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高中数学复习等比数列人教版必修5


第 三 节

等比数列

重点难点 重点:等比数列的定义、通项公式、前 n 项和及等 比数列的基本性质 难点:等比数列的应用

知识归纳 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列. 2.等比数列的通项公式 an=a1· n- 1(n∈N*). q an an-1 a3 a2 n- 1 推导方法:累乘法: · ?? · =q . a2 a1 an-1 an-2

3.等比数列的前 n 项和 当 q=1 时,Sn=na1, a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时.Sn= = . 1-q 1-q 推导方法:乘公比、错位相减法. 4.等比中项 如果三个数 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 和 b 的等比中项,即 G2=ab.

5.等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列?{c·n}是等比数列(c≠0). a an (2){an}{bn}均为等比数列?{an·n}、{ }是等比数列. b bn am qm-n (3){an}为等比数列,则 =______. an (4)若 m、 p、 n、 q∈N*且 m+n=p+q, am·n=ap·q. 则 a a 特别地,a1an=a2an- 1=a3an-2=?

(5)等间隔的 k 项和(或积)仍成等比数列. 例如:{an}是等比数列,则 ①a1, 3, 5, a2n-1; 1+a2, 2+a3, 3+a4, a a ?, ②a a a ?; ③a1a2,a2a3,a3a4,?;④a1+a2,a3+a4,a5+a6??均 成等比数列. (6)a2=an-k·n+k a n (1≤k<n,n、k∈N*).

(7){an}是等比数列,则{a2}、{ n 均为等比数列.

1 an}(an>0)、{ }、{|an|} an

(8)非零常数列既是等差数列,也是等比数列. (9)若{an}是等差数列,b>0,则{ban}是等比数列. 若{an}是正项等比数列,则{lgan}是等差数列.

(10)等比数列{an}的单调性
?a >0 ? 1 当? ?q>1 ? ?a1>0 ? ? ?0<q<1 ? ?a <0 ? 1 ,或? ?0<q<1 ?

时 , {an} 为 递 增 数 列 , 当

?a1<0 ? ,或? ?q>1 ?

时,{an}为递减数列.

6.等比数列的判定方法 an+1 (1) =q(q 是不为 0 的常数,n∈N*,an≠0)?{an} an 是等比数列,证明一个数列是等比数列时主要用此方法. (2)an=cqn-1(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*)?{an} 是等比数列. (3)a2 +1=an·n+2(an≠0,n∈N*)?{an}是等比数列. a n (4)Sn=A·n-A(A、q 为常数且 A≠0,q≠0,1)?{an} q 是公比不为 1 的等比数列.

误区警示 1.命题 A:G 是 a、b 的等比中项,B:G= ab,A 既不是 B 的充分条件,也不是 B 的必要条件. 2.在应用等比数列的前 n 项和公式时,一定要对 q =1 与 q≠1 进行分类讨论. 3.等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零,项 与公比的符号有着密切的联系,解题时应特别注意. 4.若 m、n、r∈N*且 m+n=2r,{an}为等比数列, 则 am·n=a2,不是 am·n=a2r,也不是 am+an=a2r. a a r

一、方程的思想 等比数列中有五个量 a1、 q、 n、 n, n、 a S 一般可以“知 三求二”,通过列方程(组)求关键量 a1 和 q,问题可迎刃 而解. 二、分类讨论思想 当 q=1 时,{an}的前 n 项和 Sn=na1;当 q≠1 时, a1?1-qn? a1-anq {an}的前 n 项和 Sn= = .等比数列的前 n 1-q 1-q 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,此处是常考易错点.

三、解题技巧 1.一般地,{an}是等差数列,{bn}是等比数列(公差 d≠0, 公比 q≠1),n=anbn, c 求数列{cn}前 n 项的和用“乘 公比、错位相减法”. 2.等比数列的设项技巧 a (1)对于连续奇数项的等比数列,通常可设为?, 2, q a ,a,aq,aq2,?; q

(2)对于连续偶数项的等比数列,若公比大于 0,则 a a 通常可设为?, 3, ,aq,aq3,?. q q

等比数列的概念与通项公式
[例 1] (2011· 龙岩质检)已知数列{an}是首项为 a1 的

等比数列,则能保证 4a1,a5,-2a3 成等差数列的公比 q 的个数为( A.0 ) B.1 C.2 D.3

分析:依据等比数列的通项公式可将 a1,a3,a5,用 a1 和 q 表示,由条件可列方程求解.

? 解析:∵4a1,a5,-2a3成等差数列,∴2a5 =4a1+(-2a3).设数列{an}的公比为q,则 a5=a1q4,a3=a1q2, ? ∴2a1q4 =4a1 -2a1q2.∵a1≠0,∴q4 +q2 -2 =0,∴q2=1或q2=-2(舍去),∴q=1或q =-1.选C. ? 答案:C

点评:等比数列{an}中,a1≠0,q≠0 在解方程过程 中常要用到.

(文)在等比数列{an}中,a2=-3,a4=-6,则 a8 的值 为( ) A.-24 B.24 C.± 24 D.-12

? 解析:∵a4=a2·q2,∴-6=-3q2, ? ∴q2=2,∴a8=a2·q6=-3×23=-24. ? 答案:A

(理)(2010· 吉林一模)已知数列{an}是公比为 q 的等比 数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,则公比 q 的值为( 1 A.1 或- 2 1 C.- 2 B.1 D.-2 )

解析: 由数列{an}是公比为 q 的等比数列, a1, 3, 且 a a2 成等差数列,得 2a1q2=a1+a1q. 1 ∵a1≠0,∴2q -q-1=0,解得 q=1 或- . 2
2

答案:A

等比数列的前n项和公式
[例 2] (2011· 浙江金华联考)已知正项数列{an}为等

比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则该 数列的前 5 项的和为( 33 A. 12 31 C. 4 ) B.31 D.以上都不正确

分析: 由等差中项的条件和 a2 可建立方程求出公比 q 及 a1,再由求和公式求和.

解析:设{an}的公比为 q,q>0. 由已知得 a4+3a3=2×5a2=10a2, 即 a2q2+3a2q=10a2,∵a2=2,∴q2+3q-10=0, 解得 q=2 或 q=-5(舍去), a1?1-q5? 1×?1-25? 则 a1=1,∴S5= = =31. 1-q 1-2

答案:B

点评:在数列问题中,列方程时可以列出首项和公 比(公差)的方程求解(这是一般方法),更要能够结合题目 特点灵活掌握.

(文)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6 =4S3,则 a4=________.

解析:设等比数列的公比为 q. 当 q=1 时,6a1=4×3a1?a1=0(舍). a1?1-q6? a1?1-q3? 当 q≠1 时,由 S6=4S3? =4· ?1 1-q 1-q +q3=4?q3=3?a4=a1q3=3.
答案:3

(理)在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3a5=64. 则{an}前 8 项的和 S8=________.

解析:因为{an}是等比数列,所以依题设条件得
2 a4=a3·5=64.∴a4=± a 8

a6 ∵{an}是等比数列,∴q = >0, a4
2

故 a4=-8 舍去,得 a4=8,∴a6=a4+24=32, 从而 a5=± a4×a6=± 16,

a5 公比 q 的值为 q= =± 2. a4 a1?1-q8? 当 q=2 时,得 a1=1,所以 S8= =255; 1-q a1?1-q8? 当 q=-2 时,得 a1=-1,所以 S8= =85. 1-q 故答案为:S8=255 或 85.
答案:255 或 85

等比数列的性质
(2010· 全国Ⅰ理)已知各项均为正数的等比数 ) D.4 2

[例 3]

列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 B.7 C.6

分析:观察条件和结论中下标的构成规律,(1,2,3), (4,5,6),(7,8,9)可知,须利用等比数列的性质求解.

解析: 由等比数列的性质知 a1a2a3=(a1a3)·2=a3=5, a 2 a7a8a9=(a7a9)·8=a3=10,所以 a 8 所以 a2a8=50 , a2a8) =(50 )3=5 2.
3
1 6 1 3

a4a5a6=(a4a6)·5=a3=( a 5

答案:A

点评:由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 构成等比数列,又{an}各项均为正数, ∴a4a5a6= a1a2a3·7a8a9=5 2. a

(文)(2011· 浙江杭州月考)正项等比数列{an}中,若 log2(a2a98)=4,则 a40a60 等于( A.-16 B.10 ) C.16 D.256

? 解析:由log2(a2a98)=4,得a2a98=24=16, 则a40a60=a2a98=16. ? 答案:C

(理)(2011· 日照二模)在等比数列{an}中,若 a9+a10= a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100=________. 分析:由条件式中下标的构成规律可知,可利用等 比数列的性质求解.

解析:因为{an}是等比数列,所以 a9 +a10 ,a19 + b9 a20,?,a99+a100 成等比数列,从而得 a99+a100= 8. a
b9 答案: 8 a

等比数列的判断与证明
2 2an [例 4] 已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n 3 an+1 =1,2,?. 1 (1)证明:数列{ -1}是等比数列; an n (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn. an

1 分析:(1)要证明{ -1}是等比数列,本身已指出了 an 2an 1 变形的方向,即把条件式 an+ 1= 变形为 -1= an+1 an+1
?1 ? p? -1?的形式. ?an ?

n (2)由第(1)问可求得 an,这样可得 bn= ,观察{bn} an 的前 n 项和 Sn 表达式可知,可分部求和.

2an 解析:(1)∵an+ 1= , an+1 an+1 1 1 1 ∴ = = + ·, 2 2 an an+1 2an 1 1
? 1? 1 ∴ -1= ? -1?, 2?an an+1 ?

2 1 1 又 a1= ,∴ -1= , 3 a1 2 1 1 1 ∴数列{ -1}是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2

1 1 1 1 (2)由(1)知 -1= ·n-1= n, an 22 2 1 1 n n 即 = n+1,∴ = n+n. an 2 an 2 1 2 3 n 设 Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n 则 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得 Tn= + 2+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 ① ②

1? 1? ?1- n? 2? 2 ? n 1 n = - n+1=1- n- n+1 1 2 2 2 1- 2 n ∴Tn=2- n-1- n. 2 2 n?n+1? 又 1+2+3+?+n= . 2 n ∴数列{ }的前 n 项和 an 2+n n?n+1? n2+n+4 n+2 Sn=2- n + = - n . 2 2 2 2 1

点评:证明一个数列是等比数列,常用方法是: an+1 ①证明对于任意自然数 n, 都等于同一个常数即 an 可. ②对于一个数列,若除了首项和末项(有穷数列)外, 任何一项都是它的前后两项的等比中项,则此数列即为 等比数列.

(文)数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以 3 为公比的等比数列,记 bn=a2n-1+a2n(n∈N*). (1)求 a3、a4、a5、a6 的值; (2)求证:{bn}是等比数列.

解析:(1)∵{anan+1}是公比为 3 的等比数列, ∴anan+ 1=a1a2·n-1=2·n, 3 3 2·2 3 2·3 3 ∴a3= =6,a4= =9, a2 a3 2·4 3 2·5 3 a5= =18,a6= =27. a4 a5

(2)∵{anan+ 1}是公比为 3 的等比数列, ∴anan+ 1=3an- 1an,即 an+1=3an-1, ∴a1,a3,a5,?,a2n-1,?与 a2,a4,a6,?,a2n,? 都是公比为 3 的等比数列. ∴a2n-1=2·n 1,a2n=3·n 1, 3 3 ∴bn=a2n-1+a2n=5·n 1. 3 bn+1 5·n 3 ∴ = n-1=3,故{bn}是以 5 为首项,3 为公比 bn 5· 3 的等比数列.
- - -

(理)已知数列{an}和{bn}满足 a1=m,an+1=λan+n, 2n 4 bn=an- + . 3 9 (1)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 λ,数列{an} 一定不是等差数列. 1 (2)当 λ=- 时,试判断数列{bn}是否为等比数列. 2

解析:(1)证明:当 m=1 时,a1=1,a2=λ+1,a3 =λ(λ+1)+2=λ2+λ+2. 假设数列{an}是等差数列, 由 a1+a3=2a2 得,λ2+λ+3=2(λ+1), 即 λ2-λ+1=0,Δ=-3<0,∴方程无实根. 故对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列.

1 1 2n 4 (2)当 λ=- 时,an+1=- an+n,bn=an- + . 2 2 3 9 2?n+1? 4 bn+1=an+1- + 3 9
? 1 ? 2?n+1? 4 =?- an+n?- + 2 3 9 ? ?

1 n 2 =- an+ - 2 3 9 1? 2n 4? 1 ?an- + ? =- bn. =- 2? 3 9? 2 2 4 2 又 b1=m- + =m- , 3 9 9

2 2 1 ∴当 m≠ 时,数列{bn}是以 m- 为首项,- 为公 9 9 2 比的等比数列; 2 当 m= 时,数列{bn}不是等比数列. 9 点评:对于否定型命题,通常采用分析法或反证法 证明,对这些证明方法与解题思路要灵活掌握.

一、选择题 1.(文)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=7,S6 =63,则公比 q 的值是( A.2 B.-2 ) C.3 D.-3

? [答案] A ? [解析] ∵S6=S3+S3q3=S3·(1+q3),∴q= 2.

(理)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3, 前三项和为 21.则 a3+a4+a5 等于( A.33 B.72 ) D.189

C.84

? [答案] C ? [解析] 由前三项和为21可知a1(1+q+q2) =21,解之得q=2或-3(舍). ? 则a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×4=84.

2. (2011· 福建三明市期末联考)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1、a3、a7 为等比数列{bn}的连续三项, 则数列{bn}的公比为( A. 2 B.4 ) C.2 1 D. 2

[答案] C

[解析] ∵a1、a3、a7 为等比数列{bn}中的连续三项,
2 ∴a3=a1·7,设{an}的公差为 d,则 d≠0, a

∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d, a3 4d ∴公比 q= = =2,故选 C. a1 2d

3.(文)若数列{an}是正项递减等比数列,Tn 表示其 前 n 项的积,且 T8=T12,则当 Tn 取最大值时,n 的值等 于( ) A.9 B.10 C.11 D.12

[答案] B

[解析] ∵T8=T12, 9a10a11a12=1, a9a12=a10a11 ∴a 又 =1, 且数列{an}是正项递减数列, 所以 a9>a10>1>a11>a12, 因此 T10 取最大值.

(理)在由正数组成的等比数列{an}中,设 x=a5+a10,y =a2+a13,则 x 与 y 的大小关系是( A.x=y C.x≤y )

B.x≥y D.不确定

[答案] C

[解析]

x-y=a1q(1-q3)(q8-1).

当 q=1 时,x=y; 当 q>1 时,1-q3<0 而 q8-1>0,x-y<0; 当 0<q<1 时,1-q3>0 而 q8-1<0,x-y<0.故选 C.

4.(文)若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、 a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=( A.4 B.2 C.-2 ) D.-4

[答案] D

[解析]

?2b=a+c ? ? 2 ?a =bc ?

消去 a 得:4b2-5bc+c2=0,

∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,代入 a+3b+c=10 中得 b=2,∴a=-4.

(理)(2010· 北京延庆县)将正偶数集合{2,4,6,?}从小到 大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组如下: 第一组 {2,4} 第二组 第三组 ?

{6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} ? ) B.第 8 组 D.第 10 组

则 2010 位于( A.第 7 组 C.第 9 组

[答案] C

2×?2n-1? [解析] 前 n 组共有 2+4+8+?+2n= 2-1 =2n+1-2 个数. 由 an=2n=2010 知,n=1005,∴2010 为第 1005 个 偶数, ∵29=512,210=1024,故前 8 组共有 510 个数,前 9 组共有 1022 个数,即 2010 在第 9 组.

二、填空题 5.(2011· 海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列 1 {an}满足:an+1=1- 且 a1=2,则 a2011=________. an
[答案] 2

[解析]

1 1 a1=2,a2= ,a3=-1,a4=2,a5= ,a6 2 2

=-1, ?依次类推, 数列{an}的周期是 3, 2011=3×670 而 +1,故 a2011=a1=2.


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