当前位置:首页 >> 其它课程 >> 六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版


第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点; 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”; 4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程,利用方程解行程题. 知识精讲: 比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角 色。 从一个工具性的

知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时

s 间、路程分别用 v甲 , v乙;t甲 , t乙;s甲,乙 来表示,大体可分为以下两种情况:
1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。

? s甲 ? v甲 ? t甲 s s ,这里因为时间相同,即 t甲 ? t乙 ? t ,所以由 t甲 ? 甲 ,t乙 ? 乙 ? v甲 v乙 ? s乙 ? v乙 ? t乙
得到 t ?

s甲 s乙 s甲 v甲 ? ? , ,甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 v甲 v乙 s乙 v乙

2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2 个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。

? s甲 ? v甲 ? t甲 ,这里因为路程相同,即 s甲 ? s乙 ? s ,由 s甲 ? v甲 ? t甲,s乙 ? v乙 ? t乙 ? ? s乙 ? v乙 ? t乙
得 s ? v甲 ? t甲 ? v乙 ? t乙 ,

v甲 t乙 ? ,甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 v乙 t甲

行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括 公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推 知需要的条件; ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中, 为了明确过程, 常用示意图作为辅助工具. 示意图包括线段图和折线图. 图 示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析 往往也是最有效的解题方法; ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一 些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能 用比例解题; ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,

在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来; ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知 数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解. 例题精讲:

模块一、时间相同速度比等于路程比
【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比是 4 : 3,二人相遇后 继续行进,甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回,已知二人第二次相遇的地点距第 一次相遇的地点 30 千米,则 A、 B 两地相距多少千米? 【解析】 两个人同时出发相向而行,相遇时时间相等,路程比等于速度之比,即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3.第一次相遇时甲走了全程的 4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程,三

4 5 5 4 2 与第一次相遇地点的距离为 ? (1 ? ) ? 个全程. 所以 A、 ? 3 ? 1 个全程, 7 7 7 7 7 2 B 两地相距 30 ? ? 105 (千米). 7
个全程中甲走了 【例 2】 B 地在 A,C 两地之间.甲从 B 地到 A 地去送信,甲出发 10 分后,乙从 B 地出发到 C 地去送 另一封信,乙出发后 10 分,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从 B 地出发骑车去 追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的 3 倍,丙从 出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。 【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下:

A

10分钟

10分钟

B
10分钟

C

因为丙的速度是甲、乙的 3 倍,分步讨论如下: (1) 若丙先去追及乙,因时间相同丙的速度是乙的 3 倍,比乙多走两倍乙走需要 10 分钟,所 以丙用时间为:10÷ (3-1)=5(分钟)此时拿上乙拿错的信

A

10分钟

10分钟

B
5分钟 10分钟 5分钟

C

当丙再回到 B 点用 5 分钟,此时甲已经距 B 地有 10+10+5+5=30(分钟) ,同理丙追 及时间为 30÷ (3-1)=15(分钟) ,此时给甲应该送的信,换回乙应该送的信 在给乙送信,此时乙已经距 B 地:10+5+5+15+15=50(分钟) , 此时追及乙需要:50÷ (3-1)=25(分钟) ,返回 B 地需要 25 分钟 所以共需要时间为 5+5+15+15+25+25=90(分钟) (2) 同理先追及甲需要时间为 120 分钟 【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从 A 、 B 两点出发,甲每分钟行 80 米,乙每分钟行 60 米,出发一段时间后,两人在距中点的 C 处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟, 两人将在距中点的 D 处相遇,且中点距 C 、 D 距离相等,问 A 、 B 两点相距多少米?

【分析】 甲、乙两人速度比为 80 : 60 ? 4 : 3 ,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,相遇时甲走了 4 3 全程的 ,乙走了全程的 .第二次甲停留,乙没有停留,且前后两次相遇地点距离中点相等, 7 7 4 3 所以第二次乙行了全程的 ,甲行了全程的 .由于甲、乙速度比为 4 : 3 ,根据时间一定,路程 7 7 3 3 4 3 3 1 比等于速度之比,所以甲行走期间乙走了 ? ,所以甲停留期间乙行了 ? ? ? ,所以 A 、 7 4 7 7 4 4 1 B 两点的距离为 60 ? 7 ? =1680 (米). 4 【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度之比是 5 : 4,相 遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千 米.那么 A、B 两地相距多少千米? 【解析】 两车相遇时甲走了全程的

5 4 ,乙走了全程的 ,之后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%, 9 9

此时甲、乙的速度比为 5 ? (1? 20%) : 4 (1 20%) 5 : 6,所以甲到达 B 地时,乙又走了 ? ? ?

4 6 8 5 8 1 1 ,所以 A、 B 两地的距离为 10 ? ? ? ,距离 A 地 ? ? ? 450 (千米). 9 5 15 9 15 45 45
【例 5】 早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往乙地.下午 2 点 时两人之间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米.下午 4 点时小 王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨几点出发? 【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下午 3 点时, 两人之间的距离还是 l5 千米,所以下午 2 点时小王距小张 15 千米,下午 3 点时小王超过小 张 15 千米,可知两人的速度差是每小时 30 千米.由下午 3 点开始计算,小王再有 1 小时就 可走完全程,在这 1 小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时走了 15 30 45? ? 千 米,故小张的速度是 45 ÷ =15 千米/时,小王的速度是 15 +30 =45 千米/时.全程是 45 × =135 3 3 千米,小张走完全程用了 135 +15= 9 小时,所以他是上午 10 点出发的。 【例 6】 从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡 路的距离相等。 陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时, 其中第一小时比第二小时多走 15 千米, 第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米,走下坡路 比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米? 【解析】 ⑴由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确,所以需要先予以确定. 从甲地到乙地共用 3 小时,如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路,也就是说走上坡路的路 程不需要 1 小时,那么由于下坡路与上坡路距离相等,而下坡速度更快,所以下坡更用不了 1 小 时,这说明第一小时既走完了下坡路,又走了一段平路,而第二小时则是全在走平路.这样的话, 由于下坡速度大于平路速度,所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程,而这个 路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程)多走 15 千米, 所以这样的话第一 小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米,不合题意,所以假设不成立,即第三小 时全部在走上坡路. 如果第一小时全部在走下坡路,那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路,这样第二小时 走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程,而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的 少于 15 千米,也不合题意,所以假设也不成立,故第一小时已走完下坡路,还走了一段平路. 所以整个行程为:第一小时已走完下坡路,还走了一段平路;第二小时走完平路,还走了一段上 坡路;第三小时全部在走上坡路. ⑵由于第二小时比第三小时多走 25 千米,而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米.所以第

二小时内用在走平路上的时间为 25 ? 30 ?

5 1 小时,其余的 小时在走上坡路; 6 6

因为第一小时比第二小时多走了 15 千米, 而

1 1 小时的下坡路比上坡路要多走 ? 30 ? 15? ? ? 7.5 千 6 6
1 小时,所以在第一小时中,有 2

米,那么第一小时余下的下坡路所用的时间为 ?15 ? 7.5? ? 15 ?

1 1 1 2 ? ? 小时是在下坡路上走的,剩余的 小时是在平路上走的. 2 6 3 3 2 1 5 7 1 7 因此,陈明走下坡路用了 小时,走平路用了 ? ? 小时,走上坡路用了 1 ? ? 小时. 3 6 6 6 6 3
2 7 ⑶因为下坡路与上坡路的距离相等,所以上坡路与下坡路的速度比是 : ? 4 : 7 .那么下坡路的 3 6

速度为 ? 30 ? 15? ?

7 ? 105 千米/时,平路的速度是每小时 105 ? 15 ? 90 千米,上坡路的速度是每 7?4

小时 90 ? 30 ? 60 千米.
2 7 7 那么甲、乙两地相距 105 ? ? 90 ? ? 60 ? ? 245 (千米). 3 6 6

模块二、路程相同速度比等于时间的反比
【例 7】 甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地,经过 3 小时,甲先到 B 地,乙还需要 1 小时到达 B 地,此 时甲、乙共行了 35 千米.求 A , B 两地间的距离. 【分析】 甲用 3 小时行完全程,而乙需要 4 小时,说明两人的速度之比为 4 : 3 ,那么在 3 小时内的路程之 4 比也是 4 : 3 ;又两人路程之和为 35 千米,所以甲所走的路程为 35 ? ? 20 千米,即 A , B 两 3? 4 地间的距离为 20 千米. 【例 8】 在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,再过 4 分甲到 达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?

【解析】 由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.(抓住走同一段路程时间或速度的比例关系) 从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以 甲环行一周需 12+8=20(分) ,乙需 20÷ 6=30(分). 4× 【例 9】 上午 8 点整,甲从 A 地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相 遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自 的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分. 【解析】 甲、 乙相遇时甲走了 20 分钟, 之后甲的速度提高到原来的 3 倍, 又走了 10 分钟到达目的地, 根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走 10×3= 30 分钟, 所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3, 由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟, 所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟,也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟,所以乙从 B 地出发时 是 8 点 5 分.

【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上 学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的 1.6 倍,那么上坡的速度是平路速 度的多少倍? 【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是 1.由于下坡路与一半平路的长度相 5 同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是 1 ? 1.6 ? ,因此,走上坡路 5 11 8 为 11 需要的时间是 2 ? ? , 那么, 8 上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比, 1: 8 ? 8 :11 , 8 8 所以,上坡速度是平路速度的 倍.

11

3 【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地,每分钟行 750 米,预计 50 分钟到达.但汽车行驶到路程的 时,出 5 了故障,用 5 分钟修理完毕,如果仍需在预定时间内到达乙地,汽车行驶余下的路程时,每分 钟必须比原来快多少米? 3 3 3 【分析】 当以原速行驶到全程的 时,总时间也用了 ,所以还剩下 50 ? (1 ? ) ? 20 分钟的路程;修理完 5 5 5 毕时还剩下 20 ? 5 ? 15 分钟,在剩下的这段路程上,预计时间与实际时间之比为 20 :15 ? 4 : 3 ,根 据路程一定,速度比等于时间的反比,实际的速度与预定的速度之比也为 4 : 3 ,因此每分钟应比 4 原来快 750 ? ? 750 ? 250 米. 3 小结: 本题也可先求出相应的路程和时间, 再采用公式求出相应的速度, 最后计算比原来快多少, 但不如采用比例法简便.
3 4

【例 12】 ( 2008“我爱数学夏令营” 数学竞赛)一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时, 然后以原速的

前进,最终到达目的地晚 1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里因故停车 0.5 小时,然后同样
3 前进,则到达目的地仅晚 1 小时,那么整个路程为________公里. 4 3 【解析】 如果火车出发 1 小时后不停车,然后以原速的 前进,最终到达目的地晚 1.5 ? 0.5 ? 1 小时,在一 4 小时以后的那段路程,原计划所花的时间与实际所花的时间之比为 3: 4 ,所以原计划要花 1 ? ? 4 ? 3? ? 3 ? 3 小时,现在要花 1 ? ? 4 ? 3? ? 4 ? 4 小时,若出发 1 小时后又前进 90 公里不停车,然

以原速的

3 前进,则到达目的地仅晚 1 ? 0.5 ? 0.5 小时,在一小时以后的那段路程,原计划 4 所花的时间与实际所花的时间之比为 3: 4 ,所以原计划要花 0.5 ? ? 4 ? 3? ? 3 ? 1.5 小时,现在要花

后同样以原速的

0.5 ? ? 4 ? 3? ? 4 ? 2 小时. 所以按照原计划 90 公里的路程火车要用 3 ? 1.5 ? 1.5 小时, 所以火车的原

速度为 90 ? 1.5 ? 60 千米/小时,整个路程为 60 ? ? 3 ? 1? ? 240 千米. 【例 13】 王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了 1/9,结果提前一个半小 时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高 1/6,于是提前 1 小时 40 分 到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米? 【解析】 从开始出发,车速即比原计划的速度提高了 1/9,即车速为原计划的 10/9,则所用时间为原计划 的 1÷ 10/9=9/10,即比原计划少用 1/10 的时间,所以一个半小时等于原计划时间的 1/10,原计划 时间为:1.5÷ 1/10=15(小时);按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高 1/6,即此后车速为 原来的 7/6,则此后所用时间为原计划的 1÷ 7/6=6/7,即此后比原计划少用 1/7 的时间,所以 1 小 时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7,则按原计划的速度行驶 280 千 米后余下的时间为: 5/3÷ 1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:84 × 15= 1260(千米). 【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达.如果按原速行驶一段距离

后,再将速度提高 30% ,也可以提前 1 小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几? 【解析】 车速提高 20%, 即为原速度的 6/5, 那么所用时间为原来的 5/6, 所以原定时间为 1 ? (1 ? ) ? 6 小 时;如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ,此时速度为原速度的 13/10,所用时间为原来的 10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为 1 ? (1 ? 的时间为 6 ? 4

5 6

10 1 ) ? 4 小时.所以前面按原速度行使 13 3

1 5 ? 小时,根据速度一定,路程比等于时间之比,按原速行驶了全部路程的 3 3

5 5 ?6 ? 3 18
【例 15】 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20% ,可以比原定时间提前 1 小时到达;如果以原速行 驶 120 千米后,再将车速提高 25% ,则可以提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米? 【分析】 车速提高 20% ,速度比为 5: 6 ,路程一定的情况下,时间比应为 6 : 5 ,所以以原速度行完全程的 6?5 时间为 1 ? ? 6 小时. 6 以原速行驶 120 千米后,以后一段路程为考察对象,车速提高 25% ,速度比为 4 : 5 ,所用时间比 40 5 ? 4 10 应为 5: 4 ,提前 40 分钟到达,则用原速度行驶完这一段路程需要 ? ? 小时,所以以原 60 5 3 10 8 8 速行驶 120 千米所用的时间为 6 ? ? 小时,甲、乙两地的距离为 120 ? ? 6 ? 270 千米. 3 3 3 【例 16】 甲火车 4 分钟行进的路程等于乙火车 5 分钟行进的路程.乙火车上午 8 : 00 从 B 站开往 A 站,开 出若干分钟后,甲火车从 A 站出发开往 B 站.上午 9 : 00 两列火车相遇,相遇的地点离 A 、 B 两 站的距离的比是 15:16 .甲火车从 A 站发车的时间是几点几分? [分析]甲、乙火车的速度比已知,所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火车单 独行驶的距离与总路程的比. 根据题意可知,甲、乙两车的速度比为 5: 4 . 从甲火车出发算起,到相遇时两车走的路程之比为 5: 4 ? 15:12 ,而相遇点距 A 、 B 两站的距离的 比是 15 :16 .说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车 1 个小时所走路程的 1 也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一, 也就是 15 分钟. 所以甲火车从 A ?16 ? 12? ? 16 ? . 4 站发车的时间是 8 点 15 分.

模块三、比例综合题
【例 17】 小狗和小猴参加的 100 米预赛.结果,当小狗跑到终点时,小猴才跑到 90 米处,决赛时,自作 聪明的小猴突然提出:小狗天生跑得快,我们站在同一起跑线上不公平,我提议把小狗的起跑 线往后挪 10 米.小狗同意了,小猴乐滋滋的想: “这样我和小狗就同时到达终点了! ”亲爱的小 朋友,你说小猴会如愿以偿吗? 【解析】 小猴不会如愿以偿. 第一次, 小狗跑了 100 米, 小猴跑了 90 米, 所以它们的速度比为 100: 90 ? 10: 9 ; 9 那么把小狗的起跑线往后挪 10 米后, 小狗要跑 110 米, 当小狗跑到终点时, 小猴跑了 110 ? ? 99 10 米,离终点还差 1 米,所以它还是比小狗晚到达终点. 【例 18】 甲、 乙两人同时从 A 地出发到 B 地, 经过 3 小时, 甲先到 B 地, 乙还需要 1 小时到达 B 地, 此时甲、乙共行了 35 千米.求 A, B 两地间的距离. 【解析】 甲、乙两个人同时从 A 地到 B 地,所经过的路程是固定 所需要的时间为:甲 3 个小时,乙 4 个小时(3+1)

两个人速度比为:甲:乙=4:3 当两个人在相同时间内共行 35 千米时,相当与甲走 4 份,已走 3 份, 所以甲走:35÷ (4+3)× 4=20(千米) ,所以,A、B 两地间距离为 20 千米 【例 19】 A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市. 开车后 1 小时 A 车出了事故,B 和 C 车 4 照常前进.A 车停了半小时后以原速度的 继续前进.B 、C 两车行至距离甲市 200 千米时 B 车 5 出了事故, 车照常前进.B 车停了半小时后也以原速度的 C
4 继续前进. 结果到达乙市的时间 C 5

车比 B 车早 1 小时, B 车比 A 车早 1 小时,甲、乙两市的距离为

千米.

【分析】如果 A 车没有停半小时,它将比 C 车晚到 1.5 小时,因为 A 车后来的速度是 C 车的

4 ,即两车行 5 5 小时的路 A 车比 C 车慢 1 小时, 所以慢 1.5 小时说明 A 车后来行了 5 ?1.5 ? 7.5 小时. 从甲市到乙市 车要行 1 ? 7.5 ? 1.5 ? 7 小时. 同理,如果 B 车没有停半小时,它将比 C 车晚到 0.5 小时,说明 B 车后来行了 5 ? 0.5 ? 2.5 小时, 2 这段路 C 车需行 2.5 ? 0.5 ? 2 小时,也就是说这段路是甲、乙两市距离的 . 7 ? 2? 故甲、乙两市距离为 200 ? ?1 ? ? ? 280 (千米). ? 7?

【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游,甲出发后 1 小时,乙从同地同路同向出发,步行 2 小时到达甲于 45 分 钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行 500 米,经过 3 小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行 多少米? [分析]根据题意,乙加速之前步行 2 小时的路程等于甲步行 2.25 小时的路程,所以甲、乙的速度之比为 2 : 2.25 ? 8: 9 ,乙的速度是甲的速度的 1.125 倍; 乙加速之后步行 3 小时的路程等于甲步行 3.75 小时的路程,所以加速后甲、乙的速度比为 3: 3.75 ? 4 : 5 .加速后乙的速度是甲的速度的 1.25 倍; 由于乙加速后每小时多走 500 米,所以甲的速度为 500 ? ?1.25 ? 1.125? ? 4000 米/小时. 【例 21】 甲、乙两人分别骑车从 A 地同时同向出发,甲骑自行车,乙骑三轮车.12 分钟后丙也骑车从 A 地出发去追甲.丙追上甲后立即按原速沿原路返回,掉头行了 3 千米时又遇到乙.已知乙的速 度是每小时 7.5 千米,丙的速度是乙的 2 倍.那么甲的速度是多少?
丙 甲 B 3 乙 A D E 3 C

[分析] 丙的速度为 7.5 ? 2 ? 15 千米/小时,丙比甲、乙晚出发 12 分钟,相当于退后了 15 ?

12 ? 3 千米后 60

与甲、乙同时出发. 如图所示,相当于甲、乙从 A ,丙从 B 同时出发,丙在 C 处追上甲,此时乙走到 D 处,然后丙掉 头走了 3 千米在 E 处和乙相遇. 从丙返回到遇见乙,丙走了 3 千米,所以乙走了 3 ? 2 ? 1.5 千米,故 CD 为 4.5 千米.那么,在从 出发到丙追上甲这段时间内,丙一共比乙多走了 3 ? 4.5 ? 7.5 千米,由于丙的速度是乙的速度的 2 倍,因此,丙追上甲时,乙走了 7.5 千米,丙走了 15 千米,恰好用 1 个小时;而此时甲走了 7.5 ? 4.5 ? 12 千米,因此速度为 12 ?1 ? 12 (千米/小时). 【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山 速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当

乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时? 【解析】 甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲恰好到半山腰, 说明甲走过的路程应该是一个单程的 1× 1.5+1/2=2 倍, 就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了 1 小时,所以甲下 山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5(小时) 【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗,站在桥中心以西 5 米处.一列火车以每小时 84 千米的速度 从西边开过来,车头距西桥头三个桥长的距离.若小狗向西迎着火车跑,恰好能在火车距西桥 头 3 米时逃离铁路桥;若小狗以同样的速度向东跑,小狗会在距东桥头 0.5 米处被火车追上.问 铁路桥长多少米,小狗的速度为每小时多少千米? 【分析】设铁路桥长为 x 米. x 在小狗向西跑的情况下:小狗跑的路程为 ( ? 5) 米,火车走的路程为 (3x ? 3) 米; 2 x x 在小狗向东跑的情况下: 小狗跑的路程为 ( ? 5 ? 0.5) ? ( ? 4.5) 米, 火车走的路程为 (4 x ? 0.5) 米; 2 2 x x 两种情况合起来看,在相同的时间内,小狗一共跑了 ( ? 5) ? ( ? 4.5) ? ( x ? 0.5) 米,火车一共走 2 2 了 (3x ? 3) ? (4x ? 0.5) ? (7 x ? 3.5) 米; 因 为 ( 7x ? 3 . 5) ( x ? 0.5) 的 7 倍 , 所 以 火 车 速 度 是 小 狗 速 度 的 7 倍 , 所 以 小 狗 的 速 度 为 是 84 ? 7 ? 12 (千米/时); x 因为火车速度为小狗速度的 7 倍,所以 (3x ? 3) ? 7 ? ( ? 5) ,解此方程得: x ? 64 . 2 所以铁路桥全长为 64 米,小狗的速度为每小时 12 千米. 【例 24】 如图, 8 点 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A 、 B 两地顺时针方向沿长方 形 ABCD 的边走向 D 点,甲 8 点 20 分到 D 后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发,丙由 D 向 A 走去,8 点 24 分与乙在 E 点相遇,丁由 D 向 C 走去,8 点 30 分在 F 点被乙追上,则连接三 角形 BEF 的面积为 平方米.

A

D

A 甲

E

丙 D

B

C

乙 B

F C

【分析】如图,由题意知,丙从 D 到 E 用 4 分钟,丁从 D 到 F 用 10 分钟,乙从 E 经 D 到 F 用 6 分钟,说 7 明甲、乙速度是丙、丁速度的 ? 4 ? 10 ? ? 6 ? 倍.因为甲走 AD 用 10 分钟,所以丙走 AD 要用 3 7 70 70 58 (分钟),走 AE 用 ? 4 ? (分钟). 10 ? ? 3 3 3 3 7 58 40 因为乙走 ? BA ? AE ? 用 14 分钟,所以丙走 AB 用 14 ? ? (分钟). ? 3 3 3 40 9 因为 AB 长 60 米,所以丙每分钟走 60 ? ? (米).于是求出 3 2 9 58 9 AE ? ? ? 87 (米), ED ? ? 4 ? 18 (米), BC ? AE ? ED ? 87 ? 18 ? 105 (米). 2 3 2 S?BEF ? S矩形ABCD ? S?BAE ? S?EDF ? S?FCB ? 60 ?105 ? 60 ? 87 ? 2 ? 18 ? 45 ? 2 ? 15 ?105 ? 2

? 6300 ? 2610 ? 405 ? 787.5 ? 2497.5 (平方米).

【例 25】 如图,长方形的长 AD 与宽 AB 的比为 5: 3 , E 、 F 为 AB 边上的三等分点,某时刻,甲从 A 点 出发沿长方形逆时针运动,与此同时,乙、丙分别从 E 、 F 出发沿长方形顺时针运动.甲、乙、 丙三人的速度比为 4 : 3: 5 .他们出发后 12 分钟,三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中 最大的三角形,那么再过多少分钟,三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形?
A E F B C D

[分析]长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半,这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重 合,并且另一个点恰好在该长方形边的对边上. 所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况. 将长方形的宽 3 等分,长 5 等分后,将长方形的周长分割成 16 段,设甲走 4 段所用的时间为 1 个单 位时间,那么一个单位时间内,乙、丙分别走 3 段、 5 段,由于 4 、 3 、 5 两两互质,所以在非整 数单位时间的时候,甲、乙、丙三人最多也只能有 1 个人走了整数段.所以我们只要考虑在整数 单位时间,三个人运到到顶点的情况. 对于甲的运动进行讨论: 时间(单位时间) 2 …… 6 8 10 16 4 12 14 地点 C C C C C A A A 对于乙的运动进行讨论: 时间(单位时间) 2 …… 3 10 18 19 26 27 11 地点 C C B A B A D D 对于丙的运动进行讨论: 时间(单位时间) 2 …… 3 10 18 19 26 27 11 地点 C C B A B A D D 需要检验的时间点有 2 、 3 、 10 、 11 、…… 2 个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件. 3 个单位时间的时候甲在 AD 上,三人第一次构成最大三角形.所以一个单位时间相当于 4 分钟. 10 个单位时间的时候甲、乙、丙分别在 C 、 B 、 A 的位置第二次构成最大三角形. 所以再过 40 分钟.三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形? 课后作业 练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发,在 A、B 之间不断往返行驶,已知甲车的速度是乙车的速 度的

3 ,并且甲、乙两车第 2007 次相遇(这里特指面对面的相遇)的地点与第 2008 次相遇的 7

地点恰好相距 120 千米,那么,A、B 两地之间的距离等于多少 千米? 【解析】 甲、乙速度之比是 3:7,所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份,这样一个全程中甲走 3 份, 第 2007 次相遇时甲总共走了 3×(2007× 2-1)=12039 份,第 2008 次相遇时甲总共走了 3× (2008× 2-1)=12045 份,所以总长为 120÷ [12045-12040-(12040-12039)]× 10=300 米. 练习2. 甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度之比是 3: 2 ,他们第一次 相遇后甲的速度提高了 20% , 乙的速度提高了 30% , 这样, 当甲到达 B 地时, 乙离 A 地还有 14 千 米,那么 A 、 B 两地的距离是多少千米? 【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同,所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为 3: 2 , 相遇后,甲、乙两人的速度比为 ?3 ? ?1 ? 20% ? ? : ? 2 ? ?1 ? 30% ?? ? 3.6 : 2.6 ? 18 :13 ;到达 B 地时, ? ? ? ? 即甲又行了 2 份的路程,这时乙行的路程和甲行的路程比是 18 :13 ,即乙的路程为 2 ?
13 4 ? 1 .乙 18 9

4 5 从相遇后到达 A 还要行 3 份的路程,还剩下 3 ? 1 ? 1 (份),正好还剩下 14 千米,所以 1 份这样 9 9 5 的路程是 14 ? 1 ? 9 (千米). 9 A 、 B 两地有这样的 3 ? 2 ? 5 (份),因此 A 、 B 两地的总路程为: 9 ? ? 3 ? 2 ? ? 45 (千米).

练习3. 小明和小刚进行 100 米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变).当小刚跑了 90 米时,小明距离终 点还有 25 米,那么,当小刚到达终点时,小明距离终点还有多少米? 【分析】当小刚跑了 90 米时,小明跑了 100 ? 25 ? 75 米,在相同时间里,两人的速度之比等于相应的路程 之比,为 90 : 75 ? 6 : 5 ;在小刚跑完剩下的 100 ? 90 ? 10 米时,两人经过的时间相同,所以两人的 5 25 路 程 之 比 等 于 相 应 的 速 度 之 比 6 : 5 , 则 可 知 小 明 这 段 时 间 内 跑 了 10 ? ? 米,还剩下 6 3 25 50 2 25 ? ? ? 16 米. 3 3 3 练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶,3 小时后客车到达甲地,货车离乙地还有 22 千米,已知货车与客车的速度比为 5: 6 ,甲、乙两地相距多少千米? 【分析】 货 车 与 客 车 速 度 比 5: 6 , 相 同 时 间 内 所 行 路 程 的 比 也 为 5: 6 , 那 么 客 车 走 的 路 程 为 6?5 22 ? ? 132 (千米),为全程的一半,所以全程是 132 ? 2 ? 264 (千米). 6 练习5. 甲、乙两人从 A , B 两地同时出发,相向而行.甲走到全程的
5 的地方与乙相遇.已知甲每小 11

1 时走 4.5 千米,乙每小时走全程的 .求 A , B 之间的路程. 3 【分析】 相同的时间内,甲、乙路程之比为 5 : ?11 ? 5? ? 5 : 6 ,因此甲、乙的速度比也为 5: 6 ,所以乙的速

度为 4.5 ?

6 1 ? 5.4 千米/时.两地之间的路程为: 5.4 ? 1 ? ? 16.2 千米. 5 3


更多相关文档:

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版_学科竞赛...

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区。第八讲...v乙 t甲 行程问题常用的解题方法有 ⑴ 公式法 ⑵ 图示法 在一些复杂的行程...

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版 2

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版 2_学科竞赛_小学教育_教育专区。第...第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题...

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区。第八讲 行程问题(二) 知识精讲: 比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义...

2013-12-08-六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版-7页

2013-12-08-六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版-7页_学科竞赛_小学教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 ...

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版 2

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版 2_学科竞赛_小学教育_教育专区...15 ? 1 小时,所以在第一小时中,有 2 1 1 1 2 ? ? 小时是在下坡路上...

六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点; 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、 ...

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区。第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键...

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版

第八讲 行程问题(二) 教学目标: 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点; 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、 ...

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版

六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。六年级奥数-第八讲[1].行程问题(二).教师版第...
更多相关标签:
六年级奥数行程问题 | 六年级奥数行程 | 六年级奥数教师版 | 小学奥数行程问题 | 奥数行程问题 | 四年级奥数行程问题 | 五年级奥数行程问题 | 奥数行程问题50例详解 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com