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3.2-3一元二次不等式的解法(3)


高二数学必修五 编号:SX—05--09

§3.2

一元二次不等式及其解法(三)

【学习目标】掌握不等式的恒成立问题 这类问题涉及函数,方程,不等式等,一般处理方法如下: (1)利用函数在区间的最值解决 (2)分离出参数再去求函数的最值来处理。 若 m ? f ( x ) 对一切 x ? D 恒成立,则 m ? [

f ( x)]min ; 若 m ? f ( x ) 对一切 x ? D 恒成立,则 m ? [ f ( x)]max 。 (3)变换主元:把已知范围的元素看成自变量,从而转化为一个简单易解的问题。

一、函数思想(转化为函数的最值问题)
1.一次函数 f(x)=kx+b 在 x ? ?m, n? 上恒大于 0 ? ? 例 1. 已知函数 f(x)=2mx+m-3 在 ?? 1,1?上恒大于 0,求实数 m 的取值范围

? ?

2.二次函数 f(x)= ax ? bx ? c
2

例 2. (1)对一切实数 x,式子
2

1 kx ? kx ? 1
2

均有意义, 求常数 k 的取值范围

(2)已知 f(x)=x -2ax+2 (a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

1

变式训练: (1)当 a∈( t1 , t 2 )时,不等式

2 ? ax ? x 2 ? 3 对任意的实数 x 恒成立,求 t1 ? t 2 的值 1? x ? x2

(2)若 2 x ? 9 x ? a ? 0 ,对一切 x∈ ?2,3? 都成立,求实数 a 的取值范围
2

二.参数分离法
例 3 已知函数 f(x)=

x 2 ? 2x ? a ,对任意的 x∈ ?1,??? ,f(x)≥0 都成立,求实数 a 的取值范围 x

2

变式训练:

4x+m (1)关于 x 的不等式 2 <2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. x -2x+3

(2) 已知函数 f(x)= mx ? mx ? 1 ① 若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. ② 对任意的 x∈ ? 1,3? ,f(x)<-m+5 都成立,求实数 m 的取值范围
2

3

三.变换主元法 2 例 4 若不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0
(1)对所有的实数 x 不等式恒成立,求实数 m 的取值范围. (2)对满足 m ? 2 的所有实数都成立,求实数 x 的取值范围.

变式训练:若不等式 x +px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,试求实数 x 的取值范围.

2

能力提升: (a ? 1 )x 2 ? ax ? a ? 0 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 1. 若不等式 2 2. 已知函数 f(x)= lg(ax ? 2ax ? 1)
① 若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 ②若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围 3. 已知函数 f(x)= log2 范围 4. 已知函数 f(x)=

1? 2x ? a ? 4x

,其中 a∈R,若 x∈ ?? ?,1? 时 f(x)有意义,求实数 a 的取值

ax2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R,解关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a 2 ? a ? 0

4


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