别为 b、c,?B ? 45 ,c ? 2 2, b ?
?

4 3 , 3

则?C =
A.30° 7.函数 y ? B.60° C.120° D.60°或 120°

x ln x x

的图像可能是

8 若点 P ?1,1? 为圆x ? y ? 6 x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为.
2 2

A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 9. 若点 P 是函数 y ? e ? e
x

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0
?x

1? ? 1 ? 3x ? ? ? x ? ? 图象上任意一点,且在点 P 处切线的倾 2? ? 2

斜角为 ? , 则? 的最小值是 A.

5? 6

B.

3? 4
2

C.

? 4

D.

? 6

10.已知直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,且点 A、B 到 y 轴的 距离分别为 m、n,则 m+n+2 的最小值为 A. 4 2 B. 6 2 C.4 D.6

11. 如 图 , O 为 线 段 A0 A2013 外 一 点 , 若

A0 , A1 , A2 , A3 , ???, A2013 中任意相邻两点的距离
, OA ? 相等, OA 0 ? a 2013 ???? ? ?????? ? b ,用 a,b 表示
2

???? ? ???? ? ???? ? ?????? ? OA0 ? OA2 ? OA3 ? ??? ? OA2013 其结果为
A.1006(a+b) B.1007(a+b) C.2012(a+b) D.2014(a+b) 12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? , 如 果 存 在 函 数 g ? x ? ? kx ? b ( k,b 为 常 数 ) ,使得

f ? x ? ? g ? x ? 对一切实数 x 都成立,则称 g ? x ? 为函数 f ? x ? 的一个承托函数.现有如下
命题: ①对给定的函数 f ? x ? ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个. ②函数 g ? x ? ? 2 x 为函数 f ? x ? ? 2 的一个承托函数.
x

③定义域和值域都是 R 的函数 f ? x ? 不存在承托函数. 其中正确命题的序号是 A.① B.② C.①③ D.②③ 二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,请将正确答案填在答题卡相 应位置. 13.已知 ? ? ? ?

4 ? ? ? ,0 ? , 且 cos ? ? , 则tan 2 ? ? 5 ? 2 ?

?x ? y ? 1 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最大值是 ?0 ? y ? 3 ?
15.对 ?x ? R,不等式log 2 ? 4 ? a ? ? x ? 3 ? x ? 1 成立,则实数 a 的取值范围是 16. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? bx ? a, b ? R ? 的图
3 2

象如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函 数图象所围成的区域 (如图阴影部分) 的面积为

1 , 12

则 a= 三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要 求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 17.(本小题满分 12 分)
3

已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ? x ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期;

? ?

??

?? ? ? cos ? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 4? 4? ?

(2)若将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,求函数 g ? x ? 在区间 3

? ?? 0, ? 上的最大值和最小值,并求出相应的 x 的值. ? ? 2?
18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 菱 形 ABCD 中 , ?A B C ? 6 0 , A E?平 面 ABCD , CF ? 平 面 ABCD ,
?

AB=AF=2,CF=3. (1)求证:EF ? 平面 BDE; (2)求锐二面角 E—BD—F 的大小. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 对一切正整数 n, 点 Pn ? n, S n ? 在函数 f ? x ? ? x ? 2 x 的
2

图像上,且过点 Pn ? n, S n ? 的切线的斜率为 K n . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若 ?bn ? ? 2 n an , 求数列?bn ? 的前 n 项和 Tn .
k

20.(本小题满分 12 分) 近日,国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动,大力增产市场适销对路产品的通 知, 并发布了当前国内市场 185 种适销工业品和 42 种滞销产品的参考目录.为此, 一公司 举行某产品的促销活动,经测算该产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销 费用 x 万元满足 P ? 3 ?

2 ?其中0 ? x ? a, a为正常数? .已知生产该产品还需投入成 x ?1
? ? 20 ? ? 元/件. P?

本 10+2P 万元(不含促销费用) ,产品的销售价格定为 ? 4 ?

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ? 2a ? 1? x ? 2ln x ? x ? R ? . 2
4

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1和x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值及函数 y ? f ? x ? 的 单调区间; ( 2 ) 设 g ? x? ?

?

2 x ?2 ? x x e, 若 对 任 意 x1 ? ? 0, 2? , 均 存 在 x2 ? ? 0, 2? , 使 得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 a 的取值范围.
22.(本小题满分 13 分) 椭圆: E :

x2 y 2 x2 y2 与双曲线 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? 0 ? m2 ? 3? 有公共的焦点, ? ? 2 2 2 2 a b m 3? m
2

过椭圆 E 的右顶点作任意直线 l, 设直线 l 交抛物线 y ? 2 x于M 、N 两点, 且 OM ? ON . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A、关于 x 轴的对 称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一 个交点为 B,试判断直线 PA,PB 是否相互垂直?并证明你的结论.

5

数学(理)答案
一、选择题:DDBDC 二、填空题:13. ? 三、解答题: 17. 解: (1) f ( x) ? 3 sin(2 x ?

DBDBC BA
14. 13 15. ?? 12,4 ? 16. ? 1

24 7

?
2

) ? sin 2 x

? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 3
所以 f ( x) 的最小正周期为 ? .……………… 6 分 (2)?将 f ( x) 的图象向右平移

?

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象, 3
3

? ? ?? ? 2( x ? ) ? ? 2sin(2 x ? ). ? g ( x) ? f ( x ? ) ? 2sin ? ? ?
3 ? 3 3?

? ? ? 2? ? ?? ? x ? ?0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , 3 ? 3 3 ? 2?
?当 2 x ?
当 2x ?

? ?, ?

?
3

?

?
2

,即 x ?

?
3

??

?

5? 时, g ( x) 取得最大值 2;………… 9 分 12

3

,即 x ? 0 时, g ( x) 取得最小值 ? 3 .…………12 分

18. (1)证明:连接 AC 、 BD ,设 AC ? BD ? O , ∵ ABCD 为菱形,∴ AC ? BD ,以 O 为原点, OA , OB 为 x 、 y 轴正向, z 轴过 O 且平行于 CF ,建立空间直角坐标系(图 1) ,………… 2 分 则 B (0, 3, 0),D(0, ? 3, 0), E (1, 0, 2), F (?1, 0, 3) ,

DE ? (1, 3, 2), BE ? ( 1, ? 3, 2) 0, 1) ,………4 分 , EF ? (?2, ∴ EF ? DE ? 0 , EF ? BE ? 0 ,∴ EF ? DE , EF ? BE , 又 DE ? BE ? E ,∴ EF ⊥平面 BDE .………6 分 0, 1) 是平面 BDE 的一个法向量, (2)由知(1) EF ? (?2, 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 BDF 的一个法向量, DF ? (?1, 3, 3), BF ? (? 1, ? 3, 3) ,由 m ? DF ? 0 , m ? BF ? 0

6

得: ?

? ?? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 3 z ? 0

,……… 8 分

取 x ? 3, ,得 z ? 1, y ? 0 ,于是 m ? (3,0,1)

cos < m , EF > ?

?5 10 ? 5

??

2 ………10 分 2

但二面角 B — BD — F 为锐二面角, 故其大小为 45 . …………12 分 19.解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,
2

?

? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) .……………… 2 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1.
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式, 所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. ……………… 6 分
2 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 ,

因为过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 ,

? bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n , ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ? ? ?+4 ? (2n ? 1) ? 4n 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 44 ? ? ? ?+4 ? (2n ? 1) ? 4 n ?1
两式相减得
2 3 n n ?1 ? ?3Tn ? 4 ? ?3 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?+4 ? -(2n ? 1) ? 4 ?







9



2 ? ? 4( 1 ? 4 n ?1) ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n ?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ? 4 ? .……………………… 12 分 9 9 20 20.解: (1)由题意知, y ? (4 ? ) p ? x ? (10 ? 2 p) , p 2 将P ? 3? 代入化简得: x ?1 4 y ? 16 ? ? x ( 0 ? x ? a ). …………… 6 分 x ?1 4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , (2) y ? 17 ? ( x ?1 x ?1
7

当且仅当

当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, y ? 17 ? (

4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号. …………… 9 分 x ?1

4 ? x ? 1) 在 ? 0, a ? 上单调递增, x ?1 所以 x ? a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . 综上,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, 促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大 .…… 12 分 2 1 21.解: (1) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? , f ?(1) ? ?a ? 1, f ?(3) ? a ? , x 3 2 2 7 2 (2 x ? 3)( x ? 2) 由 f ?(1) ? f ?(3) 得 a ? , f ?( x) ? x ? ? ? …… 3 分 3 3 3 x 3x ? 3? +? ? , 所以 y ? f ? x ? :单调递增区间为 ? 0, ? , ? 2, ? 2? ?3 ? 单调递减区间为 ? , 2 ? . …………… 6 分 ?2 ? (2)若要命题成立,只须当 x ? ? 0, 2? 时, f ( x) max ? g ( x) max .
由 g ? ? x ? ? x ? 2 e 可知, 当 x ? ? 0, 2? 时 g ( x)max ? g (0) ? g (2) ? 0 ,
2 x

?

?

所以只须 f ( x) max ? 0 .…………… 8 分

2 ( ax ?1)( x ? 2) , ? x x 1 1 1 ①当 a ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? ?2ln a ? ?2 2 a 2a 当 a ? 1 时,显然 f ( x) max ? 0 ,满足题意,
对 f ( x) 来说, f ?( x) ? ax ? (2a ?1) ?

1 1 ?1 ? ? 2 ? ? x ? 1? , ? a ? 1 时,令 h ? x ? ? ?2 ln x ? 2x 2 ?2 ? 2 1 h? ? x ? ? ? ? 2 ? 0 ,所以 h ? x ? 递减,所以 h ? x ? ? 0 ,满足题意, x 2x 1 所以 a ? 满足题意;…………… 10 分 2 1 ②当 a ? 时, f ( x) 在 x ? ? 0, 2? 上单调递增, 2 1 所以 f ( x) max ? f (2) ? 2ln 2 ?2 a ?2 ? 0 得 ln 2 ? 1 ? a ? ,…… 12 分 2 综上所述, a ? ln 2 ? 1.…………… 13 分
当 22.解:(1)设点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 )
8

设直线 l : ty ? x ? a ,代入 y ? 2 x 并整理得 y ? 2ty ? 2a ? 0
2 2

所以 ?

? y1 ? y 2 ? 2t ………………… 2 分 ? y1 ? y 2 ? ?2a

故有 OM ? ON ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? (ty1 ? a)(ty2 ? a) ? y1 ? y 2

? (t 2 ? 1) y1 y 2 ? at( y1 ? y 2 ) ? a 2 ? (t 2 ? 1)( ?2a) ? at 2 ? a 2

? a 2 ? 2a

解得 a ? 2 ………………… 5 分

又椭圆与双曲线有公共的焦点,故有 c ?

3

x2 所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . ……………………… 7 分 4
(2) PA ? PB 证明:设 P( x0 , y 0 ) ,则 A(? x0 ,? y 0 ) , D( x0 ,? 将直线 AD 的方程 y ?
2 2

1 2 2 ?4 y0 ) 且 x0 ? 4 y 0 2

y0 ( x ? x0 ) ? y 0 代入椭圆的方程并整理得 4 x0

2 2 2 2 (4 x0 ? y 0 ) x 2 ? 6 x0 y 0 ? 9 x0 y 0 ? 16 x0 ? 0 ……………… 9 分

由题意可知此方程必有一根 ? x 0

xB ?

2 2 3 2 6 x0 y 0 y0 6 x0 y 0 y0 ? 2 x0 y0 ? x y ? ( ? 2 x ) ? y ? , 0 B 0 0 2 2 2 2 2 2 4 x0 4 x0 ? y 0 4 x0 ? y 0 4 x0 ? y 0
3 2 y0 ? 2 x0 y0 ? y0 2 2 2 4 x0 ? y 0 ? 6 x0 y0 x ? ? ? ? 0 ………… 12 分 2 2 y0 6 x0 y 0 6 x0 y 0 2 2 4 x0 ? y 0

所以 k PB

故有 k PA ? k PB ? ?1 , 即 PA ? PB ……………………… 13 分

9


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