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集合的基本运算 课件名称

年级科目:高一数学 主 讲 人:唐 颖 鸿 年级科目: 年级科目: 学 校:西安83中 主 讲 人: 学 校:

一、交集的概念
1.交集的定义 一般地,由所有属于A且属于B的元素所 组成的集合,叫做A,B的交集.记作A I B . (读作“A交B” ),即 A IB= {x|x ∈ A,且x ∈ B

} 图示为
A I B= {x} x ∈ S,且x ? A

B A

A IB

例如: I {1,2,3,6}{1,2,5,10}= {1,2}. 又如: A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则 A IB = {c,d,e}. 注意: 注意:
" A I B " 表示了 两层含 义:一 层含义 为集合 A与 B 的 所有公共 元素都 在 A I B中,另 一层含 义为凡 是 A I B中 的元素都 是两集 合 A与 B的公 共元素 ?

2. 交集的性质 (1) A I A = A

AI? = ?

AI B = B I A
(2) A I B ? A, (3) AICUA =?.

AI B ? B,

【例1】 设A={(x,y)|y=-4x+6},

B={(x,y)|y=5x-3},求 AI B.
解:

AI B ={(x,y)|y=-4x+6}I{(x,y)|y=5x-3}

4x ?y = ?4x + 6 } ={(x,y)| ? ?y = 5x ? 3
={(1,2)} 注:本题中,(x,y)可以看作是直线上的的坐标, 也可以看作二元一次方程的一个解.

【例2】 设集合A={-4,2a-1,a2}, B={9,a-5,1-a},分别求适合下列的a的值.
(2) AI B = {9} , (1)9∈ AI B; 解: (1)Q9∈ AI B,

∴9∈ A . ∴2a-1=9或a2=9,
∴a=5或a=3或a=-3. 当a=3时,B={-2,-2,9}, 不合题意,故舍去. ∴a=5或a=-3.

【例2】 设集合A={-4,2a-1,a2}, B={9,a-5,1-a},分别求适合下列的a的值. (1)9∈ AI B; (2) AI B = {9} , (2)QAI B = {9} , ∴9∈ AI B, ∴a=5或a=-3. ∴9∈ AI B, 当a=5时,A={-4,9,25}, B={0,-4,9},
∴a=5 舍 去
(2) AI B = {9} ,

此 , I B = {?4, ≠ {9}, 时 A 9}

当a=-3时,A={-4,-7,9}, B={-8,4,9},
此 , I B = {9}, 合 意 时 A 符 题 .

∴a= -3.

注意: 注意:

是由A与B的公共元素所构成的集合,

AI B
9∈ AI B与 {9} = AI B 表示的意义不同,
9∈ AI B 表明9是集合的一个公共元素,

但可能还有其他公共元素存在,而 {9} = AI B 9∈ AI B 则表明集合A与B的公共元素只有一个9.

二 、并集的概念
1.并集的定义 一般地,由所有属于A或属于B的元素所 组成的集合,叫做A,B的并集.记作A U B . (读作“A并B” ),即 A U B={x| x ∈ A,或x ∈ B } 图示为 A B
AU B

例如 {1,2,3,6} U {1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}.

注意:
AU B 是由所有属于A或属于B的元素所构成 的集合,其中用“或”连接的并列成分之间不一 定是互相排斥的.

" x ∈ A或x ∈ B"这一条件,包括下列三种情况: x∈ A ,但x ? B x ? A ; ,但x ∈B; x∈ A ,但x ∈ B.
另外,对于 AU B ,不能认为是由 A 的所有 元素和 B 的所有元素所组成的集合,因为 A与B 可能有公共元素,而公共元素在集合中是不能重 复出现的.

2. 并集的性质

(1) A U A = A
AU B = B U A
(2) A U B ? A, (3) AUCUA =U.

AU? = A

AU B ? B,

联系交集的性质有结论: (1 A ? B ? AI B = A; ) A ? B ? AU B = A .

(2)?? AI B ? A ? AU B.

【例3】 已知集合A={|a+1|,3,5}, B={2a+1,a2+2a, a2+2a-1}, 当A I B = {2,3}时,
求 A U B.

点拨:欲求A U B, .关键在于求出a,这由条件可求. Q ∴ 解: A I B = {2,3}, 2 ∈ A
∴ a + 1 = 2. ∴ a = 1或 a = ? 3 . 当 a = 1时 , B= {3 , 3 ,2} 不 成 立 .
故 a = 1舍 去 . 当 a = ? 3时 , A = {2 , 3 , 4 } ,

∴ a = ? 3 . A U B = {? 5, 2, 3, 5} .

B = {3 , 3 , 2} , 满 足 题 意 .

【例4】 已知集合 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又 A U B = {3,5},A∩B={3},求实数a,b,c的值. 解:∵A∩B={3},∴3∈B,
∴32+3c+15=0, ∴c=-8. 又∵ x2-8x+15=0,∴ x=3或x=5, ∴B={3,5}.
由 A ? A U B = {3, 5} 知 ,

3 ∈ A, ? A .(否则5∈A∩B,与A∩B={3}矛盾) 5
故必有A={3},∴方程x2+ax+b=0有两相同的根3, 由韦达定理得3+3=-a,3×3=9, 即a=-6,b=9,c=-8.

三、全集与补集
1 、补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个 子集(A ? S),由S中所有不属于A的元素组成 的集合,叫做S中子集A在全集中的补集(或余集), 记作CsA,即
CsA={x | x∈S,且x?A }
S CsA A

2、全集 如果集合S含有我们所要研究的各个集 合的全部元素,这个集合就可以看作一个全 集,全集通常用U表示. 注意:
新疆 王新敞
奎屯

全集是相对于研究的问题而言,如果我 (1)C (C A) = A, C U = ?, C ? = U ; 们只在整数范围内研究问题,则Z为全集;而 当问题扩展到实数集时,则R为全集.
U U U U

求集合A的补集的前提是A是全集U的子集.

3、性质
(1) C ( C U A ) = A , C UU = ? , C U ? = U ;

U

( 2 )摩 根 律 )摩
新疆 王新敞
奎屯

(1)C U (CU A) = A, C UU = ?, C U? = U ;

( C U A ) I ( C U B ) = C U ( A U B ); ( C U A ) U ( C U B ) = C U ( A I B ).

【例5】已知某校高一年级有10个班,集合 A={某校高一(1)班的学生}, B={某校高一(1)班 的男生}, D={某校高一年级(1) ~ (10)班}. (1)若A为全集,求CAB; (2)若D为全集,能否求出CUB? 为什么? 点拨: 能否求出集合在全集中的补集,关键要 看此集合是否是全集的子集. 解析: (1) CAB ={某校高一(1)班的女生}; (2)不能求出CUB,因为D的元素是某校高一年 级各班,而B的元素是学生, B不是D的子集, 故无法求出CUB.

【例6】已知全集U={2,3,a2+2a-3}, A={|2a-1|,2},CUA={5},求实数a的值. 点拨: CUA={5}表示两层含义,即5∈U,且5? , A 由此推理即可求解. 解: ∵ CUA={5}, ∴ 5∈U,且5 ? A. ∴ a2+2a-3=5, ∴ a=2 或 a=-4.
当 a = 2时 , 2 a ? 1 = 3 ≠ 5, 满 足 条 件 .
当 a = ? 4时 , 2 a ? 1 = 9 ≠ 5, 但 9 ? U不 符 题 意 .

∴ a=2.

四、重要知识点应用
1、知识点1—两个重要性质 、知识点 — 要善于利用集合间 的关系与集合的运 算性质解题,以下两个性质在解题中较为常 算性质解题 以下两个性质在解题中较为常 用:

(1) AI B = A ? A ? B; (2) AU B = A ? A ? B.

【例7】已知全集A={x∣x2+4x=0}, B={x∣x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若AI B = B ,求a的值 ; (2)若AU B = B ,求a的值 .

点拨: 明确条件的含义,根据问题的需要,将

B ? A和A ? B,是解决本题的关键 . 解: A={-4,0}
(1)QAI B = B ∴B ? A , , ∴集合B或为?,或只含有根0或? 4.

AI B = B和AU B = B转化为等价的关系:

若 =?由 = 4(a +1)2 -4(a2 -1) 0得 ??1. B . ? ? a

若 ∈B.则 2 ?1 = 0, 得 =1 a = ?1. 0 a a 或

当a=1时,B={x∣x2+4x=0}={0,-4}=A,符合题意. 当a=-1时,B={x∣x2=0}={0} A,符合题意. 若 ∈B.则 ?4)2 + 2(a +1 ? (?4) + a2 ?1 = 0, -4 ( )
即 2 ?8a + 7 = 0得 = 7或 =1. a a a

当a=7时,B={x∣x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意;
若 ∈B.则a2 ?1 = 0, 得a =1或a = ?1. 0

当a=1时, 符合题意. ∴a=1. 综上可知 a≤-1.

(2)Q AU B = B A ? B. , 又QA = {?4 0} 而 至 有 个 . ,, B 多 两 根

∴A = B.

∴ 由(1)知,a=1.

2、知识点 —摩根律的应用 、知识点2—
摩 根 律 (C U A ) I (C (C
U U U

B ) = C B ) = C

U U

( A U B ); ( A I B ).

A ) U (C

利用摩根律可简化求得集合的交、 补的综合运算. 利用摩根律可简化求得集合的交、并、补的综合运算. 【例8】已知全集={不大于20的质数}, M、 N是的两个子集,且满足 M I (CU N ) = {3, 5} ,

(CU M ) I N = {7,19} , (CU M ) I (CU N ) = {2,17} ,

求集合M , N .

解析: C(M U N)= (CU M ) I (CU N ) = {2,17} U 如图,用图示法表示集合,将符合条件的 元素依次填入图中相应的区域内,由图可知: M={3,5,11,13}, N={7,11,13,19}. U M
3,5
11 13

N
7,19

2,17

五、高考链接
【例9】(全国高考)设集合M={x|-1≤x<2}, N= {x|x-k≤0}, 若M I N ≠?,则的 K 取值范围为(). (A)(-∞,2) (C)(-1,+∞) (B)[ ?1, +∞) (D) [ ?1,2]

点拨: 将N具体解出,借助数轴分析. 解: N={x|x≤k},用数轴表示出M、N,如图,

-1

K

2

如图可知 K≥-1,故选B.

六、综合应用
【例10】已知集合A={(x,y)|y=ax+b}, B= 10】 {(x,y)|y=3x2+15}, C={(x,y)|x2+y2≤144},
问 否 在 数 是 存 实 a,b, 得 I B ≠ ? 使 A 且 (a,b) C同 成 ? ∈ 时 立
设 在 数 使 A 点拨: 假 存 实 a,b, 得 I B ≠ ?且 (a,b) C同 成 , 可 立 程 ∈ 时 立 则 联 方 组 探 a,b是 存 . 寻 否 在

解:

假 存 实 a,b, 得 I B ≠ ?且 设 在 数 使 A (a,b) C同 成 , ∈ 时 立 则

?y = ax + b 方 组? 程 有 . 解 2 ?y = 3x +15
即方程3x2-ax+15-b= 0必有实数解. ∴△=a2-12(15-b) ≥0 即 a2 ≥180-12b, (1) 同时 a2+b2 ≤144,即 a2 ≤ 144- b2, (2) 由(1) (2)得 144-b2 ≥180-12b, ∴b=6. 即 b2-12b+36 ≤0, (b-6)2≤0 将b=6代入(1) (2)得 a2 ≥108, a2 ≤108,

∴a2 =108

∴a= ± 6 3.

将b=6,a= ± 6 3代入 方程 组,解 x= ± 3, y=24. 得

故存在实数a,b,使得A I B ≠ ?且(a,b)∈C同时成立.

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