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南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议


南通市 2014 届高三数学参考答案与评分建议
参考公式:

数学 I

1 棱锥的体积公式: V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为高. 3
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 1.已知集合 A={1,k-1},B={2,3},且

A∩B={2},则实数 k 的值为 2.若复数 z 满足 iz=2(i 为虚数单位),则 z= ▲ .答案:-2i. ▲ .答案:3.

? x ≥ 0, ? 3.不等式组 ? y ≥ 0, 所表示的平面区域的面积为 ?x ? y ≤ 2 ?



.答案:2.

4.函数 y=sin2x 的最小正周期为



.答案:π. ▲

5.若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则三棱锥 A-BDA1 的体积为
? x ? 3, x ? 0, 6.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f(x)=5,则 x= ? x ? 1, x ≤ 0,

1 .答案: . 6

▲ ▲

.答案:8 或-2. .答案:

7.设函数 f(x)=log2x(0<x<5),则 f(x)<1 的概率为

2 . 5

8.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统 计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分组统计,绘制 了如图的鲜花销售数量频率分布直方图.已知从左到右各 长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且第二组的频数为 180, 那么该月共销售出的鲜花数(单位: 支)为 答案: 1200.

频率 组距

1 5 10 15 20 25 30 日期 (第 8 题图)

9.如图是一个算法流程图.若输入 A=3,B=5,则输出 A,B 的值分别为 输入 A,B A?A+B B?A-B A?A-B 答案:5,3. 输出 A,B a
(第 10 题图)





b

c

第在正方形网格中的位 9 题图) 10.已知向量 a,b,(c

置如图所示.若

1

5 .答案: ? . 3 2 x ? 4 y2 11.已知实数 x,y,满足 xy=1,且 x>2y>0,则 的最小值为 x ? 2y
c ? ? a ? ? b(? , ? ? R) ,则 ? ? ? =





.答案:4.

12.设 t∈R,[t]表示不超过 t 的最大整数.则在平面直角坐标系 xOy 中,满足[x]2+[y]2=13 的点 P(x,y)所围成的图形的面积为 ▲ .答案:8.

13.设函数 f(x)满足 f(x)=f(3x),且当 x∈ [1,3) 时,f(x)=lnx.若在区间 [1,9) 内,存在 3 个不同 的实数 x1, x2, x3, 使得
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ln 3 1 ? ? =t, 则实数 t 的取值范围为 答案: ( , ). x1 x2 x3 9 3e

14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 ▲ .答案:92.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡 指定区域内作答 .解答时应写出文 ... ....... 字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在△ABC 中,| AB ? AC |=3,| BC ? BA |=5,| CA ? CB |=7. (1)求 C 的大小; (2)设 D 为 AB 的中点,求 CD 的长. A D
(第 15 题图)

C B

解:(1)依题意 BC=3,CA=5,AB=7.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

CB2 ? CA2 ? AB2 1 =? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 ? CB ? CA 2? 因 0<C<π,· · · · · · · · · · · · · · · 6 分 故 C= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3
由余弦定理,得 cos C ? (2)由余弦定理,得 cos A ? 在△ADC 中,AD=

13 .· · · · · · · · · · · · · · 11 分 14

19 7 19 ,CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cosA= ,于是 CD= .· · 14 分 2 2 4

16. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径, 点 E, F 在圆上, 四边形 ABCD 为矩形, AB∥EF, ∠BAF= M 为 BD 的中点,平面 ABCD⊥平面 ABEF.求证: (1)BF ? 平面 DAF; (2)ME∥平面 DAF. O A
2

C D

? , 3

M B E F
(第 16 题图)

解:(1)因四边形 ABCD 为矩形,故 DA⊥AB. 因平面 ABCD⊥平面 ABEF,且 DA ? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, 故 DA⊥平面 ABEF. · · · · · · · · · · · · · 3 分,因 BF ? 平面 ABEF,故 DA⊥BF. · · · · · · · · · · 4分 因 AB 为直径,故 BF⊥AF. 因 DA,AF 为平面 DAF 内的两条相交直线,故 BF ? 平面 DAF.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (2)因∠BAF=

? 1 ,AB∥EF,故 EF= AB .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 2

取 DA 中点 N,连 NF,MN,因 M 为 BD 的中点, 故 MN∥AB,且 MN=

1 · · 1分 AB ,于是四边形 MNFE 为平行四边形,所以 ME∥NF.· 2

因 NF ? 平面 DAF,ME ? 平面 DAF,故 ME∥平面 DAF.· · · · · 14 分 注:第(2)问,亦可先证明 ME∥平面 MOE. 17. (本小题满分 14 分) 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意 图,其中四边形 ABCD 是矩形,弧 CmD 是半圆,凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的 强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积,设 AB=2x,BC=y. (1)写出 y 关于 x 函数表达式,并指出 x 的取值范围; (2)求当 x 取何值时,凹槽的强度 T 最大. D m A
图1 (第 17 题图) 图2

C B

解:(1)易知半圆 CmD 的半径为 x,故半圆 CmD 的弧长为 πx. 所以,4=2x+2y+πx,得 y ?

4 ? (2 ? ?) x .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 4 . 4??

依题意,知:0<x<y,得 0 ? x ? 所以, y ?

4 ? (2 ? ?) x 4 (0? x ? ).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 4??

1 (2)依题意,T= AB ? S = 2 x(2 xy ? ?x2 ) = 8x2 ? (4 ? 3?) x3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2
令 T ? ? 16 x ? 3(4 ? 3?) x2 =0,得 x ?

16 4 ∈ (0, · · · · · · · · · · · · · 11 分 ) ,另一解舍去.· 9? ? 12 4??

3

x
T ?( x)

(0,

16 ) 9? ? 12
+ ↗

16 9? ? 12
0 极大值

(

16 4 , ) 9? ? 12 4??


T(x) 所以当 x ?

16 ,凹槽的强度最大.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 9? ? 12 4 ,不扣分. 4??

注:x 的范围写为 0 ? x ? 18. (本小题满分 16 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 (1)若椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)过点(1,1). a 2 b2

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)若椭圆上两动点 P,Q,满足 OP⊥OQ. (2)若椭圆上两动点 P,Q,满足 OP⊥OQ. ①已知命题: “直线 PQ 恒与定圆 C 相切”是真命题,试直接写出圆 C 的方程;
(不需要解答过程)

②设①中的圆 C 交 y 轴的负半轴于 M 点,二次函数 y=x2-m 的图象过点 M.点 A,B 在该图象上,当 A,O,B 三点共线时,求△MAB 的面积 S 的最小值. 解:(1)由 e ?
2 ,所以 a : b : c ? 2 :1:1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2

x2 y2 1 1 ? ? 1 ,将(1,1)代入得 2 ? 2 ? 1 , 2b b 2b2 b2 x2 2 y 2 3 所以 b2 ? , a2 ? 3 ,椭圆方程为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 1 .· 2 3 3
设椭圆方程为 (2)① x2 ? y 2 ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ②由题意,二次函数为 y=x2-1.· · · · · · · · · 10 分 设直线 AB 的方程为 y=kx.
? y ? x2 ? 1 由? ,消去 y 得, x 2 ? kx ? 1 ? 0 . y ? kx ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

1 1 1 2 所以 S ? OM ? x2 ? x1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? k ?4 . · 2 2 2
当 k ? 0 时,△MAB 的面积 S 的最小值为 1. · · · · · · · · · · 16 分

4

19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}, a1=1, an ?1 ?

an 1 1 1 2 dn ?1? 2 ? 2 . 数列{bn}, 正数数列{dn}, bn ? 3n?1 an . ? n. bn bn ?1 3 3

(1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)设数列{bn},{dn}的前 n 项和分别为 Bn,Dn,求数列{bnDn+dnBn-bndn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由 an ?1 ?

an 1 ? n ,得 3n an?1 ? 3n?1 an ? 1 . 3 3

又 bn ? 3n?1 an ,所以 bn+1 ? bn +1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 又 b1=a1=1,所以数列{bn}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)由(1)得 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,Bn= 因 d n2 ? 1 ?
2 ?1? 故 dn

n(n ? 1) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2

1 1 ? 2 , 2 bn bn ?1
1 1 2( n n ? 1) ? 1 1 ? ?1? 2 ? [1 ? ]2 . n 2 (n ? 1) 2 n (n ? 1) 2 n(n ? 1) 1 1 1 ?1? ? . n(n ? 1) n n ?1

由 dn>0,得 d n ? 1 ? 于是, Dn ? n ? 1 ? 又当 n≥2 时,

1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n ?1

bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1, 所以 Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+?+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn.· · · · · · · · · · 14 分 因 S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1 也适合上式,故对于任意的 n∈N*,都有 Sn=BnDn. 所以 Sn=BnDn=

n(n ? 1) 1 1 · · · · · · · · · · · · · · 16 分 ? (n ? 1 ? ) = ( n 3 ? 2n 2 ) . · 2 n ?1 2

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=ax2+ex(a∈R)有且仅有两个极值点 x1,x2(x1<x2). (1)求实数 a 的取值范围;
2

(2)是否存在实数 a 满足 f(x1)= e 3 x1 ?如存在,求 f(x)的极大值;如不存在,请说明理由. 解:(1) f ?( x) =2ax+ex. 显然 a≠0,x1,x2 是直线 y= ? 由 g ?( x) =

1 x 与曲线 y=g(x)= x 两交点的横坐标.· · · · · · · · · · · · · · 2分 e 2a

1? x =0,得 x=1.列表: ex

5

x
g ?( x)

(-∞,1) + ↗

1 0 g(x)max=

(1,+∞) -

g(x)

1 e



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 此外注意到: 当 x<0 时,g(x)<0;

1 1 当 x∈[0,1]及 x∈(1,+∞)时,g(x)的取值范围分别为[0, ]和(0, ). e e
于是题设等价于 0< ?

1 1 e e < ? a< ? ,故实数 a 的取值范围为(-∞, ? ).· · · · · · · · 6分 2 2 2a e

(2)存在实数 a 满足题设.证明如下: 由(1)知,0< x1<1<x2, f ?( x1 ) =2ax1+ e x1 =0, 故 f(x1)= ax12 + ex1 = e x1 ?
2 e x1 1 x1 x1 x1 2 ? e ? e 3 ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 e = e 3 x1 ,故 x1 2 2

记 R(x)=

2 ex 1 x ex ( x ? 1) 1 x ? e ? e 3 (0<x<1),则 R ?( x) = ? e ?0, x 2 x2 2

于是,R(x)在(0,1)上单调递减. 又 R(

2 2 )=0,故 R(x)有唯一的零点 x= . 3 3
2

从而,满足 f(x1)= e 3 x1 的 x1=

e x1 3 2 2 ? ? e 3 .· .所以,a= ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 x1 4 3

3 2 3 2 此时 f(x)= ? e 3 x 2 ? e x , f ?( x) = ? e 3 x ? e x , 4 2 2 又 f ?(0) >0, f ?(1) <0, f ?(2) >0,而 x1= ∈(0,1), 3 3 2 2 2 故当 a= ? e 3 时,f(x)极大=f(x1)= e 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 4 3

6

南通市 2014 届高三数学临门一脚

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请 选定其中两小题 ,并在相应的答题区域 . ....... ......... 内作答 .若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明 ... 过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,⊙O 是三角形△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙O 于点 E,连结 BE 与 AC 交于点 F,求证 BE 平分∠ABC. A E O 解:因 CD=AC,故∠D=∠CAD. 因 AB=AC,故∠ABC=∠ACB. 因∠EBC=∠CAD,故∠EBC=∠D. 因∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD. 故∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 B F C
(第 21A 题图)

D

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? a b? 已知矩阵 A ? ? ? ,A 的两个特征值为 ?1 ? 2 , ? 2 =3. ? ?1 4?

(1)求 a,b 的值; (2)求属于 ? 2 的一个特征向量 ? . 解:(1)令 f (? ) ?

? ?a
1

?b ? (? ? a)(? ? 4) ? b ? ? 2 ? (a ? 4)? ? 4a ? b ? 0 ,于是 ? ?4

?1 + ? 2 =a+4, ?1 ? ? 2 =4a+b.解得 a=1,b=2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
?x? ? 1 2? ? x ? ? x ? 2 y ? ? x ? ? 3x ? (2)设 ? = ? ? ,则 A α = ? ? ? ?=? ? =3 ? ? = ? ? , ? y? ? ?1 4? ? y ? ? ? x ? 4 y ? ? y ? ?3 y ? ? x ? 2 y ? 3x, ?1? 故? 解得 x=y.于是, ? = ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?? x ? 4 y ? 3 y, ?1?

7

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ? x ? 1 ? 2cos ? , 圆 C 的参数方程为 ? (?为参数),设 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点.以原 ? ? y ? 3 ? 2sin ?

点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设过点 P 的圆 C 的切线为 l,求直线 l 的极坐标方程. 解:由题设知,圆心 C(1, 3) , P(2,0) ,∠CPO=60° , 故过 P 点的切线的倾斜角为 30° . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 设 M ( ? ,? ) 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点,则在△PMO 中, ∠MOP= ? , ?OMP ? 300 ? ? , ?OPM ? 1500 . 由正弦定理得

? 2 OM OP ? ,于是 , ? 0 sin150 sin(300 ? ? ) sin ?OPM sin ?OMP

即 ? cos(? ? 600 ) ? 1 (或 ?sin(300 ? ? ) ? 1 )即为所求切线的极坐标方程.· · · · · · · · · 10 分

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a、b、c 均为正实数,且 a+b+c=1,求 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 的最大值. 解:因 a、b、c>0, 故( a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 )2 = ( a ? 1 ? 1 ? b ? 1 ? 1 ? c ? 1 ? 1 )2 ≤((a+1)+(b+1)+(c+1))(1+1+1)=12,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 于是 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 ≤ 2 3 ,

1 当且仅当 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 ,即 a=b=c= 时,取“=”. 3
所以, a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 的最大值为 2 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答 ,解答 .......... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)
3 (1)计算: C2013 2014 ? A5 ;

0 2 1 3 2 (2)观察下面一组组合数等式: C1 n ? nCn ?1 ; 2Cn ? nCn ?1 ; 3Cn ? nCn ?1 ;?

由以上规律,请写出第 k(k∈N*)个等式并证明. 解:(1)原式=2074.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
* k ?1 (2)等式为: kCk · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 n ? nCn ?1 ,k∈N . ·

8

证明: kC k n=

kn ! n(n ? 1)! ?1 = = nCk · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n ?1 .· k !( n ? k )! (k ? 1)!((n ? 1) ? (k ? 1))!

23. (本小题满分 10 分) 数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn; {bn}中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以,a1=1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k,k∈N*. 若 ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项, 于是 bk+1=k,此时{bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(b1,b2,?,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(a1,a2,?,ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以,ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由(1),(2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以,an=n,即为所求的通项公式.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

9


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