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江苏省启东中学2009届高三最后一考高(数学)


江苏省启东中学 2009 届高三最后一考 数学试卷 数学试卷 090531
注意事项: 注意事项:
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1.本试题由必做题与附加题两部分组成.选修历史的考生仅需对试题中必做题部分作答, 本试题由必做题与附加题两部分组成.选修历史的考生仅需对试题中必做题部分作答, 分钟; 满分 160 分,考试时间为 120 分钟;选修物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部 分作答, 分钟.考试结束后, 分作答,满分 200 分,考试时间为 150 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交 回.
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2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 答题前,请您务必将自己的班级、姓名、 写在试卷及答题纸上规定的地方. 写在试卷及答题纸上规定的地方.
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毫米签字笔写在答题纸上的指定位置, 3.做题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作 答一律无效. 答一律无效.
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必做题部分( 必做题部分(满分 160 分)
上.

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一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分.请把答案直接填写在答题纸相应位置 填空题: 小题,
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.1.计算 3 log 9 25 + log

2 ?1

( 2 + 1) =

▲ .

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1 2 2.设向量 a =(2, sin a )的模为 2 ,则 cos 2a =

▲ .

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3. ?A′B ′C ′ 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, ?A′B ′C ′ 的面积为 3 , 若 那么△ABC 的面积为 ▲ .
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4.公差不为零的等差数列 {a n } 中,有 2a3 ? a 7 + 2a11 = 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且
2

b7 = a 7 , 则b6 b8 = ▲



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5.函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期是 ▲
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6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为





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7.复数 z=(a-cosθ)+( 3 a-sinθ)i.若对一切 θ∈R,|z|≤3 恒成立, , 则实数 a 的取值范围为 ▲ .
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T←0 I←2 While I < 500 T←T+I I←I+2 End Whlie Print T
第 5 题

8.已知函数 f ( x ) = f ′ ( 0 ) cos x + sin x ,则函数 f(x)在 x0= 是 ▲ .
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π
2

处的切线方程

9.不等式

x+5 ≥ 2 的解集是 ▲ ( x ? 1) 2



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1

10.过坐标原点 O 向圆 C : x + y ? 8 x + 12 = 0 引两条切线 l1 和 l2,那么与圆 C 及直线 l1、
2 2

l2 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ▲ . 11.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示:
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性 别 男 女 数 能 不能 178 23 人. 278 21

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生活能 否自理
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 ▲ 12.若不等式
2

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t t+2 ≤a≤ 2 ,在 t ∈ (0,2] 上恒成立,则 a 的取值范围是. t +2 t

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x2 y2 13.已知椭圆16+ 4 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直线 l:x- 3y+8+2 3=0 上. |PF1| 当∠F1PF2 取最大值时, |PF |的比值为 ▲ 2 .
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14.设 a =lnz+ln[x(yz)?1+1],b=lny+ln[(xyz)?1+1],记 a,b 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . ▲
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小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: 字说明、证明过程或演算步骤. 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 向量 x=(2a+c,b),y =(cosB,cosC),若 x⊥y.
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(Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 b= 3 ,求 a+c 的最大值.

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16. (本题满分 14 分)如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=2,AA1=1,D 是 BC 的中点,点 P 在平面 BCC1B1 内,PB1=PC1= 2 . (I)求证:PA1⊥BC;
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(II)求证:PB1//平面 AC1D;

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2

17. (本题满分 14 分) 将圆 x + y + 2 x ? 2 y = 0 按向量 a = (1, - 1) 平移得到圆 O , 直线 l 与
2 2

r

圆 O 相交于 A 、 B 两点,若在圆 O 上存在点 C ,使 OA + OB + OC = 0 且 OC = 2a , 求直线 l 的方程。
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r

r

18.已知 ?ABC 的顶点分别为 A(0,0) ,B(

9 12 m, m) , C( c, 0) ,其中 c > 0. 5 5

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(1)若 c = 5, m =1 , P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AB 、 BC 、 AC 的距 离分别为 x,y 和 z,求 x + y + z 的取值范围;
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(2)若 m ? 0,BC=5,求 ?ABC 周长的最大值。

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19. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) = ax +

(2a ? 1) x ? 2 y + 3 = 0
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b ? a (a ∈ R , a ≠ 0) 在 x = 3 处的切线方程为 x ?1

(1)若 g ( x) = f ( x + 1) ,求证:曲线 g ( x) 上的任意一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = ax 围成的三角形面积为定值; (2)若 f (3) = 3 ,是否存在实数 m, k ,使得 f ( x) + f ( m ? x) = k 对于定义域内的任意 x 都成
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立;

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(3)若方程 f ( x) = t ( x 2 ? 2 x + 3) x 有三个解,求实数 t 的取值范围.

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3

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20. (本题满分 16 分)已知有穷数列 {an } 共有 2k 项(整数 k ≥ 2 ) ,首项 a1 = 2 ,设该数列 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = ⑴求 {an } 的通项公式; ⑵若 a = 2
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an +1 ? 2 (n = 1, 2,3,L , 2k ? 1). 其中常数 a > 1. a ?1

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2 2 k ?1

, 数列 {bn } 满足 bn =

1 log 2 (a1a2 L an ), (n = 1, 2, 3,L , 2k ), 求证: ≤ bn ≤ 2 ; 1 n

⑶若⑵中数列 {bn } 满足不等式: b1 ? 大值。
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3 3 3 3 + b2 ? + L + b2 k ?1 ? + b2 k ? ≤ 4 ,求 k 的最 2 2 2 2

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数学附加题
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21. 选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题;每题 10 分,共 20 分;解答时应写 【选做题】 解答时 、 、 、 出文字说明,证明过程或演算步骤. 出文字说明,证明过程或演算步骤. A.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆 与AB交于点E,与AC切于点D,连结DB、DE、OC。若AD=2,AE=1,求CD的长.
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B.运用旋转矩阵,求直线 2x+y-1=0 绕原点逆时针旋转 45°后所得 . 的直线方程.
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C.已知 A 是曲线 ρ=3cosθ上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值和最小值. .
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D.证明不等式: + .
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1 1 1 1 + +L + <2 1 1× 2 1 × 2 × 3 1× 2 × 3 × L × n

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【必做题】 22 题, 题,每题 10 分,共 20 分;解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 必做题】 第 23 每题 共 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤
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4

22. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点, F、T 、M 、P 满足 OF = (1, 0), OT = ( ?1, t ) , O 点

uuu r

uuu r

uuuu uuur uuuu uuu uuu uuur r r r r FM = MT , PM ⊥ FT , PT // OF .

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(1)当 t 变化时,求点 P 的轨迹 C 的方程;

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(2)若过点 F 的直线交曲线 C 于 A,B 两点,求证:直线 TA,TF,TB 的斜率依次成等差数列.
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23. (1)设函数 f ( x) = x ln x + (1 ? x) ln(1 ? x)(0 < x < 1) ,求 f (x ) 的最小值; (2)设正数 p1 , p 2 , p 3 , L , p 2 n 满足 p1 + p 2 + p 3 + L + p 2 n = 1 , 求证 p1 ln p1 + p2 ln p2 + p3 ln p3 + L + p2n ln p2n ≥ ?n.
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5

参考答案: 参考答案:
一.

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填空题

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3 π π 1。.4;2. 2 ;3. 2 6 ;4.16; 5. ; 6.62250; 7. [-1,1] ;8. x+y―1― =0; 2 2
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? 2 ? 4 4 1 9.[- ,1)∪(1,3]; 10. ( x ? ) 2 + y 2 = ; 11.60;12. ? ,1? ; 2 3 9 ? 4 ?

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13. 3-1 ;14.ln2 二.解答题



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15.解 (1)由 x⊥y ,得 x·y =0,得(2a+c)cosB+bcosC=0, 由正弦定理得 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0, 又 sinA=sin(B+C) ,得 2sinAcosB+sinA=0, 因为 sinA≠0,所以 cosB=-
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………………2 分

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………………4 分

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1 2 ,B= π 2 3

………………6 分

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(2)由余弦定理得 3=a2+c2+ac,即 3=(a+c)2-ac, (a,c>0) …………………8 分 .
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高.

(a + c) ( a + c) 2 a+c 因为 ≥ ac 得-ac≥- ,所以 3≥(a+c)2- ,………10 分 4 2 4
2

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故 (a+c)≤4, a+c≤2, a+c 的最大值为 2 得
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2

………………14 分

高.

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16.解: (1)证明:取 B1C1 的中点 Q,连结 A1Q,PQ, △PB1C1 和△A1B1C1 是等腰三角形, ∴B1C1⊥A1Q,B1C1⊥PQ, ∴B1C1⊥平面 AP1Q,∴B1C1⊥PA1,
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∵BC∥B1C1,∴BC⊥PA1. (2)连结 BQ,在△PB1C1 中,PB1=PC1= 2 ,B1C1=2,Q 为中点, ∴PQ=1,∴BB1=PQ,∴BB1∥PQ, ∴四边形 BB1PQ 为平行四边形,
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6

∴PB1∥BQ.∴BQ∥DC1,

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∴PB1∥DC1,又∵PB1 ? 面 AC1D, ∴PB1∥平面 AC1D. 17.解:由已知圆的方程为 ( x + 1) 2 + ( y - 1) 2 = 2 , 按 a = (1, - 1) 平移得到 O : x 2 + y 2 = 2 .
uuur uuu r uuu r

r

……(2 分)
2 2

∵ OC = - (OA + OB), ∴ OC ? AB = ?(OA + OB ) ? (OA + OB ) = OA ? OB = 0 , 即

OC ⊥ AB
r
r

……(6 分)

又 OC = 2a , ,且 a = (1, - 1) ,∴ kOC = - 1 .∴ k AB = 1 . 设 l AB : x - y + m = 0 , AB 的中点为 D. 由 OC = - (OA + OB) = - 2OD ,则 OC = 2 OD ,又 OC = ∴ O 到 AB 的距离等于
2 2
uuur uuu r uuu r uuur

uuur

uuur

2 , | OD |=

2 2

……… (10 分)



m 2

=

2 , 2

∴ m = ±1 ……(14 分) ……(2 分) …… (4 分)

∴直线 l 的方程为: x - y - 1 = 0 或 x ? y + 1 = 0 . 18.解:(1) AB=3, Ac=5, BC=4;

?ABC是直角三角形
12 1 + (2 x + y ) 5 5

2 S△ABC = 3 x + 4 y + 5 z = 12 ? x + y + z =

?3x + 4 y ≤ 12, ? x ≥ 0, 设 t = 2x + y , ? ? y ≥ 0, ?


由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8

12 ≤ x+ y+z≤4 5 12 ≤ x+ y+z≤4 5

……(8 分)

注: 3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z 得到
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

可得 5 分,若给出了等号成立条件可全分。

(2)当 m>0 时 由 B(

9 12 4 3 m, m) 得 tan A= ,所以cosA= ; 5 5 3 5
7

……(10 分)

△ ABC 中,由余弦定理有: 25=b2+c2-2bccosA=(b+c)2周长最大值为 5+ 5 5
16 bc ? 5 1 ( b + c ) 2 ;所以 b+c ? 5

5 5
……(14 分)

当 m<0 时, ?BAC 为钝角,AB<BC,AC<BC,AB+BC+AC<15<5+ 5 5 综上所述, ?ABC 周长的最大值为 5+ 5 5 。 19.解: (Ⅰ)因为 f ( x) = a ? 解
'

……(16 分)

b 2a ? 1 , 所以 f ' (3) = a ? b = ,b = 2 2 4 2 ( x ? 1)
…………………………… 2 分

2 又 g ( x) = f ( x + 1) = ax + x .
设 g (x ) 图像上任意一点 P ( x0 , y 0 ), 因为 g ' ( x) = a ? 所以切线方程为 y ? (ax0 + 令 x = 0, 得 y = 故三角形面积 S =

2 , x2

2 2 ) = ( a ? 2 )( x ? x0 ). ………………………………… 4 分 x0 x0

4 ; 再令 y = ax, 得 x = 2 x0 , x0

1 4 ? ? 2 x0 = 4 , 即三角形面积为定值.……………………… 6 分 2 x0
2 ?1 x ?1
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

(Ⅱ)由 f (3) = 3 得 a = 1 , f ( x) = x + 假设存在 m, k 满足题意,则有 x ? 1 + 化简,得

2( m ? 2) = k + 2 ? m 对定义域内任意 x 都成立,……………… 8 分 ( x ? 1)(m ? x ? 1) ?m ? 2 = 0, ?m = 2, 解得 ? 故只有 ? ? k + 2 ? m = 0. ? k = 0. 所以存在实数 m = 2, k = 0, 使得 f ( x ) + f ( m ? x) = k 对定义域内的任意 x 都成立.
……………………………………………………………………………………………11 分 (Ⅲ)由题意知, x ? 1 +

2 2 + m ? x ?1+ = k, x ?1 m ? x ?1

因为 x ≠ 0, 且 x ≠ 1, 化简,得 t = 即

2 = t ( x 2 ? 2 x + 3) x , x ?1

1 , ……………………………………………13 分 x ( x ? 1)

? x 2 ? x, x > 0, 且x ≠ 1, 1 ? ……………………15 分 = x ( x ? 1) = ? 2 t ? ? x + x , x < 0. ?

如图可知, ?

1 1 < < 0. 4 t 所以 t < ?4, 即为 t 的取值范围.…………………………………………………… 16 分
8

?n ≥ 2时 ? ? a ?2 a ? 2, 20.解:⑴ S = n +1 ,S n ?1 = n n ? a ?1 a ?1 ?

两式相减得

S n ? S n ?1 = ∴ an = a2 a
当 n =1时

an +1 ? an a ?a , an = n +1 n ,∴ an +1 = a ? an a ?1 a ?1

……(3 分)

n? 2

a1 = S1 =

a2 ? 2 = 2,∴ a2 = 2a, a ?1

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

则,数列 {an } 的通项公式为 an = 2 ? a

n ?1

.

……(5 分)

⑵把数列 {an } 的通项公式代入数列 {bn } 的通项公式,可得

bn = =

1 log 2 (a1a2 L an ) n

1 (log 2 a1 + log 2 a2 + L + log 2 an ) n 1? 2 4 2k ? 2 ? = ?1 + (1 + ) + (1 + )L + (1 + ) n? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1? n(n ? 1) 2 ? = ?n + n? 2 2k ? 1 ? ? n ?1 = 1+ . 2k ? 1
Q1 ≤ n ≤ 2k ,∴1 ≤ bn ≤ 2.
⑶数列 {bn } 单调递增,且 bk ? 则原不等式左边即为

……(8 分)

……(11 分)

3 k ?1 1 3 k 1 = ? < 0, bk +1 ? = ? > 0, 2 2k ? 1 2 2 2k ? 1 2

3? ? 3? 3? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ? ? ? ? b1 ? + ? ? b2 ? + L + ? ? bk ? + ? bk +1 ? ? + ? bk + 2 ? ? + L + ? b2 k ? ? 2? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ? 2 k = (bk +1 + bk + 2 + L + b2 k ) ? (b1 + b2 + L + bk ) = . 2k ? 1
……(14 分)

k2 由 ≤4 2k ? 1

可得 k 2 ? 8k + 4 ≤ 0, 4 ? 2 3 ≤ k ≤ 4 + 2 3, ……(1.6 分)

因此整数 k 的最大值为 7。

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

9

数学附加题
21. 选做题】 . 选做题】 【 A.主要步骤:AD2=AE·AB,AB=4,EB=3,△ADE∽△ACO,CD=3 B.主要步骤:旋转矩阵 ?

?cos 45° ? sin 45° ? 2 ?1 ?1? ? = 2 ?1 1 ? ? sin 45° cos 45° ? ? ?

直线 2x+y-1=0 上任意一点(x0,y0)旋转变换后(x0′,y0′)

? ? x ′ ? ? x0′ = 2 ?1 ?1? ? x0 ? ? 0 ?1 1 ? ? y ? = ? ? , ? 2 ? ? ? 0 ? ? y0′ ? ? ′ ? ? ? y0 = ?

? 2 2 2 ′ 2 ′ x0 ? y0 ? x0 = x0 + y0 ? 2 2 2 2 ,? 2 ′ 2 ′ 2 2 ? x0 + y0 ? y0 = ? x0 + y0 ? 2 2 2 2

直 线 2x + y - 1=0 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 45 ° 后 所 得 的 直 线 方 程 是

2x + 2 y ?

2 2 2 3 2 x+ y ? 1 = 0 即: x+ y ?1 = 0 2 2 2 2

C.主要步骤:将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cosθ即:x +y =3x,(x-
2 2

3 2 2 9 ) +y = ,ρcosθ=1 即 x=1,直线与圆相交 2 4

所求最大值为 2,最小值为 0. D.证明: +

1 1 1 1 1 1 1 < 1 + + 2 + L + n?1 + +L + 1 1× 2 1 × 2 × 3 1× 2 × 3 × L × n 2 2 2 1 =2- n?1 <2 2
22. . .解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 由 FM = MT ,得点 M 是线段 FT 的中点,则 M (0, ) , PM = ( ? x, 又 FT = OT ? OF = ( ?2, t ), PT = ( ?1 ? x, t ? y ) ,

uuuu r

uuur

t 2

uuuu r

t ? y) , 2

uuu r

uuu uuur r uuu r

uuu r

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

由 PM ⊥ FT ,得 2 x + t ( ? y ) = 0 ,―――――――――――① 由 PT // OF ,得 ( ?1 ? x) × 0 + (t ? y ) × 1 = 0, ∴t=y ――――② 由①②消去 t ,得 y 2 = 4 x 即为所求点 P 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)证明:设直线 TA, TF , TB 的斜率依次为 k1 , k , k 2 ,并记 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则k = ?

uuuu r

t 2

uuu uuu r r

t 2
10

设直线 AB 方程为 x = my + 1

? y2 = 4x ? y1 + y2 = 4m 2 ,得 y ? 4my ? 4 = 0 ,∴ ? , ? ? y1 ? y2 = ?4 ? x = my + 1
∴ y1 + y2 = ( y1 + y2 ) ? 2 y1 y2 = 16m + 8 ,∴ k1 + k 2 =
2 2 2 2

y1 ? t y2 ? t + x1 + 1 x2 + 1

2 y2 y2 + 1) + ( y2 ? t )( 1 + 1) 4 4 = 2 2 y y ( 1 + 1)( 2 + 1) 4 4 2 4 y y ( y + y2 ) ? 4t ( y12 + y2 ) + 16( y1 + y2 ) ? 32t = 1 2 1 2 2 y12 y2 + 4( y12 + y2 ) + 16

( y1 ? t )(

= ?t = 2 k
∴ k1 , k , k 2 成等差数列 23. (Ⅰ)解:对函数 f (x ) 求导数: f ′( x) = ( x ln x)′ + [(1 ? x) ln(1 ? x)]′
= ln x ? ln(1 ? x).

于是 f ′( ) = 0.

1 2

w.w.w.k. s.5.u .c. o.m

1 1 当 x < , f ′( x) = ln x ? ln(1 ? x) < 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x > , f ′( x) = ln x ? ln(1 ? x) > 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2
所以 f ( x )在x =

1 1 时取得最小值, f ( ) = ?1 , 2 2

(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii)假定当 n = k 时命题成立,即若正数 p1 , p 2 , L , p 2 k 满足p1 + p 2 + L + p 2 k = 1 , 则 p1 log 2 p1 + p 2 log 2 p 2 + L + p 2 k log 2 p 2 k ≥ ? k . 当 n = k + 1 时,若正数 p1 , p 2 , L , p 2 k +1 满足p1 + p 2 + L + p 2 k +1 = 1, 令 x = p1 + p 2 + L + p 2 k , q1 =

pk p1 p , q 2 = 2 ,L, q 2k = 2 . x x x

则 q1 , q 2 , L , q 2 k 为正数,且 q1 + q 2 + L + q 2 k = 1. 由归纳假定知 q1 ln p1 + p2 ln p2 + L + q2k ln q2k ≥ ? k .
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

p1 ln p1 + p2 ln p2 + L + p2k ln p2k = x ( q1 ln q1 + q2 ln q2 + L + q2k ln q2k
11

+ ln x) ≥ x(?k ) + x ln x,



同理,由 p 2 k +1 + p 2 k + 2 + L + p 2 k +1 = 1 ? x 可得 p2k +1 ln p2k +1 + L + p2k +1 ln p2k +1
≥ (1 ? x)(? k ) + (1 ? x) n(1 ? x).



综合①、②两式 p1 ln p1 + p2 ln p2 + L + p2k +1 ln p2k +1
≥ [ x + (1 ? x)](? k ) + x ln x + (1 ? x) ln(1 ? x) ≥ ?(k + 1).

即当 n = k + 1 时命题也成立. 根据(i)(ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 、
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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