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初高中衔接教材教案1


函数概念、图象和性质
一、回顾复习 提问 1 初中函数是怎样定义的? 提问 2 初中我们学习了哪些函数,你能画出它们的图象吗? 二、探索研究 1.对一次函数和二次函数系数的探究 (1)当 k>0 时 ① ② (2)当 k<0 时 ① ② 系数 b 叫做截距,即直线和 y 轴的交点的纵坐标。 (1)当 a>0 时 ①抛物线开口向上 ②图象有最低点即函数有

最小值 ③对称轴的左侧图象呈下坡趋势,对称轴的右侧图象呈上坡趋势 (2)当 a>0 时 ①抛物线开口向下 ②图象有最高点即函数有最大值 ③对称轴的左侧图象呈上坡趋势,对称轴的右侧图象呈下坡趋势 系数 b 和 a 决定图象的对称轴,系数 c 表示图象和 y 轴交点的纵坐标(截距)

提问 这两个函数的解析式一样吗? 在这两个问题中,自变量的取值范围不一样,第一个问题中 x 的取值范围是自然数,而第二个问 题中 x 的取值范围是大于 0 的所有实数。因此尽管两个函数的表达式是一样的,但实质上是不一样 的。所以我们学习函数时还应该考虑自变量的取值范围。哪如何求自变量的取值范围呢? 第一种情况 函数表达式有意义

4.自变量的取值对函数图象的影响 请画出例 1 和例 2 的图象。 例 1 的图象是在同一条直线上的点,例 2 的图象是从原点出发的射线。

因此自变量取值范围的不同函数的图象要发生根本的改变。 x2 问题:y=x 与 y= 是同一个函数吗? x 函数 y=f(x)中自变量 x 的取值范围叫做函数的定义域, 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,叫函数的值域. 一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是 R,值域也是 R.对于 R 中的任意一个数 x,在 R 中都有 一个数 f(x)=ax+b(a≠0)和它对应. k 反比例函数 f(x)= (k≠0)的定义域是 A={x|x≠0},值域是 B={f(x)|f(x)≠0},对于 A 中的任意 x 一个实数 x,在 B 中都有一个实数 f(x)= k (k≠0)和它对应. x 4ac-b2 }; 4a

二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是 R,值域是当 a>0 时 B={f(x)|f(x)≥

4ac-b2 当 a<0 时,B={f(x)|f(x)≤ },它使得 R 中的任意一个数 x 与 B 中的数 f(x)=ax2+bx+c(a≠ 4a 0)对应. [例 1]求下列函数的定义域. (1)f(x)= 1 x-2 (2)f(x)= 3x+2 1 (3)f(x)= x+1 + 2-x

分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定 义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合. 1 解:(1)x-2≠0,即 x≠2 时, 有意义 x-2 ∴这个函数的定义域是{x|x≠2} 2 (2)3x+2≥0,即 x≥- 时 3x+2 有意义 3 2 ∴函数 y= 3x+2 的定义域是[- ,+∞) 3
?x+1≥0 ?x≥-1 ? (3) ? ? ?2-x≠0 ?x≠2 ∴这个函数的定义域是{x|x≥-1}∩{x|x≠2}=[-1,2)∪(2,+∞). 注意:函数的定义域可用三种方法表示:不等式、集合、区间. 从上例可以看出,当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的 实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集); (5)如果 f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的 实数的集合. 例如:一矩形的宽为 x m,长是宽的 2 倍,其面积为 y=2x2,此函数定义域为 x>0 而不是全体 实数. 由以上分析可知:函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定. [例 2]求下列函数的值域 (1)y=1-2x (x∈R) (2)y=|x|-1 x∈{-2,-1,0,1,2}

(3)y=x2+4x+3 (-3≤x≤1) 分析:求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域,即“图象法”( 函数的定义域为它的图 像在 X 轴上的正射影;函数的值域为它的图像在 Y 轴上的正射影) 解:(1)y∈R (2)y∈{1,0,-1} (3)画出 y=x2+4x+3(-3≤x≤1)的图象,如图所示, 当 x∈[-3,1]时,得 y∈[-1,8]


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