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【重点校资料】2012年华师大二附中内部理科班物理竞赛讲义——牛顿运动定律


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中学物理奥赛解题研究

第四专题
<

br />牛顿运动定律

解题知识与方法研究
一、加速度关联关系的寻求与利用
二、平动匀加速非惯性参照系与匀

疑难题解答研究
例题6 例题7 例题8

强(保守)力场的等效

解题知识与方法研究
一、加速度关联关系 1、何谓加速度关联关系? 在某些物体系统中,各物体由于特定的连接关系或者特定的几何位置关系,使系统 中各物体的加速度的大小具有固定的关系.
aB

B
a

m

M

a?

aA

B A aB

C aC

aA

A (2)

?
(3)

(1)

善于分析和利用这种关系对解题往往十分重要!

2、分析的方法 1-1、由物体间的位移关系——速度关系——确定加速度的关系 1-1-1、当直线运动的各物体间的位移的大小关系为线性关系时:
rA ? krB v A ? kvB a A ? kaB

rA ? krA
例如:

a A ? kaB

对图(1), 假定相对地面 C ? 相对于悬挂的动滑轮0 ; A ? 、B ? .

aA

O
A B aB C aC

1 r ? (?rO ) 则C、O相对地面有 C 2
A、B相对动滑轮O有 rA ? ? ?rB ?, A、B相对地面有:
? ? (?rO ) rA ? rA ? ? (?rO ) rB ? rB ? ? rB ? ? 2(?rO ) rA ? rB ? rA a A ? aB ? 4aC

(1)

于是有 rA ? rB ? 2(?rO ) ? 4rC

1-1-2、各物体非直线运动或位移大小关系为非线性关系时:
例如:对如图所示的半圆柱和柱面上小球 的运动,便属这种情况.
F

a?

需利用高等数学求导确定加速度的关系.

a

例1 在如图所示的系统中,A、B两物体原来处于 静止,所有接触处均无摩擦,求滑动过程中aB=? 解 分析A、B的受力如图.
Mg ? N cos ? ? Ma A N sin ? ? maB

aA

N

?
aB

A Mg mg (2)

由牛顿运动定律

B N

对A:
对B:

① ②

需寻找aA、aB的关联关系! 由图可知, CD ? CE tan ? 所以
a A ? aB tan ?



? E

C D

由方程①、②、③解出:

aB ?

mg tan ? . m ? M tan 2 ?

题后思考 从前面第二专题中的平面运动物体 接触处的速度关系方向思考本题.

例2 如图所示的系统中滑轮与细绳的质量可忽略不 计,细绳不可伸长,且与滑轮间无摩擦,三个物体的质量 分别为m1、m2、m3, 它们的加速度方向按图示设定. 这三个加速度量a1、a2和a3. 试求

T T
a2 a1 m1

T T

解 系统中各段绳子中的张力如图.
三个物体的动力学方程为:

2T m2 T K

m1g ? T ? m1 a 1
(T ? m2 g ) ? 2T ? m2 a2 2T ? m3 g ? m3a3


② ③

2T
m3 a3

确定三物体的加速度的关联关系:

h (1)先假定m2不动,当m1下降h1时, m3将上升 1 . 2 h (2)再假定m1不动,当m2下降h2时, m3将上升 2 . 2 a1 a2 ? 2 2

先将绳上的K点固定 然后放开,再分析 (2)中m3的位移情况

综合以上两种情况,则实际上m1下降h1,m2下降h2时, m3将上升 h3 ?

h1 h2 ? . 2 2

于是得到

a3 ?



m1g ? T ? m1 a 1
(T ? m2 g ) ? 2T ? m2 a2 2T ? m3 g ? m3a3

① ②




TT 2T m2 T 2T
m3 a3

a3 ?
解方程组得:

a1 a2 ? 2 2

T
a1 m1

a2

T

4m m ? m m ? 3m2 m3 a1 ? 1 2 1 3 g 4m1m2 ? m1 m3 ? m2m3 4m m ?3m1m3 ? m2 m3 a2 ? 1 2 g 4m1m2 ? m1 m3 ? m2 m3 a3 ? 4m1m 2 ?m1m3 ? m2 m3 g 4m1m2 ? m1 m3 ? m2m3
题后总结 ?解本题的困难在于确定加速度的关联关系; ?加速度的实际方向不一定为题设的方向.

1-2、利用运动的相对性寻找加速度间的关联关系式,并对其进行分解
aA对B ? aA对C ? aC对B

a? x? A对B ? a( x ) A对C ? a( x )C对B
a( y ) A对B ? a( y ) A对C ? a( y )C对B
N m a?
a mg

例3 如图,一劈上放一物块,各接触
面均光滑. 求M、m相对地面的加速度. 解 m沿M的斜面下滑,而M后退. 研究M:

? a??
?
① ② ③

M

N?
N

a?

在水平方向上,N sin ? ? Ma?
在竖直上向上, N ? ? Mg ? N cos ? 研究m: 在沿斜面方向上, mg sin ? ? ma cos?

Mg

在垂直斜面方向上,mg cos? ? N ? ma sin ?
研究加速度的关联关系:



a ? a? ? a??

研究加速度的关联关系:

a ? a? ? a??
在斜面方向上: a cos? ? a?? ? a? cos? 在垂直斜面上向上: a sin? ? a? sin? 由①、③、④、⑥解出: ⑤

? a??
?


N m a?
a mg

M

N?
N

a?

Mg
N sin ? ? Ma? N ? ? Mg ? N cos ?
① ② ③ ④

a?

mg sin ? cos ? g ( M ? m sin ? )sin ? ? a ? ; ; 2 2 M ? m sin ? M ? m sin ?

mg sin ? ? ma cos? mg cos? ? N ? ma sin ?

m sin ? cos? ? ? arcsin . M ? m sin ?
题后总结与思考

?解本题的关键在于得到并分解

a ? a? ? a??
?试用非惯性参照系解答本题.

二、平动匀加速非惯性参照系与匀强(保守)力场的等效 引力场与非惯性参照系的等效是建立广义相对论的经验基础: 在如图所示的两种情况下,密闭的 升降机中的观察者所进行的一切力学实 验都是等效的,无法将两种情况区分.

a ?0

a ? ?g g

g
加速度为 a 的平 动非惯性参照系

匀强保守力场(场强为-a的 引力场,场强为 E ? -ma q 的静电场等等).
对处理问题的好处: (1)转化为熟悉的情景;

地球 在静止于地面上的升降机中

在无引力的太空中以g 加速上升的升降机中

爱因斯坦的理想实验

(2)不忽略任何相关物体的受力.

例4 如图所示,在密闭的车内用细线拴一

氢气球. 设气球的体积为V,质量为m(包括气球内
的氢气),车内空气的密度为ρ. 当车以加速度a 向左行驶时,最终细线的拉力的大小和方向. 解 据经验气球最终将偏向右方静止在车内.
a

F
ma

? T

mg

以车为参照系,则气球处于平衡状态.
分析气球受力:
重力mg、 向上的浮力F、 向右的惯性力 ma. 拉力T、

由平衡条件得:

T cos? ? mg ? F ? 0
T sin? ? ma ? 0


T cos? ? mg ? ?Vg ? 0
T sin? ? ma ? 0
T ? m2a 2 ? ? ?V ? m ? g ma ? ? arctan ? ?V ? m ? g
2

气球真的是偏向车右 方然后静止吗??

解出:

将非惯性参照系等效于场强向右的匀强引 力场分析气球受力:
重力mg、 向上的浮力F、 拉力T、

气球究竟偏向车的 那一边??

向右的引力 ma , 还有向左的“浮力”F′.
F ? ? ( ?V )a

F
F

F?
a

ma

F?

ma
T

因为?V ? m , 即F ? ? ma ,所以气球会向左偏.

mg mg
T

气球静止后,由平衡条件:

?

T cos? ? mg ? F ? 0
T sin? ? ma ? F ? ? 0


T cos? ? mg ? ?Vg ? 0 T sin ? ? ma ? ?Va ? 0
T ? ( ?V ? m)(a 2 ? g ) a ? ? arctan g
1 2 2

题后总结 ?题目对知识的深度要求较高; ?所作的解答将动力学问题化为了静力学问题.

解出:

例5 在静止的车厢内有一幅角为θ(0<θ<90°)的圆锥摆,当摆球处于图中的最左 边的位置时车厢开始以常量a向右做水平匀加速运动,试问摆球相对车厢是否有可能恰好 从此时刻开始以某另一θ ′(0<θ ′<90°)为幅角作圆锥摆运动?

解 车厢未加速前,摆球相对车厢的速度大小v可求:
设摆求质量为m,摆长为L, 则有 v2 mg tan ? ? m ? L sin ? 得到
gL v? ? sin ? cos?

?a

? g

g?

?

L
a

车厢加速后,车厢为平动匀加速非惯性参照系, 等效于一向左的场强为a的引力场. 引入一等效重力 加速度g′,如图所示.
2 2 g ?的大小为 g ? ? g ? a ,

m

o

mg

g ?与g的夹角? 满足关系

cos ? ? sin ? ?

g g ?a a
2 2

; .



g ?a
2

2

若摆球恰好能从车厢开始加速时相对车厢继续

做圆锥摆运动,则其轴线必沿g′′方向, 幅角为:

?a

?a

?? ?

? ? ? , 当? ? ? 时; ? ? ? , 当? ? ? 时.
进一步研究其可能性及条件:



? g
g? g?

?
?
g
o

L

? g
g?
a

若继续作圆运动,此时的圆运动速度同样为v, 类似于①, 也应满足 g ?L v? ? sin ? ? cos? ? 由①、④得
g ? sin 2 ? ? g sin 2 ? ? cos? ? cos?



cos ? ? sin ? ?

g

g 2 ? a2 a
2 2

g? ;





g gL ? a v? ? sin ? ① cos?
2

.

由③得: cos? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? 进而得:

sin 2 ? ? ? ?sin(? ? ? )? 2? ?sin(? ? ? )? 2 ? ?sin? cos? ? cos? sin ? ?
a ?g a ?g 1 sin 2 ? ? ? 2 g sin ? ? a cos? ? 2 2? a ?g
2 2 2 2

再将②代入, 得:

cos? ? ?

g

cos? ?

g

sin ?

Φ的大小 取决于a, 最后结果 由a决定?!

将此 cos? ?、 sin 2 ? ?代入⑤式:
g sin 2 ? g ? sin 2 ? ? ? ? cos? cos? ? a ? g ? sin ? ? g a cos? ? sin ? 2 2 2 2 a ?g a ?g
2 2 2

?a

?a
L

? g
g? g?

?
?
g
o

?g
g?
a

?

( g sin ? ? a cos? ) g cos? ? a sin ?

2

2 2 即得 g sin ? ? g cos? ? a sin? ? ? cos? ? g sin? ? a cos? ?

由此解出

a ? g (2 ? tan 2 ? ) tan ?

g?



唯一的a便对应着唯一的 ?:
tan ? ?
必有 ? ? ? .

a ? (2 ? tan 2 ? ) tan ? >tan? g

从以上讨论知, 仅当a满足⑥式时摆球才可 继续作圆锥摆运动, 其幅角为
2 ? ? ? ? ? ? ? arctan ? (2 ? tan ? ) tan ? ? ? ? ??.

题后思考 定性估计,如果a为不满足⑥式的其他

值,小球将可能作些什么运动??

疑难题解答研究
例6 系统如图所示,绳与滑轮间光滑接触,绳不可伸长,它的质量可忽略不计. 质量为m的小孔环套在绳的左侧,两者间的最大静摩擦力同为常量f0<mg. 绳的两端所 挂的物体的质量分别为M1和M2. 系统从静止开始释放,将小孔环的加速度记为am, 小孔 环下面悬挂的物体M1的加速度记为aM,试求am、aM的方向及大小. 解 由于M1、M2的大小关系不确定,所示 am、aM的方向存在多种可能性. Ⅰ、am向下,aM向上(包括aM=0): 则小环受到的滑动摩擦力向上,大小为f0. Ⅱ、am向下,aM也向下: am m

aM M1

M2

Ⅱ、am向下,aM也向下:
(1) 若am >aM ,

则小环受滑动摩擦力向上,大小为 f0 .

(2) 若am ? aM , 则小环的静摩擦力不能为零,不能向下,

只能向上,大小为 f (? f) 0 .
(3) 若am <aM , 则小环受到的滑动摩擦力向下,大小为f0 ,

am

m M2

f ? mg 但此时aM>am ? 0 >g. 因此这种情况不可能出现. m
Ⅲ、am向上(包括am=0): 则小环所受的摩擦力向上,大小为 f = mg+mam>f0, 这与题设矛盾. 所以这种情况不可能出现.

aM M1

综上所述,可能出现的情况是:
(一)am向下,aM向上(包括aM=0), f 0方向向上. (二)am向下,aM向下

(1) am >aM , (2) am ? aM .

f 0方向向上.

下面就以上可能出现的情况求am、aM的大小: (一)am向下,aM向上(包括aM=0), f 0方向向上. 如右图所示.

T1 ? M1g ? MaM ;
有动力学方程:

am

f0 m

T2

mg ? f 0 ? mam ; M 2 g ? T2 ? M 2aM ;
T2 ? T1 ? f 0 .

mg T1
aM M1

M2
M2g

aM

M 1g

解得:

aM ?

(M 2 ? M1 ) g ? f0 ; M1 ? M 2 f am ? g ? 0 ( > 0). m

此结果出现的

条件如何?

? T1=T2

因为要求 aM ? 0 , 所以出现这种情况的 条件是:
(M 2 ? M1 ) g ? f 0 ? 0.

若此条件不满足,便出现情况 (二) :am向下,aM向下



M 2 ? M1 ?

f0 . g

(二)am向下,aM向下, f 0方向向上.
据(一)所述,出现这种情况的条件是: f M2 <M 1 ? 0 g (从而使得aM方向向下)

① am

f0 m

T2

(1) 设 am >aM>, 0 由右图有动力学方程: mg ? f 0 ? mam ,
M 1 g ? T1 ? M 1aM , T2 ? M 2 g ? M 2 aM , T2 ? T1 ? f 0 .

mg
aM M1
M 1g

T1

M2

aM

M2g

解得:

aM ?

(M1 ? M 2 ) g ? f0 a ? g ? f0 ( > 0). , m m M1 ? M 2

此结果出现的

首先应要求 aM> 0, 其条件为①式. f (M ? M 2 ) g ? f0 进而要求 am . >a M , 即 g ? 0 > 1 m M1 ? M 2
> ( M 1 ? M 2 ? m) f 0 . 其得以成立的条件为: 2mM 2 g

条件如何?

或者为:

( M ? m) f 0 M2 > 1 2mg ? f 0



①、②两式同时成立的必要条件是

M1 ?


f 0 ( M 1 ? m) f 0 > g 2mg ? f 0
f0 ) > 0, g



2 M 1 (mg ? f 0 ) ? f 0 (m ?

g (2M 1 ? f 0 )(mg ? f 0 ) > 0.

这是显然成立的. 所以③式必定成立. 因此适当选择M2便可使①、②两式同时成立. (2) 设am ? aM ? a, 如右图所示.

(M1 ? m) g ? T2 ? (M1 ? m)a,
有动力学方程:
T2 ? M 2 g ? M 2 a,

f

mg ? f ? ma.
解出

a

m T1

T2

a?

M1 ? m ? M 2 ? g, M1 ? M 2 ? m f ? m( g ? a).

M2

a

a

M1

>M 2 . > 0 , 即 M1 ? m 首先要求 a

因①式已成立:
M2 <M 1 ? f0 g



f <M 1 ? 0 <M 1 ? m. 所以必有 M 2 g 即 M1 ? m >M 2成立。

f
a m T1 a

T2

其次还要求 f ? f 0, 即m( g ? a) ? f 0 . 将a的表达式 a ?

M2

a

M1 ? m ? M 2 ? g 代入得: M1 ? M 2 ? m
0

M1

2mM 2 g ? (M 1 ? M 2 ? m) f
所以即要求
M2 ? ( M 1 ? m) f 0 2mg ? f 0



而可证明

(M1 ? m) f 0 f <M 1 ? 0 成立. 2mg ? f 0 g

所以要使①、④两式同时成立, 只要④成立即可.

综合以上各种情况知: (A) 当M 2 ? M 1 ? 其解为:
f0 时, am向下,aM向上(包括aM=0), g (M 2 ? M1 ) g ? f0 aM ? ; M1 ? M 2 f am ? g ? 0> 0. m

(B)当M1 ?

f0 ( M ? m) f 0 >M 2 > 1 时, am向下,aM向下, g 2mg ? f 0
题后总结

其解为:

aM ?

(M 2 ? M1 ) g ? f0 , M1 ? M 2 f am ? g ? 0 m

?本题的最终结果是随条件
而变化的; ?而各种条件由需要自己去 全面概括; ?对各种条件还需进行分析 判断.

( M 1 ? m) f 0 (C) 当M 2 ? 时, am向下,aM向下, 2mg ? f 0

M ? m ? M2 ? g. 其解为: am ? aM ? a ? 1 M1 ? M 2 ? m

例7、 质量与半径均足够大的光滑圆盘以匀角速度ω绕过圆心的固定竖直轴转动. (1)质量分别为ma、mb的两个光滑小球a、b,用劲度系数为k、自由长度为L的轻弹 簧相连后置于圆盘上,试对所有可能达到的稳定状态(即a、b相对于圆盘的静止状态)计 算a、b各自与圆心的距离. (2)a、b、c为三个光滑小球,a、b间及b、c间均用劲度系数为k,自由长度为L的轻 质弹簧相连后置于圆盘上,若排除两弹簧重叠的可能性,且设a、b、c的质量分别为 2k 3k 4k 试讨论系统达到稳定状态的可能性. ma ? 2 , mb ? 2 , mc ? 2 .

?

?

?



(1)系统稳定时,a、b均相对圆盘的圆心作圆周运动.
圆形O必在a、b的连线上,且圆心O只能在a、b之间. ra ma

rb mb O

于是对a、b两球有:

ma? 2ra ? k (ra ? rb ? L) mb? 2rb ? k (ra ? rb ? L)
解出: ra ?
kma ? L, k (ma ? mb ) ? ma mb? 2 rb ? kmb ?L k (ma ? mb ) ? ma mb? 2

ra ?

kma ? L, 2 k (ma ? mb ) ? ma mb?

rb ?

kmb ?L 2 k (ma ? mb ) ? ma mb?

讨论: 因ra、rb均为正,故仅当 k (ma ? mb ) ? ma mb? 2 > 0, 即 ma mb? 2 k> 时, 才有可能达到稳定状态. 此时,ra ? rb >L. (ma ? mb ) (2)如图所示,据(1)的分析知:a、b、c不共线的 状态不可能是稳定状态. Ⅰ、三球共线; 仅当满足: Ⅱ、圆心在三球的连线上; Ⅲ、圆心在a、c之间. 才有可能为稳定状态. Ⅰ、设圆心O在a、b之间. 建立如图所示的坐标. 要求:
xa ? 0, xb ? 0, xc>xb.

ra ma O

rb

mb

mb ma ma mb mc ma m b O ma mb

mc

mc mc



ma xa O

mb xb

mc xc

x

对a、b、c分别建立动力学方程:

ma? 2 (? xa ) ? k (? xa ? xb ? L), ?mb? 2 xb ? ?k (? xa ? xb ? L) ? k ( xc ? xb ? L) ?mc? 2 xc ? ?k ( xc ? x b ? L).
将 ma ?

2k

?

2

, mb ?

3k

?

2

, mc ?

4k

?

2

代入后得:

ma xa

O

mb xb

mc xc

x

?2 xa ? ? xa ? xb ? L

3xb ? ? xa ? 2 xb ? xc
4 xc ? xc ? xb ? L xa ? 0, xb ? 0, xc>xb. ①

解此线性方程组得: xa ? ? L, xb ? 2 L, xc ? ? L.

此结果不符合①中的各项要求, 所以不能出现这种稳定状态. Ⅱ、设圆心O在b、c之间.建立如图所示的坐标. 要求:
xa < 0, xa<xb ? 0, xc ? 0,

ma ② xa

mb xb

mc

O

xc

x

对a、b、c分别建立动力学方程:

m a ? 2 (? xa ) ? k (? xa ? xb ? L), mb? (? xb ) ? k ( xc ? xb ? L) ? k (? xa ? xb ? L),
2

ma
xa

mb xb O

mc xc

x

?mc? xc ? ?k ( xc ? xb ? L).
2

将 ma ?

2k

?

, mb ? 2

3k

?

, mc ? 2

4k

?

2

代入后得:

?2 xa ? ? xa ? xb ? L , ?3 xb ? xa ? 2 xb ? xc , 4 xc ? xc ? xb ? L.

解此线性方程组得: xa ? ? L, xb ? 2 L, xc ? ? L.

xa < 0, xa<xb ? 0, xc ? 0. ②

此结果不符合②中的各项要求. 所以也不能出现这种稳定状态.
故三球构成的系统不可能达成稳定状态.

题后总结
本题难度不大,属开放性问题,关键在于要对各种 可能出现的情况进行全面地讨论.

例8 如图,水平桌面上平放共计54张的一叠牌,每一张牌的质量相同,用一根手 指以竖直向下的力压着第一张牌,并以一定的速度向右移动手指,确保手指与第一张牌

之间有相对滑动. 引入α =N/mg以表征手指向下的压力N 的大小,其中m为每张牌的质量
.设手指与第一张牌之间的摩擦系数为μ1,牌与牌之间的摩擦系数为μ2,第54张牌与桌 面之间的摩擦系数为μ3. 且有μ1 >μ2 >μ3 .(可视滑动摩擦等于最大静摩擦) (1)试问第2张牌到第54张牌之间是否可能存在相对滑动? (2)α 很小时,54张牌都不动,这是牌组的一种状态; α 稍大些,第1张牌向右加 速,其余牌均不动,这是牌组的另一种状态,…………,试给出牌组全部可能出现的状 态,分析每一种状态出现的条件(条件的表

达式中只能包含α 、μ1、μ2和μ3参量).
(3)对各种给定的μ1 >μ2 >μ3的值, 调控α,至多能出现多种状态?若取μ1 = 1.05、μ2=1.03、 μ3=0.5, 调控α,至多能出 现多少种状态? 53 54

v
第1张牌 2 3

(1)试问第2张牌到第54张牌之 间是否可能存在相对滑动? 解 如图,将各界面进行编号. 第1张牌 2
F0

v
界面0

各界面可能出现的滑动摩擦分别为: F0 ? ?1 N .
Fj ? ?2 ( N ? jmg ),
F54 ? ?3 ( N ? 54mg ).

1 2
f k ?1

j ? 1、、、 23

、 53.

k
fk

k-1 k 52 53 54

将实际出现的摩擦力记为 f k , 则必有
f k ? Fk , (k ? 1、、、 23 、) 54

53 54

研究第2张牌——第53张牌: 其中的第k张牌上、下两表面受到的实际摩擦力为 f k ?1和 f k , 若第k张牌相对第(k+1)张牌滑动,则 fk 必为滑动摩擦,而 fk-1可能为滑动摩擦或者 静摩擦. 于是有 且要求

f k ? Fk ,

f k ?1 ? Fk ?1.

注意:第一张牌是个例外哦!

f k ?1 >f k , 即还要求 Fk ?1 >Fk ,

而由F Fjj 的计算式知这是不可能的. 故第2张牌至第54张牌之间不可能发生相对滑动,而 只可能作整体移动.

(2)α 很小时,54张牌都不动,这是牌组的一种状态; α 稍大些,第1张牌向右加 速,其余牌均不动,这是牌组的另一种状态,…………,试给出牌组全部可能出现的状 态,分析每一种状态出现的条件(条件的表达式中只能包含α 、μ1、μ2和μ3参量). 解 记 { 1}—第1张牌. {2-54}—第2张至第54张牌的整体.

则可能出现的状态有 Ⅰ、 {1}、{2-54}都不动; Ⅱ、 {1}动、{2-54}不动;

第1张牌
2
f1

F0 f1

v

界面0 1

(不可能有{1}不动、{2-54}动的情况出现) Ⅲ、{1}、{2-54}同步动(向右); 54 (不可能有{1}小动、{2-54}大动的情况出现) 下面分析各种状态出现的条件: Ⅳ、{1}大动、{2-54}小动;
f 54

f 54

54

为方便研究图中将{1}、{2-54}、 以及桌面间的接触面画开了.

下面分析各种状态出现的条件: Ⅰ、{1}、{2-54}都不动 要求 F0 ? f1 ? F1 ,
F0 ? f54 ? F54 .

第1张牌 2
f1

F0 f1

v

界面0 1

即 ?1? mg ? ?2 (? ? 1)mg , ?1? mg ? ?3 (? ? 54)mg.
?

??

?1 ? ?2

?2

,

54?3 ?? . ?1 ? ?3

?

54

f 54 F0 ? ?1 N .

α应取其中较小者. 若

f 54

54

?1 ? ?2
?1 ? ?2 ?2

?2

? >

54?1?3 54?3 ?2 . 则取? ? , 即 ?2 ? . ?1 ? 53?3 ?1 ? ?3 ?1 ? ?2 54 ?3 54?3 54?1?3 , 即 ?2 . > . 则取 ? ? ?1 ? ?3 ?1 ? ?3 ?1 ? 53?3
F1 ? f 54 ? F 54 .



Fj ? ?2 ( N ? jmg ). F54 ? ?3 ( N ? 54mg ).

Ⅱ、{1}动、{2-54}不动 要求
F0 >F1 ,
? ?

? ?> 2 , ?1 ? ?2

??

54 ?3 ? ?2 . ? 2 ? ?3

Ⅱ、{1}动、{2-54}不动 要求
F0 >F1 ,
? ?>

第1张牌
,

?1 ? ?2 54 ?3 ? ?2 ? ? . ? F1 ? f 54 ? F 54 . ? 2 ? ?3 即要求 54 ?3 ? ?2 ?2 <? ? . ?1 ? ?2 ?2 ? ?1
式中α有解的条件是 54 ?3 ? ?2 ?2 < . ?1 ? ?2 ?2 ? ?1 54?1?3 ? < . 2 即 ?1 ? 53?3 Ⅲ、{1}、{2-54}同步动(向右) 设同步加速度为a. 则要求

?2

F0 f1 f1

v

界面0

2

1

54

f 54 F0 ? ?1 N .

f 54

54

Fj ? ?2 ( N ? jmg ). F54 ? ?3 ( N ? 54mg ).

F0>F54
F0 ? f1 ? ma
f1 ? F54 ? 53ma

? ?>

54?3 . ?1 ? ?3

? 53F0 ? F54 ? 54 f1 ? 54F1

? ? (53?1 ? 54?2 ? ?3 ) ? 54(?2 ? ?3 )

54?3 ?> . ?1 ? ?3

当 (53?1 ? 54?2 ? ?3 ) ? 0, 即 ?2 ?

? (53?1 ? 54?2 ? ?3 ) ? 54(?2 ? ?3 ) ?
54 ?3 结合 ? > 考虑: ?1 ? ?3

? 可取任意值;

53?1 ? ?3 时, 54 53?1 ? ?3 时, 54

< 当( 53?1 ? 54?2 ? ?)>, 0 即 ?2 3 54( ?2 ? ?3 ) ?? . 53?1 ? 54?2 ? ?3

54?3 (一)若?2 ? 53?1 ? ?3, 则取 ? > ; ?1 ? ?3 54 54?3 54( ?2 ? ?3 ) 53? ? ?3 <? ? , < 1 , 则取 (二) 若?2 ? ? ? 53 ? ? 54 ? ? ? 54 1 3 1 2 3 54?3 54( ?2 ? ?3 ) 54?1?3 < , 即 ?2 > . ? 1 ? ?3 53?1 ? 54?2 ? ?3 ?1 ? 53?3

此要求

于是要求

54?1?3 53? ? ?3 <?2 < 1 , 这要求 ?1 ? 53?3 54

54 ?1?3 53?1 ? ?3 < , ?1 ? 53?3 54

而此式的成立易证. 所以,若
54?1?3 53? ? ?3 54?3 54( ?2 ? ?3 ) <?2 < 1 , 则取 <? ? . ?1 ? 53?3 54 ? 1 ? ?3 53?1 ? 54?2 ? ?3

Ⅳ、{1}大动、{2-54}小动: 设{1}的加速度为a1, {2-54}加速度为a2, 则要求
F0 >F1
?

第1张牌 2
F0 ? ?1 N .

a1

F0

v

界面0

F1 F1
a2

1

F0 ? F1 ? ma1
F1 ? F54 ? 53ma2 a1 > a2

? ?> 2 , ?1 ? ? 2

? 53F0 ? F54 > 54 F1

Fj ? ?2 ( N ? jmg ). F54 ? ?3 ( N ? 54mg ).

54( ?2 ? ?3 ) ?> 53?1 ? 54?2 ? ?3

?

54

F54

F54

54

这首先要求 53?1 ? 54?2 ? ?3 ? 0 ? ?2 ? (一)若

?1 ? ?2 ? 故可取 ?> 2 ; ?1 ? ? 2 54?1?3 53?1 ? ?3 54( ?2 ? ?3 ) ?2 54?1?3 ? , ? > , 而前面已证明 ? ?2 若 (二) ?1 ? 53?3 54 ?1 ? ?2 53?1 ? 54?2 ? ?3 ?1 ? 53?3 54( ?2 ? ?3 ) 54?1?3 53? ? ?3 . 故当 <?2 < 1 时, 可取 ? > 53 ? ? 54 ? ? ? ?1 ? 53?3 54 1 2 3

?2

?

54( ?2 ? ?3 ) 53?1 ? 54?2 ? ?3

53?1 ? ?3 , 在此前提下α应取上述两式中的较大者. 54 54?1?3 , 而前面已证明 54?1?3 ? 53?1 ? ?3 , ? ?2 ? ?1 ? 53?3 ?1 ? 53?3 54

(3)对各种给定的μ1 >μ2 >μ3值,调控α, 至多能出现多种状态? 若取μ1 =1.05、 μ2 =1.03、 μ3 =0.5, 调控α,至多能出现多少种状态? 54 ?1?3 53?1 ? ?3 < ) 解 对(2)中的种种情况总结如下表: ( ?1 ? 53?3 54
54?1?3 , 若 ?2 ? ?1 ? 53?3 54?1?3 ? > , 若 2 ?1 ? 53?3 若?2 < 54?1?3 , ?1 ? 53?3

Ⅰ、{1}、{2-54}都不动

?1 ? ?2 54 ?3 则? ? . ?1 ? ?3


则? ?

?2

.

Ⅱ、{1}动、{2-54}不动

?1 ? ?2

?2

<? ?

54 ?3 ? ?2 . ?2 ? ?1

54?3 53?1 ? ?3 则 ? > . 若?2 ? , ?1 ? ?3 Ⅲ、{1}、{2-54}同步动 54 54?1?3 53? ? ?3 54?3 54( ?2 ? ?3 ) (向右) 若 <?2 < 1 ,则 <? ? . ?1 ? 53?3 54 ? 1 ? ?3 53?1 ? 54?2 ? ?3 ? 54?1?3 则?> 2 . 若?2 ? , ?1 ? ?2 ?1 ? 53?3 Ⅳ、{1}大动、{2-54}小动 54( ?2 ? ?3 ) 54?1?3 53? ? ?3 . 若 <?2 < 1 , 则? > 53?1 ? 54?2 ? ?3 ?1 ? 53?3 54

Ⅰ、{1}、{2-54}都不动

54 ?1?3 , ?1 ? 53?3 54?1?3 若?2 > , ?1 ? 53?3 若? 2 ? 若?2 < 54?1?3 , ?1 ? 53?3

?1 ? ?2 54 ?3 则? ? . ?1 ? ?3


则? ?

?2

.

Ⅱ、{1}动、{2-54}不动

?1 ? ?2

?2

<? ?

54 ?3 ? ?2 . ?2 ? ?1

Ⅲ、{1}、{2-54}同步动
(向右)

54 ?3 53?1 ? ?3 则? > . , ?1 ? ?3 54 54?1?3 53?1 ? ?3 54?3 54( ?2 ? ?3 ) 若 <?2 < , 则 <? ? . ?1 ? 53?3 54 ? 1 ? ?3 53?1 ? 54?2 ? ?3

若?2 ?

Ⅳ、{1}大动、{2-54}小动

?1 ? ?2 54( ?2 ? ?3 ) 54?1?3 53?1 ? ?3 . 若 <?2 < , 则? > 53?1 ? 54 ?2 ? ?3 ?1 ? 53?3 54

若?2 ?

54?1?3 , ?1 ? 53?3

则?>

?2

.

将μ2的种种取值范围与四种可能出现的状态(在适当调控α时)的对应关系画成图1: 由图可知,对各种给定的μ1 >μ2 >μ3值,调 控α,可能出现的状态最多可达3种. (对某些μ2 的取值,调控α可能仅能得到两种状态) O 图1

54?1?3 53?1 ? ?3 ? , ?1 ? 53?3 54 ?3 ?1
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

?2

对给定的一组: ?1 ? 1.05, ?2 ? 1.03, ?3 ? 0.5,

可算得:

54?1?3 ? 1.025, ?1 ? 53?3

53?1 ? ?3 ? 1.040, 54

而 ?2 (? 1.03)居于两者之间,由图可知,此时 通过调控α可得到的状态最多可达3种. 分别是: Ⅰ、 {1}、{2-54}都不动; Ⅲ、{1}、{2-54}同步动(向右); Ⅳ、{1}大动、{2-54}小动. 图1

54?1?3 53?1 ? ?3 ? , ?1 ? 53?3 54 ?3 ?1

O

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

?2

题后总结 ?要求全面地考虑问题;

?真正体现了数学作为物理工具的价值!!

证明:

(M1 ? m) f 0 f <M 1 ? 0 . 2mg ? f 0 g ( M 1 ? m) f 0 M1 f0 mf 0 ? ? . 2mg ? f 0 2mg ? f 0 2mg ? f 0

证:

而 代入上式,便有

2mg ? f0 > 2 f0 ? f0 ? f0 2mg ? f0 ? mg ? (mg ? f 0 ) >mg

( M1 ? m) f 0 M 1 f 0 mf 0 f < ? ? M1 ? 0 . 2mg ? f 0 f0 mg g

证明: 证:

54?1?3 53?1 ? ?3 < . ?1 ? 53?3 54 53?1 ? ?3 54? 1 ? 3 (53?1 ? ?3 )( ?1 ? 53?3 ) ? 54 ? 54 ?1?3 ? ? 54 ?1 ? 53?3 54( ? 1 ?53?3 )
2 2 ? 2 ? 53?1?3 53?12 ? 53?3 ? (532 ? 1) ?1?3 ? 542 ?1?3 53?12 ? 53?3 ? ? 54 (?1 ? 53?) 54( ?1 ? 53? 3 ) 3 2 53 (?1 ? ?) 3 ? >, 0 54 (?1 ? 53?) 3

所以

54?1?3 53?1 ? ?3 < . ?1 ? 53?3 54


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