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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第5节 数列的综合应用]


课时作业
一、选择题 1.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三 项,则数列{bn}的公比为 ( A. 2 C.2 C B.4 1 D.2 )

2 [设数列{an}的公差为 d(d≠0),由 a2 3=a1a7 得(a1+2d) =a1(a1+6d),解得

a3 a1+2d

2a1 a1=2d,故数列{bn}的公比 q=a = a = a =2.]
1 1 1

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中, b5=a5,b7=a7,则 b6 的值为 ( A.±4 2 C.4 2 B.-4 2 D.无法确定 )

A [依题意得,S9=9a5=-36?b5=a5=-4,S13=13a7=-104?b7=a7=- 8,所以 b6=± 4 2.] 3.已知数列{an},{bn}满足 a1=1 且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零 点,则 b10 等于 ( A.24 C.48 B.32 D.64 an+2 =2.所以 a1, an )

D [依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n+1,两式相除得

a3,a5,?成等比数列,a2,a4,a6,?也成等比数列,而 a1=1,a2=2.所以 a10=2· 24=32,a11=1· 25=32.又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64.]

4.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等 差数列,每一列成等比数列,那么 x+y+z 的值为

( A.1 C.3 B.2 D.4

)

1 B [由题知表格中第三列中的数成首项为 4,公比为2的等比数列,故有 x= 5 1 1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5, , 故第四列的公比为 2 2, ?1?3 5 ?1?4 3 所以 y=5×?2? =8,同理 z=6×?2? =8,故 x+y+z=2.] ? ? ? ? 5.(2014· 兰州名校检测)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任 意的正数 x, y 都有 f(x· y)=f(x)+f(y), 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 f(Sn +2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则 an= ( A.2n-1 C.2n-1 B.n 3 D.(2)n-1 )

D [由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*), ∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得, 2an=3an-1(n≥2), 又 n=1 时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1, 3 ∴数列{an}是首项为 1,公比为2的等比数列, 3 ∴an=(2)n-1.] 6.已知数列{an}满足 3an+1+an=4 且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式 1 |Sn-n-6|<125的最小整数 n 是 ( A.5 C.7 C B.6 D.8 )

[由递推式变形得 3(an+1-1)=-(an-1),

? 1?n-1 ?-3? 则 an-1=8· , ? ?

所以|Sn-n-6|=|a1-1+a2-1+?+an-1-6| 1?n? ?8? ?1-? ?-3? ? ? 1?n 1 ? ? ? ? ?-6?=6×? ?3? < , = ? ? 125 ? 1+1 ? 3 ? ? 即 3n-1>250,所以满足条件的最小整数 n 是 7.] 二、填空题 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列 {an}的公比为________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),

由 4S2=S1+3S3, 得 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2), 1 即 3q2-q=0,故 q=3. 答案 1 3

8.(2014· 大同四校联考)已知向量 a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a⊥b,则数列?a
? ? ? ?

an ? ? ?的最大项的值为 a + + ? n 1 n 4?

__________. 解析 依题意得 a· b=0,

n(n+1) 即 2Sn=n(n+1),Sn= . 2 n(n+1) n(n-1) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n; 2 2 1×(1+1) 又 a1=S1= =1, 2 an n n 因此 an=n, = = 2 an+1an+4 (n+1)(n+4) n +5n+4 = 1 1 ≤9, 4 n+n+5

4 当且仅当 n=n,n∈N*,即 n=2 时取等号,

因此数列?a
? ?

? ?

? an ? 1 ?的最大项的值是 . 9 n+1an+4? ?

答案

1 9

2 * 9.在数列{an}中,若 a2 n-an-1=p(n≥2,n∈N ,p 为常数),则称{an}为“等方

差数列” . 下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{a2 n}是等差数列; ②已知数列{an}是等方差数列,则数列{a2 n}是等方差数列. ③{(-1)n}是等方差数列; ④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列; 其中正确命题的序号为________. 解析 对于①,由等方差数列的定义可知,{a2 n}是公差为 p 的等差数列,故

①正确.对于②,取 an= n,则数列{an}是等方差数列,但数列{a2 n}不是等 方差数列,故②错.对于③,因为[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0(n≥2,n∈N*)为常
2 数,所以{(-1)n}是等方差数列,故③正确.对于④,若 a2 n-an-1=p(n≥2,n 2 2 2 2 2 2 2 2 ∈N*),则 akn -ak (n-1)=(akn-akn-1)+(akn-1-akn-2)+?+(akn-k+1-ak(n-1))

=kp 为常数,故④正确. 答案 ①③④

三、解答题 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2,数列{bn}为等比数列,且首项 b1 =1,b4=8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; 解析 (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2,

∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当 n=1 时,a1=S1=1 亦满足上式, 故 an=2n-1(n∈N*). 又数列{bn}为等比数列,设公比为 q, ∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2.

∴bn=2n-1(n∈N*). (2)cn=abn=2bn-1=2n-1. Tn=c1+c2+c3+?+cn=(21-1)+(22-1)+?+(2n-1) =(21+22+?+2n)-n= 所以 Tn=2n+1-2-n.
2 2 11.已知各项均为正数的数列{an}满足:an +1=2an+anan+1,且 a2+a4=2a3+4,

2(1-2n) -n. 1-2

其中 n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足:bn= nan ,是否存在正整数 m,n(1<m<n),使得 (2n+1)2n

b1,bm,bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m,n 的值,若不存在,请说明 理由. 解析
2 2 (1)因为 an +1=2an+anan+1,

即(an+an+1)(2an-an+1)=0. 又 an>0,所以 2an-an+1=0,即 2an=an+1. 所以数列{an}是公比为 2 的等比数列. 由 a2+a4=2a3+4,得 2a1+8a1=8a1+4, 解得 a1=2. 故数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*). (2)因为 bn= nan n , n= (2n+1)2 2n+1 m n ,bn= . 2m+1 2n+1

1 所以 b1=3,bm=

? m ?2 1? n ? 若 b1,bm,bn 成等比数列,则?2m+1? = ?2n+1?, 3? ? ? ? 即 由 m2 n = . 2 4m +4m+1 6n+3
2 m2 n 3 -2m +4m+1 = ,可得 = , n m2 4m2+4m+1 6n+3

6 6 所以-2m2+4m+1>0,从而 1- 2 <m<1+ 2 .

又 n∈N*,且 m>1,所以 m=2,此时 n=12. 故当且仅当 m=2,n=12 时,b1,bm,bn 成等比数列. 12.设同时满足条件:① bn+bn+2 ≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M 是常数)的无穷数 2

a 列{bn}叫“嘉文”数列.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (a -1)(a a-1 n 为常数,且 a≠0,a≠1). (1)求数列{an}的通项公式;
?1? 2Sn (2)设 bn= a +1,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值,并证明数列?b ?为“嘉
n

? n?

文”数列. 解析 (1)因为 S1= a (a -1)=a1,所以 a1=a. a-1 1

a 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (a -an-1), a-1 n 整理得 an =a, an-1

即数列{an}是以 a 为首项,a 为公比的等比数列. 所以 an=a· an-1=an. (2)由(1)知, a 2× (an-1) a-1 (3a-1)an-2a bn= + 1 = ,(*) an (a-1)an 由数列{bn}是等比数列,则 b2 2=b1·b3, 3a2+2a+2 1 ?3a+2?2 ? =3· 故? ,解得 a = 2 a 3, ? a ? 1 再将 a=3代入(*)式得 bn=3n, 1 故数列{bn}为等比数列,所以 a=3. 1 1 1 1 + n+ n+2 2 bn bn+2 3 3 由于 = > 2 2 1 1 1 由于b =3n≤3,
n

1 1 n· n+2 3 3 1 1 = ,满足条件①; n+1= 2 3 bn+1

?1? 1 故存在 M≥3满足条件②.故数列?b ?为“嘉文”数列. ? n?


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