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北师大版高中数学必修3第一章单元质量评估


第一章单元质量评估(一)
时限:120分钟 满分:150分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.现从 100 件产品中随机抽出 10 件进行质量检测,下列说法中 正确的是( ) B.10 件产品是样本 D.样本容量为 10 )

A.100 件产品是总体 C.样本容量为 100

2.下列关系中,是相关关系的有(

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 3.下列抽样方式是简单随机抽样的是( )

A.某工厂从老年、中年、青年职工中按 2∶5∶3 的比例选取职 工代表 B.某班 45 名同学,指定个子高的 5 名同学参加学校组织的某项 活动 C.齐鲁福利彩票用摇奖机摇奖 D.规定凡买到的明信片的最后的四位号码是 “6637”的人获三等 奖

4.某林场有树苗 30 000 棵,其中松树苗 4 000 棵,为调查树苗的 生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本 中松树苗的数量应为( A.30 C.20 ) B.25 D.15

5. 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一 年级 2 007 名学生中抽取 50 名进行调查,若采用下面的方法选取:先 用简单随机抽样法从 2 007 人中剔除 7 人, 剩下 2 000 人, 再按系统抽 样法进行,则每人入选的机会( A.不全相等 C.都相等 ) B.均不相等 D.无法确定

6.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有 1 000 辆汽车通 过该站,现在随机抽取其中 200 辆汽车进行车速分析,分析的结果表 示如下图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中 速度不小于 90 km/h 的约有( )

A.100 辆 C.300 辆

B.200 辆 D.390 辆

7.已知样本数据{x1,x2,?,xn}的平均数为 h,{y1,y2,?,ym} 的平均数为 k,则把两组数据合并成一组以后,这组样本数据的平均

数为(

) nh+mk B. m+n h+k D. m+n

h+k A. 2 nk+mh C. m+n

8.如下图是 2013 年某市元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最 低分后,剩余数据的众数和中位数分别为( )

A.84,85 B.84,84 C.85,84 D.84,86 9.A,B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩的茎叶图如图所示, 若 A, B 两人的平均成绩分别是 XA, XB, 则下列的结论正确的是( )

A.XA<XB,B 比 A 成绩稳定 B.XA>XB,B 比 A 成绩稳定 C.XA<XB,A 比 B 成绩稳定 D.XA>XB,A 比 B 成绩稳定

10.已知两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,5 次试验的观 测数据如下表: x y 100 45 120 54 140 62 160 75 180 92 )

那么变量 y 关于 x 的线性回归方程只可能是( A.y=0.575x-14.9 C.y=0.575x-12.9

B.y=0.572x-13.9 D.y=0.572x-14.9

11. “小康县”的经济评价标准为①年人均收入不小于 7 000 元; ②年人均食品支出不大于收入的 35%.

某县有 40 万人,调查数据如下: 答案 1.D 这里考查统计的基本概念,总体是 100 件产品的质量;样 本是抽取的 10 件产品的质量;总体容量为 100,样本容量为 10,故选 D. 2.A 根据变量相关关系的定义,可知学生的学习态度与学习成 绩之间是相关关系,教师的执教水平与学生的学习成绩之间是相关关 系.而身高与成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系,也 不是函数关系,故选 A. 3.C 由简单随机抽样的概念知选 C. 4 000 4.C 30 000×150=20(棵). 5.C 简单随机抽样与系统抽样是等可能抽样. 6. D 由频率分布直方图可知在这一时段内通过该站的汽车中速 度不小于 90 km/h 的频率为(0.03+0.009)×10=0.39,有 0.39×1 000

=390(辆),故选 D. nh+mk 7.B 两组样本数据的总和为 nh+mk,则平均数为 . n+m 8.A 七位评委为该选手打出的分数按从小到大的顺序排列是: 79,84,84,85,86,87,93,所以最高分是 93,最低分是 79,则去掉一个最 高分和一个最低分后,所剩数据是 84,84,85,86,87,则所剩数据的众数 是 84,中位数是 85. 1 9.A 由茎叶图知,XA=5×(91+92+96+103+128)=102,XB 1 =5×(99+108+107+114+112)=108,∴XA<XB,且 B 比 A 更稳定, 故选 A. 10.A 由公式可求得 b=0.575,a=-14.9,故变量 y 关于 x 的 线性回归方程为 y=0.575x-14.9. ———————————————————————————— 年人均收 入/ 元 人数/万人 0 6 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000 3 5 5 6 7 5 3

则该县(

)

A.是小康县

B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县 C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县 D.两个标准都未达到,不是小康县 12.某高中在校学生 2 000 人,高一级与高二级人数相同并都比 高三级多 1 人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和 登山比赛活动.每人都参加而且只参加了其中一项比赛,各年级参加 比赛人数情况如下表: 高一级 跑步 登山 a x 高二级 b y 高三级 c z

2 其中 a∶b∶c=2∶3∶5,全校参加登山的人数占总人数的5.为了 了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调 查,则在高二级参加跑步的学生中应抽取( A.36 人 C.24 人 )

B.60 人 D.30 人 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案 填写在题中横线上) 13.下图是根据某中学为地震灾区玉树捐款的情况而制作的统计 图,已知该校在校学生 3 000 人,请根据统计图计算该校共捐款 ________元.

14.从一堆苹果中任取 5 个,称得它们的质量如下(单位:g): 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s=________(g). 15.已知 x 与 y 具有线性相关关系,它们之间的几组数据如下表 所示: x y 0 1 1 3 2 5-a 3 7+a

则 y 关于 x 的回归直线必过定点________. 16.甲、乙两个班级各随机选出 15 名同学进行测验,成绩的茎叶 图如下图, 则甲班、 乙班的最高成绩各是________, 从图中看________ 班的平均成绩较高.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,

证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分)某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本.如果采用系统抽样法 和分层抽样法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加一个,则在采 用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体.求样本容量 n. 答案 11.B 由题中图表可知,年人均收入为 7 050 元>7 000 元,达到 了标准①;年人均食品支出为 2 620 元,而年人均食品支出占收入的 2 620 7 050×100%≈37%>35%,未达到标准②,所以不是小康县. 2 12.A 参加登山的人数为5×2 000=800(人),参加跑步的人数 为 1 200 人.∵a∶b∶c=2∶3∶5 且 a+b+c=1 200,∴a=240,b 200 = 360 , c = 600. 则在高二级参加跑步的学生中应抽取 360× 2 000 = 36(人). 13.37 770 解析:由扇形统计图中可知:高一有 3 000×32%=960(人),高二 有 3 000×33%=990(人),高三有 3 000×35%=1 050(人),则该校共 捐款 15×960+13×990+10×1 050=37 770(元). 14.2 1 解析:∵样本平均数 x =5×(125+124+121+123+127)=124, 1 则样本方差 s2=5×(12+02+32+12+32)=4,∴样本标准差 s=2.
?3 ? 15.?2,4? ? ?

3 解析:计算出平均值- x =2,- y =4,回归直线必过样本点的中心

?3 ? (- x ,- y ),即?2,4?. ? ?

16.96,92 乙 解析:从图中可以看出乙班的成绩集中在 70 分以上,且在 80 分 以上的有 6 人,而甲班只有 4 人,甲班的最低成绩是 46 分,对平均分 影响较大. 17.解:总体容量为 6+12+18=36.当样本容量是 n 时,由题意 36 n n 知,系统抽样的间隔为 n ,分层抽样的抽样比是36,抽取工程师36×6 n n n n n =6人,抽取技术员36×12=3人,抽取技工36×18=2人.所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n=6,12,18,36. 当样本容量为 n+1 时,采用系统抽样时,总体容量是 35,系统 35 35 抽样的间隔为 ,因为 必须是整数,所以 n 只能取 6,即样本 n+1 n+1 容量 n=6. ———————————————————————————— 18.(本题满分 12 分)某中学为了解该校学生阅读课外书籍的情况, 学校决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其他类课外书 籍中,你最喜欢的课外书籍种类是什么?(只写一类)”的问题,在全 校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查,并将调查问卷适当整理后 绘制成如下图所示的条形统计图.请结合统计图回答下列问题:

(1)在本次抽样调查中,最喜欢哪类课外书籍的人数最多?有多少 人? (2)求出该校一共抽取了多少名同学进行问卷调查? (3)若该校有 800 人,请你估计这 800 人中最喜欢动漫类课外书籍 的约有多少人?

19.(本题满分 12 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分 布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100].

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相 应分数段的人数(y)之比如下表所示, 求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 x∶y [50,60) 1∶1 [60,70) 2∶1 [70,80) 3∶4 [80,90) 4∶5

20.(本题满分 12 分)对甲、乙两名自行车赛车手在相同条件下进 行了 6 次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36.

(1)画出茎叶图,由茎叶图能获得哪些信息? (2)分别求出甲、 乙两名自行车赛车手最大速度的平均值、 中位数、 极差、标准差. 答案 18.解:(1)最喜欢小说类课外书籍的人数最多,有 20 人. (2)由图可知:2+8+12+20+8=50(人). ∴一共抽取了 50 名同学. 12 (3)由样本估计总体得:800×50=192(人). ∴800 人中最喜欢动漫类课外书籍的约有 192 人. 19.解:(1)由频率分布直方图可知:2a+0.04+0.03+0.02=0.1, 所以 a=0.005. (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分为 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=2.75+26+22.5+ 17+4.75=73(分). (3)根据频率分布直方图及表中数据得: 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x 5 40 30 20 y 5 20 40 25

∴数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-5-20-40-25=10. 20.解:(1)茎叶图如下,中间数为数据的十位数字.

从这个茎叶图上可以看出,乙的最大速度的分布情况比甲的更均 匀些;乙的中位数是 33.5,甲的中位数是 33.因此乙发挥比较稳定,总 体情况比甲好. (2)利用科学计算器得- x 甲=33,- x 乙=33,s 甲=3.96,s 乙≈3.56; 甲的中位数是 33,极差为 11,乙的中位数是 33.5,极差为 10. ———————————————————————————— 21.(本题满分 12 分)为了分析某个高三学生的学习状态, 对其下一 阶段的学习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理 成绩 y 进行分析.下面是该学生前 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该学生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该学 生的物理成绩达到 115 分,请你估计他的数学成绩大约是多少.并请 你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该学生在学习数学、物理 上的合理建议.

22.(本题满分 12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中,甲产品的产量 x 吨与相应的生产能耗 y 吨标准煤的几组 对照数据: x 3 4 5 6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回 归方程 y=bx+a; (3)已知该厂技术改造前,生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨 标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测技术改造后生产 100 吨 甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤?
n - Σ x y -n- x· y i=1 i i 参考:b= n ,a=- y -b- x. 2 2 - Σ x -n x i=1 i

答案 -12-17+17-8+8+12 21.解:(1)- x =100+ 7 =100(分), -6-9+8-4+4+1+6 - y =100+ =100(分), 7 994 250 2 2 ∴s数学 = 7 =142,s物理 = 7 .
2 2 ∴s数学 >s物理 ,

∴物理成绩更稳定. (2)由于 y 与 x 有线性相关关系,根据回归系数公式得到
7 Σ x y -7- x - y 497 i=1 i i b= 7 =994=0.5, 2 2 - Σ x - 7 x i=1 i

a=- y -b- x =100-0.5×100=50, ∴线性回归方程为 y=0.5x+50. 当 y=115 时,x=130,即该学生物理成绩达到 115 分时,他的数 学成绩大约为 130 分.

建议:数学和物理密切相关,要学好物理需要有好的数学基础. 22.解:(1)散点图如下:

(2)由题可得i= Σ1xiyi=66.5, Σ x2=32+42+52+62=86, i=1 i - x =4.5,- y =3.5, 66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 则 b= = =0.7, 86-4×4.52 86-81 a=- y -b- x =3.5-0.7×4.5=0.35, 故所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35. (3)当 x=100 时,y=70.35. 预测技术改造后生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 了 90-70.35=19.65 吨标准煤.
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