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高二理科数学周测试题(三)含答案


2015 届高二理科数学周测试题(三)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.

1.设全集 U ? R, 集合M={x|x ? 1},N={x|x -4<0} ,则集合(CUM)∩N 等于(
2

)

A. [1, 2) 2. 函数 y=

B

. (1,2) C. (—2,1) )

D. [?2,1)

1 的定义域是( log2(x-2) B.(2,+∞) )

A.(-∞,2) 3.下列结论错误的是(
2

C.(2,3)∪(3,+∞)

D.(2,4)∪(4,+∞)

A.命题:“若 x ? 3 x ? 2 ? 0,则x ? 2 ”的逆否命题为:“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B. 命题:“存在 x 为实数, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“任意 x 是实数, x 2 ? x ? 0 ” C. “ ac 2 ? bc 2 ”是“ a ? b ”的充分不必要条件 D.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 4. 甲,乙两人分别独立参 加某高校自主招生考试,若甲,乙能通过面试的概率都为 结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? 是( A. )

2 ,则面试 3

11 8 C.1 D. 9 9 x ?1? 5.已知函数 f ( x ) ? ? ? ? sin x ,则 f ( x) 在 ? 0, 2? ? 上的零点个数有( ?2?
B. A.1 个 B.2 个
2

4 3

)

C.3 个

D.4 个

6.命题 p :存在实数 m ,使方程 x ? mx ? 1 ? 0 有实数根,则“非 p ”形式的命题是( ) A.存在实数 m ,使得方程 x ? mx ? 1 ? 0 无实根.
2

B.不存在实数 m ,使得方程 x ? mx ? 1 ? 0 有实根.
2

C.对任意的实数 m ,使得方程 x ? mx ? 1 ? 0 无实根.
2

D.至多有一个实数 m ,使得方程 x ? mx ? 1 ? 0 有实根.
2

7.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? a7 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a9 A.18 B.27 C.36

的值为(



D.54

1

8.一个几何体的三视图如图 2 所示,其中俯视图是菱
1

形,则该几何体的侧面积为( A. 2 ? 5 C. 3 ? 5

)

1

1

1

1

正视图

侧视图

B. 3 ? 6 D. 2 ? 6
俯视图 开始 输入 x

9.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 x ? 3 ,那么输出的 n 值为( A.5 ) B.4 C .3 D.2

M ? 0, N ? 1, n ? 0
M ? N?
是 否 输入 n 结束

M ? M ? xn

6 x2 y2 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则双 2 a b
曲线的渐近线方程为( A. y ? ? 2 x ) B. y ? ? 2 x C. y ? ?

N ? 2N ? 1 n ? n ?1

2 D. y ? ? 1 x x 2 2 11. 八个一样的小球按顺序排成一排, 涂上红、白两种颜色,5 个涂红色,三个涂白色,求 恰好有个三个的连续的小球涂红色,则涂法共有 ( ) A 24 种 B 30 种 C 20 种 D 36 种

12.在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图像,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下
x

列所给图像中可能正确的是 y y
1 1

(

) y
1

y
1

2?

2?

2?

2?

O

x A.

O

x

O

x

O

x

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 已知函数 f ( x) ? ? 14. (1 ? x)(1 ?
?log 4 x x ?3 x?0 x?0

1 ,则 f [ f ( )] ? 16

x )6 展开式中 x 3 项系数为

. .

15.观察下列各式: x1 ? 1 , x2 ? 3 , x3 ? 4 , x4 ? 7 , x5 ? 11 ,…,则 x10 = 16. 已知函数 y ? a
1? k

(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的

2

图象上,其中 m,n>0,则

1 1 ? 的最小值为 m n

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17: 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期;

1 , x?R. 2

( 2 )设 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若

sin(A ? C ) ? 2 sin A,求 a 、 b 的值.

18: 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 2an=Sn+n. (I)若 bn=an+1,证明:数列{bn}是等比数列;(II)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.

19. 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ?ADE ? 90? ,

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; F

E

D

C

A

B

20: 近年空气质量逐渐恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染会引起 多种心肺疾病.空气质量指数(AQI)是国际上常用来衡量空气质量的一种指标,空气质量 指数在 (0,50) 为优良,在 (50,100) 为中等,在 (100,150) 为轻度污染,在 (150, 200) 为中 度污染,…….某城市 2012 年度的空气质量指数为 110(全年平均值) ,对市民的身心健康

3

产生了极大影响,该市政府为了改善空气质量,组织环保等有关部门经过大量调研,准备采 用两种方案中的一种治理大气污染,以提高空气质量.根据发达国家以往的经验,若实施方 案一,预计第一年度可使空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.3, 0.2,第二年度使空气质量指数降为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.6,0.4;若实施方 案二,预计第一年度可使空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.5 的概率分别为 0.6,0.3, 0.1,第二年度使空气质量指数降为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.5.实施每种 方案,第一年与第二年相互独立,设 ? i ( i ? 1, 2 )表示方案 i 实施两年后该市的空气质量指 数(AQI) . (1)分别写出 ?1 , ? 2 的分布列(要有计算过程) ; (2)实施哪种方案,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大?

21 : ?1? :已知椭圆的中心为原点, 离心率e ? 则求此椭圆的标准方程。

3 , 且它的一个焦点与抛物线x 2 ? ?4 3 y的焦点重合, 2

?2? : 求与双曲线 x

2

16

?

y2 ? 1有公共焦点, 且过点 3 2 ,2 的双曲线的标准方程。 4

?

?

22.现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不 同的编号) ,从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽 取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

4

2015 届高二理科数学周测试题(三)答案
一、选择题 1-5:B D D A B 二.填空题: 13: 6-10:C C D B C 11-12: A C

1 9

14:

16

15:

123

16:

9

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?
3 1 ? cos 2 x 1 π? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , ……………………(3 分) 2 2 2 6? ?

2π ……………………………(5 分) ?π. 2 π? π? ? ? (Ⅱ) f (C ) ? sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 2C ? ? ? 1 . …………………………(6 分) 6? 6? ? ?

则 f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ?

∵ 0 ? C ? π ,∴ 0 ? 2C ? 2π ,∴ ? ∴ 2C ?
π π π ? ,∴ C ? . 3 6 2

π π 11 ? 2C ? ? π , 6 6 6

………………………………………………(7 分)
a 1 ? ,① b 2

又∵ sin( A ? C) ? sin B ? 2sin A ,由正弦定理得

…………………(9 分) ………………(10 分)

π 由余弦定理得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ,即 a2 ? b2 ? ab ? 9 ,② 3

由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 .

………………………………………(12 分)

18: (1)证明:n=1 时,2a1=S1+1,∴a1=1. 由题意,得 2an=Sn+n,2an+1=Sn+1+(n+1), 两式相减可得 2an+1-2an=an+1+1, 即 an+1=2an+1.

于是 an+1+1=2(an+1),即 bn+1=2bn, 又 b1=a1+1=2. 所以数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (2)解:由(1)知:bn=2· 2n 1=2n,∴an=2n-1,


∴Sn=2an-n=2n 1-n-2,


∴Tn=S1+S2+…+Sn=(22+23+…+2n 1)-(1+2+…+n)-2n


5



22-2n 2 n?n+1? 5n 1 + - -2n=2n 2-4- - n2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 2 1-2


19. (Ⅰ)证明:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , ?ADE ? 90? , 所以 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,所以 AC ? 平面 BDE . …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分

(Ⅱ)证明:设 AC ? BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,
// 1 DE . 所以, OG ?

2

// OG , 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ?

……………………7 分 ……………………8 分 ……………………10 分 ……………………12 分

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF .

20:解: (Ⅰ)依题意, ?1 的可能取值为: 39.6, 46.2, 52.8, 53.9, 61.6 ; 因为第一年与第二年相互独立,

…………(1 分)

所以 P(?1 ? 39.6) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.08 , P(?1 ? 46.2) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.24 ,
P(?1 ? 52.8) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.20 , P(?1 ? 53.9) ? 0.3 ? 0.6 ? 0.18 , P(?1 ? 61.6) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.30 .

…………………………………………………(3 分)

所以, ?1 的分布列为:

?1
P

39.6 0.08

46.2 0.24

52.8 0.20

53.9 0.18

61.6 0.30

………………………………………………………………………(4 分)

? 2 的可能取值为: 33, 38.5, 46.2, 52.8, 53.9, 61.6 ;

…………………………(5 分)

P(?2 ? 33) ? 0.1? 0.5 ? 0.05 , P(?2 ? 38.5) ? 0.1? 0.5 ? 0.05 ,

6

P(?2 ? 46.2) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.15 , P(?2 ? 52.8) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.30 , P(?2 ? 53.9) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.15 , P(?2 ? 61.6) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.30 ,

…………………(7 分)

所以, ? 2 的分布列为:

?2
P

33

38.5

46.2

52.8

53.9

61.6

0.05

0.05

0.15

0.30

0.15

0.30

…………………………………………………………………………(8 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, P(?1≤50) ? 0.08 ? 0.24 ? 0.32 ,
P(?2 ≤50) ? 0.05 ? 0.05 ? 0.15 ? 0.25 , P(?1≤50) ? P(?2 ≤50) ,

所以,实施方案一,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大. …………(12 分)

y2 21 : ?1? : x ? ? 1, 4 2 2 ?2? : x ? y ? 1 12 8
2

22:解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P( A) ? (Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5,6

1 2 1 C3 C3 C6 9 ? ……………4 分 3 C9 14

C32 1 P(? ? 2) ? 2 ? C9 12 P(? ? 4) ?
1 1 C32 ? C3 C3 1 ? 2 C9 3

1 1 C3 C 1 P (? ? 3) ? 2 3 ? C9 4 1 1 C3 C3 1 ? C92 4

P (? ? 5) ?

7

P(? ? 6) ?

C32 1 ? C92 12

∴ ? 的分布列

?
P

2

3

4

5

6

为:

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

……………………………………………………9 分 ② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

………………………………10 分

?? ? ?? 2? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ?? 2 E (? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1

? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?

1 …………………………………………12 分 4

8


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