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指、对、幂函数期末复习题(教案)


安徽智慧堂教育集团龙门培训学校 专题:指、对、幂函数复习题
一、选择题 1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( 1 (A)y= x - 2 (B)y= log 2 x
3

)

3 (C)y=( )x 2

2 x (D)y=( ) 3 3 3 【解析】选 C.由于 >1,∴y=(

)x 在(0,1)上单增. 2 2 3 x 3 2.若 a ? ( ) , b ? x , c ? log 3 x, 则当x ? 1时, a、b、c 的大小关系是 5 5
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b<a<c





3 x 3 【解析】选 C,当 x>1 时,0<( ) <1,x >1, log 3 x <0,故 c<a<b. 5
5

3.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 小时这种细菌由 1 个可繁殖成: ( A.511 个 ) B.512 个 C.1023 个 D.1024 个
9

【解析】选 B,细菌每 20 分钟分裂 1 次,3 个小时分裂了 9 次,1 个细菌可分裂为 2 =512 个。 4. 函数 y ? a 与
x

y ? ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一坐标系中的图象可能是





【解析】选 A,当 a ? 1 时,函数 y ? a 单调递增,而 y ? ? log a x 单调递减,故 A 符合条件.
x

5. 已知 f ( x) ?

e x ? e?x ,则下列正确的是( ) 2
B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 【解析】选 A

ex-e-x f(-x)+f(x)=0,f(x)为奇函数,因为 y=e-x 为减函数,y=ex 为增函数,可得出 f(x)=
2 为增函数。
1

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?2e x ?1 , x<2, ? f ( x) ? ? 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ? 6. 设 (
A.0 B.1
2

). D.3

C.2

【解析】 选 C。f(2)=log3(2 -1)=1,f(f(2))=f(1)=2. 7. (1)函数 f ( x) ? log a (4 x ? 3) 过定点( A.(1,0) 【解析】选 A 令 4x-3=1 可得 x=1,故函数 f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0). (2) 若 a>0,a≠1,则函数 y=a +1 的反函数的图象一定经过点( (A)(1,1) (B)(1,2)
x-1 x-1

) D.(

B.(

3 ,0 ) 4

C.(1,1)

3 ,1 ) 4

)

(C)(1,0)

(D)(2,1)

【解析】选 D.函数 y=a +1 一定过点(1,2),故其反函数一定过点(2,1).

8. 已知函数

f (3x) ? log 2

9x ?1 2 ,则 f (1) 的值为(
C. log2 5



1 A. 2
【解析】 选 A

B.1

D.2

f(3x)=log2

9x+1 可得 f(x)=log2 2
2

3x+1 1 ,所以 f(1)= . 2 2

9. 已知集合 M ? { y | y ? x ? 2 x ? 2, x ? R},集合 N ? {x | y ? log2 (3 ? x), y ? R} ,则 集合 M ? N 为( A. (2,??) ) B. (??,3)
2

C. (1,3)

D. [1,3)

【解析】 D.集合 M 为函数 y=x +2x+2 的值域, 选 y≥1, 集合 N 为函数 y=log2(3-x)的定义域, x<3. 10. 已知函数 f(x)=lg(x+ 1 ? x2 ),若 f(a)=b,则 f(-a)= ( A. b B. -b
2

) D.-

C.

1 b

1 b

【解析】选 B,可证明函数 f(x)=lg(x+ 1+x )为奇函数,由 f(a)=b,可得 f(-a)=-f(a)= -b. 11.若 x ? x
?1

? 3, 则x ? x =(

1 2

?

1 2



2

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A.1 B.-1
1 ? 1

C.±4
1

D.±1
? 1

-1 【解析】选 D,将 x 2 ? x 2 平方可得 x+x -2=1,故可得 x 2 ? x 2 =±1.

二、填空题
x 1. 函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,并且当 x ? ?0,?? ? 时, f ( x) ? 2 ,

1 f (log 2 ) 3 = 那么,

.

1 x -x 【解析】函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 ,可求得当 x<0 时,f(x)=-2 ,而 log2 <0, 3 1 故 f(log2 )=-3. 3 答案:-3 2.函数 y ?

log 2 ( 3 x ? 2) 的定义域为______________
3

【解析】由 log2 (3x-2)≥0 可得: ?
3

?3x ? 2 ? 0 2 所以, <x≤1. 3 ?3x ? 2 ? 1

答案: ? , 1? 3. 方程 log2 x ? 2log2 ( x ? 2) 的解是
2

?2 ? ?3 ?


【解析】log2x=2log2(x-2)得 x=(x-2) 且 x-2>0,可得 x=4. 答案: 4 4.已知幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 (2, 2 ) ,则 f (9) ? 【解析】幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 (2, 2 ) ,可得 y= x 2 . 答案:3 5.若方程|3x-1|=k 有且只有 1 个解,则 k 的范围为____________ 6.已知实数 a, b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:
a b
1

1 2

1 3

(1) 0 ? b ? a , (2) a ? b ? 0 , (3) 0 ? a ? b , (4) b ? a ? 0 , (5) a ? b 其中可能成立的关系式有 .

1 x 1 x 【解析】画出函数 y=( ) 与函数 y=( ) ,可得出①②⑤正确。 2 3

3

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答案: ①②⑤ 三、解答题 1.计算下列各式:
3 7 8 (2)(log43+log83)(log32+log92).

(1) 0.064 3 -( )0 +16 4 +( 2 ? 3 3) 6 ;
1

-

1

3 3 4 6 3 6 【解析】 (1)原式 =(0.4 ) -1+(2 ) 4 +(2 2 ) ? (3 ) =

-

3

1

1

(2)原式= (log 22 3+log 23 3) ? (log 3 2+log 32 2)= 1 1 1 1 3 2 2 2 3

163 . 2

=log (3 ? 3 ) ? log (2 ? 2 )
a a

2.(1)设

5 3 5 = log 2 3 ? log3 2= . 6 2 4 2m ? n log 2 ? m,log 3 ? n,
求a

的值;

22 x ? 2?2 x ? 2 x ? log2 3 ,求 2 x ? 2? x 的值。 (2)设
【解析】 (1) a
2 m? n

? aloga 4?loga 3 ? aloga 12 ? 12 ;

x ? log2 3 , ? 2 x ? 3 , 2 - x ? 1 ,? 原式 ? (2) ? 3

1 32 ? ) ? 2 ( 2 10 3 ? 1 3 3? 3

3.函数

f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3),(0 ? a ? 1).

(1)求函数 f(x)的定义域; (2) 求函数 f(x)的值域; (3)若函数 f(x)的最小值为 ?2 ,求 a 的值。 【解析】1)要使函数有意义:

?1 ? x ? 0 ? x?3? 0, 则有 ?
解之得: ?3 ? x ? 1 , 所以定义域为:

(?3, 1) .
f ( x) ? loga (1? x)( x ? 3) ? loga (?x2 ? 2x ? 3) ? loga [?( x ?1)2 ? 4]
2

(3)函数可化为: ∵ ?3 ? x ? 1

∴ 0 ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4

4

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∵ 0 ? a ? 1,

?loga [?( x ? 1)2 ? 4] ? loga 4 ,
?a ? 4
? 1 2

loga 4 ? ?2 ,得 a ?2 ? 4 , 由
f ( x) ?
4.已知函数

?

1 2

1 ? b, (0 ? a ? 1, b ? R) a ?1 是奇函数
x

⑴求实数 b 的值; ⑵判断函数 f ( x ) 的单调性,并用定义证明;

【解析】 (1)∵ 定义域为 R ,∴ f (0) ? 0 ,∴ (2)是单调递增函数 ∵定义域为 R ,∴任取

b??

1 2

x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,

1? ? 1 1? a x2 ? a x1 ? 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? x1 x ? a ? 1 2 ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1)(a 2 ? 1)

?0 ? a ? 1,?a x1 ? a x2 , a x2 ? a x1 ? 0 , (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? 0 ,
a x2 ? a x1 ? x1 ?0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (a ? 1)(a x2 ? 1) ,
f ( x) ?


1 1 ? , (0 ? a ? 1) a ?1 2 是单调递增函数
x

5


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