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新人教4-4简单曲线圆和直线的极坐标方程


1.3简单曲线的极坐标方程

例1、已知圆O的半径为r,建立怎 样的坐标系,可以使圆的极坐标 方程更简单?

探 究
如图,半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(?,?)满足 的条件?
O
C(a,0)

x

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都 在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? ?=2asin ?

(3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

练习:说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1) ?=2cos(? (2) (3)

?
4

)

?=cos( -? )
3

?

?=3 sin ? (4)   ?=6

练习2
极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ =sinθ的两个圆的圆心距是多少

2 2

练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是

C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

练习: 1、曲线的极坐标方程?=4sin ? 化为直角坐标 方程_________ x ? ( y ? 2) ?
2 2

4
?
)=1化为直角坐

2.曲线极坐标方程?cos(? -

6 3 ? y?2? x 标方程_________ 0

1.小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程

1、负极径的定义
说明:一般情况下,极径都是正值; 在某些必要情况下,极径也可以取 负值。(?)
对于点M(?,?)负极径时的规定: P X

[1]作射线OP,使?XOP= ?
O

?

[2]在OP的反向延长

M

线上取一点M,使?OM?= ? ? ?

2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M(-3,?/4)的位置
[1]作射线OP,使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长 线上取一点M,使 ?OM?= 3 O P ?= ?/4 X

M

? 练习:写出点 的负极径的极坐标 (6, ) 6 ? 11? 答:(-6, +π) 或(-6,- +π) 6 6

负极径小结:极径变为负,极角增加 ? 。

特别强调:一般情况下(若不作特别 说明时),认为? ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。

§1.3.2直线的极坐标方程

新课引入:
思考:在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直 线方程为 x=3 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线 x=a 方程为_______ 特点:所有点的横坐标都是一样, 纵坐标可以取任意值。

怎样求曲线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 ? / 4,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

思考: 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 4 坐标方程。
5 易得 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4

坐标方程。 ? 5 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来,极坐标系里的 直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 通径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l 线 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, ?MOA 中有 在
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l 的极坐标方程。
? ?1 P

M

o

? ? ﹚ ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1
设直线L与极轴交于点A。则在?MOP

?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )
由正弦定理 得
?1 ? ? sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? )

显然点P的坐标 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 也是它的解。

例3: (1)直角坐标方程x ? y ? 2 x ? 3 y ? 0的极坐标
2 2

方程为_______ ? ? -2? cos


? 3? sin ? ? 0

(2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标 方程为_______ 方程为_______ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标 方程为_______ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标

2? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0

? ?3

? cos ? ? 3

解:?=5 3 cos? ? 5 sin ?两边同乘以?得

? =5 3? cos?-5? sin ?即化为直角坐标为
2

x ? y ? 5 3x ? 5 y
2 2

5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ? ( ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( ,? ),半径是5 2 2

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴

3、过某个定点,且与极轴成一定
的角度


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