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2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业 北师大版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 第 2 章 1 离散型随机变量及其分布列课时 作业 北师大版选修 2-3

一、选择题 1.若随机变量 X 的分布列如下表所示,则表中 a=( ) 4

X=xi P(X=xi)
A. C. 1 2 5 6

1 1 2

2 1 6 B. 1 6

3 1 6

a

D.0

[答案] B 1 1 1 1 [解析] 根据随机变量的分布列的性质可得 a=1- - - = . 2 6 6 6 1 2.离散型随机变量 ξ 所有可能值的集合为{-2,0,3,5},且 P(ξ =-2)= ,P(ξ = 4 1 1 3)= ,P(ξ =5)= ,则 P(ξ =0)的值为( 2 12 A.0 C. 1 6 ) B. D. 1 4 1 8

[答案] C [ 解析 ] 根据离散型随机变量分布列的性质有 P(ξ =- 2)+ P(ξ =0)+ P(ξ =3)+ 1 4 1 1 2 12 1 6

P(ξ =5)=1,所以 +P(ξ =0)+ + =1.解得 P(ξ =0)= .
3. 随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ =n)= 1 5 则 P( <ξ < )的值为( 2 2 A. C. 2 3 4 5 ) B. D. 3 4 5 6

a (n=1,2,3,4), 其中 a 是常数, n?n+1?

[答案] D
1

[解析] 因为 P(ξ =n)=

a a a a a 5 (n=1,2,3,4), 所以 + + + =1, 所以 a= , n?n+1? 2 6 12 20 4

1 5 5 1 5 1 5 因为 P( <ξ < )=P(ξ =1)+P(ξ =2)= × + × = .故选 D. 2 2 4 2 4 6 6 4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 去描述 1 次试验的成功次数,

P(ξ =0)等于(
A.0 C. 1 3

) 1 B. 2 2 D. 3

[答案] C [解析] 设 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2p

P

p

则“ξ =0”表示试验失败,“ξ =1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p. 1 ∴由 p+2p=1 得 p= .应选 C. 3 5.已知离散型随机变量的分布列如下:

X P

0 0.1

1 0.□0

2 0.15 )

3 0.4□

其中□为丢失的数据,则丢失的数据分别为( A.2,0 C.3,0 [答案] D

B.2,5 D.3,5

[解析] 由题知, 随机变量取所有值的概率之和等于 1, 可以得到应填的数据分别为 3,5. 故选 D. 二、填空题 6.设随机变量 ξ 的可能取值为 5,6,7,?,16 这 12 个值,且取每个值的概率均相同, 则 P(ξ >8)=________,P(6<ξ ≤14)=________. [答案] 2 3 2 3

[解析] 因为 P(ξ =5)+P(ξ =6)+?+P(ξ =16)=1,且 P(ξ =5)=P(ξ =6)=? 1 =P(ξ =16),所以 P(ξ =5)=P(ξ =6)=?=P(ξ =16)= ,则 P(ξ >8)=P(ξ =9)+ 12

P(ξ =10)+?+P(ξ =16)= ×8= .P(6<ξ ≤14)=p(ξ =7)+P(ξ =8)+?+P(ξ =

1 12

2 3

2

1 2 14)= ×8= . 12 3 7.设随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 1 3 2 3 1 4 4 1 6

P

m

则 m=________,η =ξ -3 的分布列为________. [答案] 1 4 η -2 1 3 -1 1 4 0 1 4 1 1 6

P

1 [解析] 首先由 P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4)=1,得 m= .再由随机变 4 量 ξ 和 η =ξ -3 表示的试验结果是相同的,可以求出 η =ξ -3 对应的概率,列出分布 列. 8.已知离散型随机变量的分布列如下:

X P
则 m 的值为________. [答案] 0.1

0

1 0.3

2 3 m 2

3 0.45

m

3 [解析] 由分布列的性质(2),可得 m+0.3+ m+0.45=1,解得 m=0.1. 2 三、解答题 9.一个袋中有形状、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球.
? ?0,摸出白球, (1)从中任意摸出一球, 用 0 表示摸出白球, 用 1 表示摸出红球, 即 X=? ?1,摸出红球. ?

求 X 的分布列; (2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白球,用“X=1”表示两个球不 全是白球,求 X 的分布列. [解析] (1)X 的分布列如下表:

X P

0 3 7

1 4 7

3

C3 1 (2)P(X=0)= 12= , C7 7

2

P(X=1)=1- = . X 的分布列如下表: X P
0 1 7 1 6 7

1 7

6 7

[反思总结] 两点分布是一种常见的分布,它的特点是:(1)X 的取值只有两种可能; (2)列两点分布列时要注意:保证其概率和为 1. 10.旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条线路. (1)求 3 个旅游团选择 3 个不同线路的概率; (2)求选择甲线路的旅游团数的分布列. A4 3 [解析] (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为 3= . 4 8 3 27 (2)设选择甲线路的旅游团数为 ξ ,则 ξ =0,1,2,3.P(ξ =0)= 3= ,P(ξ =1)= 4 64 C3·3 27 C3·3 9 C3 1 = ,P(ξ =2)= 3 = ,P(ξ =3)= 3= .所以 ξ 的分布列为 3 4 64 4 64 4 64 ξ =k 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64
1 2 2 3 3 3

P(ξ =k)

一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的分布列为

X P
则 k 的值为( A. 1 2 )

1

2

3

? ?

n k n

k n

k n

k n

B.1 D.3

C.2 [答案] B

[解析] 由分布列的性质可知 =1,∴k=1.

nk n

4

k 1 5 2. 设离散型随机变量 X 的分布列 P(X=k)= , k=1,2,3,4,5, 则 P( <X< )等于( 15 2 2
A. 1 2 1 B. 9 1 C. 6 1 D. 5

)

[答案] D 1 5 1 2 1 [解析] P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = . 2 2 15 15 5 3.某人练习射击,共有 5 发子弹,击中目标或子弹打完则停止射击,射击次数为 X, 则“X=5”表示的试验结果为( A.第 5 次击中目标 C.前 4 次均未击中目标 [答案] C [解析] 本题易错选为 A,其实“X=5”只能说明前 4 次均未击中目标,而第 5 次射击 有可能击中目标,也有可能子弹打完而未击中目标. 4.设 X 是一个离散型随机变量,则下列不能够成为 X 的概率分布列的一组数是( A.1,0 B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1-p(p 为实数) D. 1 1 1 1 , ,?, , (n∈N+) 1×2 2×3 ?n-1?·n n ) ) B.第 5 次未击中目标 D.前 5 次均未击中目标

[答案] C [解析] 随机变量的分布列具有两个性质:①非负性;②概率之和为 1.可以根据这两 个性质解决. A、B 显然满足性质,适合. C 中,设 p=3,显然 1-p=-2<0 不满足非负性. D 中有 1 1 1 1 + +?+ + 1×2 2×3 ?n-1?·n n

1 1 1 1 1 1 =1- + - +?+ - + =1, 2 2 3 n-1 n n 故选 C. [反思总结] 在处理随机变量分布列的有关问题时,应充分利用分布列的性质求解. 二、填空题 5.袋中有 4 只红球和 3 只黑球,从中任取 4 只球,取到一只红球得 1 分,取到一只黑 球得 3 分,设得分为随机变量 X,则 P(X≤6)=________. [答案] 13 35
5

[解析] 可能的情形为:4 红,3 红 1 黑,2 红 2 黑,1 红 3 黑,对应的得分依次是 4 分,6 分,8 分,10 分.

P(X≤6)=P(X=4)+P(X=6)= 4+
6 .设随机变量 ξ

C4 C7

4

C4C3 1 12 13 + = . 4 = C7 35 35 35

3 1

的分布列为 P(ξ = k) =

c (c 为常数 ) , k = 1,2,3 ,则 k?k+1?

P(0.5<ξ <2.5)=________.
[答案] 8 9

4 [解析] 由 P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)=1, 得 c= , P(0.5<ξ <2.5)=1-P(ξ = 3 4 3 8 3)=1- = . 3×4 9 三、解答题 7.设随机变量 X 的分布列为 P(X= )=ak,(k=1,2,3,4,5). 5 3 (1)求常数 a 的值;(2)求 P(X≥ ); 5 1 7 (3)P( <X< ). 10 10 [分析] 分布列有两条重要的性质:Pi≥0,i=1,2,?;P1+P2+?+Pn=1 利用这两 1 2 3 4 3 1 7 条性质可求 a 的值.(2)(3)由于 X 的可能取值为 、 、 、 、1.所以满足 X≥ 或 <X< 的 5 5 5 5 5 10 10

k

X 值,只能是在 、 、 、 、1 中选取,且它们之间在一次实验中没有联系,只要求得满足
条件各概率之和即可. 1 [解析] (1)由 a·1+a·2+a·3+a·4+a·5=1 得 a= . 15

1 2 5 5

3 4 5 5

k 1 (2)因为分布列为 P(X= )= k(k=1、2、3、4、5) 5 15

3 3 4 3 4 5 4 解法一:P(X≥ )=P(X= )+P(X= )+P(X=1)= + + = . 5 5 5 15 15 15 5 3 1 2 1 2 4 解法二:P(X≥ )=1-[P(X= )+P(X= )]=1-[ + ]= . 5 5 5 15 15 5 1 7 1 2 3 1 7 1 2 (3)因为 <X< ,只有 X= 、 、 时满足,故 P( <X< )=P(X= )+P(X= )+P(X 10 10 5 5 5 10 10 5 5

6

3 1 2 3 2 = )= + + = . 5 15 15 15 5 [反思总结] 随机变量并不一定要取整数值. 它的取值一般来源于实际问题, 且有其特 定的含义,因此,可以是 R 中的任意值.但这并不意味着可以取任何值.它只能取分布列中 的值.而随机变量取某值时,其所表示的某一实验发生的概率值,必须符合性质. 8.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 X 表示方程 x +bx+c=0 的实根的个数(重根按一个计),求 X 的分布列. [解析] 由题意,X 的可能取值为 0,1,2. 随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b,c)|b、c=1,2,?,6},元素总个数为 36.
2

X=0 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c<0,b、c=1,2,?,6},元素个数为 17; X=1 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c=0,b、c=1,2,?,6},元素个数为 2; X=2 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c>0,b、c=1,2,?,6},元素个数为 17.
17 1 17 由此可知,P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , 36 18 36 故 X 的分布列为

X=xi P(X=xi)

0 17 36

1 1 18

2 17 36

[反思总结] 本题将分布列和方程相结合, 解题关键是理清方程有根的条件, 进而计算 出试验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数. 比如方程实根个数为 1, 则Δ =0,利用它找到骰子之间的关系.

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