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2014届高考一轮复习数学10.11变量间的相关关系与统计案例


第 11 讲 变量间的相关关系与统 计案例

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考纲展示
1.会作两个有关联变量的数据的散点 图, 会利用散点图认识变量间的相关关 系. 2.了解最小二乘法的思想, 能根据给出 的线性回归方程系数公式建立线性回 归方程( 线性回归方程系数公式不要求 记忆) . 3.了解回归分析的基本思想、方法及

其简单应用. 4. 了解独立性检验( 只要求 2× 列联表) 2 的基本思想、方法及其初步应用.

考纲解读
1.从近几年高考试题来看,高考对此 部分内容的考查在部分地区呈上升 趋势. 2.高考考查中仍以客观题为主,但部 分省份开始考查解答题, 多属容易题, 考查基本思想与概念理解的应用. 3.对于回归分析及回归直线方程的 求法, 复习时要注意对回归直线过定 点的特征的把握. 4.对于统计案例中的独立性检验要 注意表格的建立及求解, 特别要注意 “ 卡方” 的几个特征值的分界及应用.

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1.两个变量的线性相关 线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个 变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.

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2.回归方程与回归分析 (1)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方 法叫做最小二乘法. (2)回归方程 方程 = x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中 , 是待定参数,其最小二乘估计分

^

^ ^

^^

^
别为:

=

=1

∑ ( -)( -)
=1



∑ ( -)



2

=

=1

∑ -n
2 ∑ 2 -n =1



,

^

= - .
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^

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 方法,只有在散点图大致呈线性关系时,求出的回归直线方程才有实际意 义,否则,求出的回归直线方程毫无意义. (2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的,存 在误差,这种误差会导致预报结果的偏差,而且回归方程只适用于我们所 研究的样本总体. (3)回归方程一定过定点(, ),这在很多题目中可以直接判断回归方 程.

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3.相关系数 当 r>0 时,表明两个变量正相关; 当 r<0 时,表明两个变量负相关. |r|越接近于 1 时,表明两个变量的线性相关性越强;|r|越接近于 0 时,表 明两个变量之间几乎不存在线性相关关系;通常|r|大于 0.75 时,认为两个变 量有很强的线性相关关系.

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4.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分 类变量. (2)列联表:列出的两个分类变量的频数表,称为列联表,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联 表) 2×2 列联表
y1 x1 x2 总计 a c a+c
2

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

构造一个随机变量 K

2

(- ) = ,其中 n=a+b+c+d (+)( +)(+ )(+)

为样本容量.

(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.
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1.有五组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩; ③某人每日吸烟量和身体健康情况; ④圆的半径与面积; ⑤汽车的重量和每千米耗油量. 其中两个变量成正相关的是( ) A.①③ B.②④ C.②⑤ D.④⑤ 【答案】C 【解析】由变量的相关关系的概念知,②⑤是正相关,①③是负相关,④为函 数关系,故选 C.
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2.下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的线性回归方程 = x+必过 点( )
x y 0 1 1 3 2 5 3 7

^

^ ^

A.(2,2) C.(1,2) 【答案】D

B.(1.5,2) D.(1.5,4)
0+1+2+3 =1.5, 4

【解析】由题意知线性回归方程必过点(, ),可求得 =
1+3+5+7 4

=

=4,

所以线性回归方程必过点(1.5,4).
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3.下面是一个 2×2 列联表
y1 x1 x2 总计 a 2 b y2 21 25 46 总计 73 27

则表中 a,b 处的值分别为( ) A.94,96 B.52,50 C.52,54 D.54,52 【答案】C 【解析】∵ a+21=73,∴ a=52.又 a+2=b,∴ b=54.

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4.据两个变量 x,y 之间的观测数据画成散点图如图,这两个变量是否具有线 性相关关系? (填“是”或“否”).

【答案】否

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5.为了考查长头发与女性头晕是否有关系,随机抽查 301 名女性,得到如下 列联表,试根据表格中已有数据填空.
经常头晕 长发 短发 合计 35 37 72 很少头晕 ① 143 ③ 合计 121 ② ④

则空格中的数据应分别为:① ;③ ;④

;② .

【答案】①86 ②180 ③229 ④301 【解析】最右侧的合计是对应的行上的两个数据的和,由此可求出①和②; 而最下面的合计是相应的列上两个数据的和,由刚才的结果可求得③④.

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T 题型一根 据散点图判断两个变量的相关性
例 1 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下:
年龄(岁) 身高(cm) 1 78 2 87 3 98 4 108 5 115 6 120

画出散点图,并判断它们是否具有相关关系. 用 x 轴表示年龄,y 轴表示身高,逐一描出各组值对应的点, 观察这些点是否在一条直线附近.

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【解】散点图如下.

由散点图可清楚地看到,在一定的范围内,这个男孩的年龄与身高具有 明显的正相关关系,即该男孩的身高随着年龄的增大而增大.

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判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点 图,根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关关系,是不是线性 相关关系,是正相关还是负相关,相关关系强还是弱.

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1.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图(1);对变量 u,v 有观 测数据(u i,vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )

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A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 【答案】C 【解析】本题考查相关关系的正相关和负相关.夹在带状区域内的点, 总体呈上升趋势的属于正相关,总体呈下降趋势的属于负相关.由这两个散 点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C.

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T 题型二线 性回归分析
例 2(2012·福建卷,18)某工厂为了对新研发的一种产品进行 合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

(1)求回归直线方程=bx+a,其中 b=-20,a=-b; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品 的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利 润=销售收入-成本)
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^

【解】(1)由于 = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,
6

1

= (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80,
6

1

所以 a=-b=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1000 =-20
33 2 +361.25, 4

^

当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
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线性回归方程 (1)关键是求回归系数 , ,其中可借助于计算器完成. (2)回归直线一定过点(, ). 求线性回归方程的步骤 2 (1)先把数据制成表,从表中计算出, , 1 +
2 2 2 +…+ ,x1y1+x2y2+…+xnyn 的值;

^^

^

(2)计算回归系数 , ; (3)写出线性回线方程 = x+.

^^

^

^ ^

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2.假定小麦基本亩数x(单位:亩)与成熟期有效穗y(单位:十万)之间存在 相关关系,今测得 5 组数据如下:
x y 15.0 39.4 25.8 42.9 30.0 42.9 36.6 43.1 44.4 49.2

(1)以 x 为解释变量,y 为预报变量,作出散点图; (2)求 y 与 x 之间的回归方程; (3)估计 100 亩此类型小麦的成熟期有效穗数.

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【解】(1)散点图如下图所示:

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(2)由图看出,样本点呈条状分布,有比较好的线性相关关系,因此可以 用线性回归方程刻画它们之间的关系. 设回归方程为 = x+, =30.36,=43.5,
=1 2

^
5

^ ^

∑ 2=5101.56, =1320.66,
5

5

=921.7296, ∑ xiyi=6746.76.
=1

由 =

^

=1

∑ ( -)( -)
=1

∑ ( -)

5

2

=

=1 5

∑ -5
=1

5

∑ 2 -5

2

≈0.291,

^

= ? ≈34.665. 故所求的回归直线方程为=34.665+0.291x.
(3)当 x=100 时,y=34.665+29.1=63.765. ∴ 亩此类型的小麦的成熟期有效穗数为 63.765 十万. 100
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^

^

T 题型三独 立性检验
例 3 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视 情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查 结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知 “体育迷”中有 10 名女性.
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(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体 育迷”与性别有关?
非体育迷 男 女 合计 体育迷 合计

(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知 “超级体育迷”中有 2 名女性.若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 附:K
2

(-) = . (+)( +)(+)(+)

2

P(χ2≥k) 0.05 k 3.841

0.01 6.635
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【解】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”为 25 人,从 而完成 2×2 列联表如下:
非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K 的观测值 k=
2

100×(30×10-45×15) 45×55×75×25

2

=

100 33

≈3.030.

因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.

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(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而所有的基本事件 为(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 2,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2). 其中 a i 表示男性,i=1,2,3;b j 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 A 所包含的基本事件有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2). 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .
10 7

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(1)在判断两个分类变量在犯错误的概率不超过某个值的前 提下有关系时,一般利用随机变量 K2 的观测值 k 来确定;把计算出的 K2 的 观测值 k 与有关的临界值 k0 作比较,确定出在犯错误的概率不超过 P(K2≥k 0)的前提下“X 与 Y 有关系” (2)判断步骤 ①独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两类属性的问题,所 以对于一个实际问题,我们要首先看能不能用独立性检验的思想加以解决; ②如果确实属于这类问题,要进行科学地抽取样本,样本容量要适当, 特别是不可太小,要保证每个数据都大于 5; ③根据数据列出 2×2 列联表; ④根据公式计算 K
2

(- ) 的观测值 k= 的值; (+)(+)(+)(+)

2

⑤根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的上 界 α,查表确定临界值 k0; ⑥比较 K2 的观测值 k 与临界值 k0,如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”, 这种推断犯错误的概率不超过 α;否则,就认为在犯错误的概率不超过 α的 前提下不能推断“X 与 Y”有关系,或者在样本数据中没有发现足够的证据 支持结论“X 与 Y 有关系”.

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3.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人, 男性 54 人,女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲 方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休 闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为性别与休闲方式有 关系?

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【解】(1)依据题意“性别与休闲方式”2×2 列联表为:
看电视 女 男 总计 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

(2)由列联表中的数据,可得 K 的观测值 k=
2

124×(43×33-27×21) 70×54×64×60

2

≈6.201>3.841.

所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“休闲方式与性别有关 系”.

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1.两个变量之间的相关关系是一种( ) A.确定性关系 B.线性关系 C.非线性关系 D.可能是线性关系也可能不是线性关系 【答案】D 【解析】 变量之间的相关关系是一种非确定性的关系,如果所有数据点都在 一条直线附近,那么它们之间就是一种线性相关关系,否则不是线性相关关 系.

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2.(2012·江西南昌模拟)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则 其回归方程可能是( ) A.=-10x+200 B.=10x+200 C.=-10x-200 D.=10x-200 【答案】A 【解析】因为销售量与销售价格负相关,由函数关系考虑为减函数,又因为 x,y 不能为负数,再排除 C,故选 A.
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^ ^ ^ ^

3.下面关于 K2 的说法正确的是( ) A.K2 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B.K2 的值越大,两个事件的相关性就越大 C.K2 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当 K2 的值很小时可以 推定两类变量不相关 D.K2 的计算公式是
(-) (+)( +)(+)(+)

【答案】B 【解析】 K2 只适用于 2×2 型列联表问题,且 K2 只能推定两个分类变量相 关,但不能推定两个变量不相关.选项 D 中 K2 公式错误,分子上少了平方.

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4.若施化肥量 x 与水稻产量 y 的回归直线方程为=5x+250,当施化肥量为 80kg 时,预计水稻产量为 . 【答案】650kg 【解析】将 x=80 代入=5x+250 中即可得水稻的产量约为 650kg.

^

^

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5.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况, 具体数据如下表:
专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到K2 的观测 值 k=
50×(13×20-10×7) 23×27×20×30
2

≈4.844,因为 K2≥3.841,所以在犯错误的概率不超过

的前提下,认为主修统计专业与性别有关系. 【答案】0.05 【解析】由 K2 的观测值 k≈4.844>3.841,故在犯错误的概率不超过 0.05 的 前提下认为主修统计专业与性别有关系.
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