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均值不等式的应用


均值不等式的应用
成都七中 授课人:曹杨可 课件制作:曹杨可

b?R, 那么a ? b ? 2ab (基本不等式) 定理 1 如果 a ,
2 2

(当且仅当a ? b 时取“ ?” 号) .

b?R , 那么 a ? b ? ab (均值不等式) 定理 2 如果 a , 2 (当且仅当a ?

b 时取“ ?” 号) .
?

a ? b 叫做两个正数a 、 这里, b的算术平均数 ; 2 ab 叫做两个正数a 、 b的几何平均数 .

均值不等式推广:
若 a1 ,a2 , ?an ? R? , 则

a1 ? a2 ? ?? an n ? a1 a2 ?an n
取“?”号。 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时,

重要结论:

a3 ? b3 ? c3 ? 3abc (a、b、c ? R? )

已知 a, b, c ? R?,求证: a3 ? b3 ? c3 ? 3abc. (当且仅当a ? b ? c 时取“ ?”号)
3 3 3 ? a ? b ? c ? 3abc 证明: ? (a ? b)3 ? c3 ? 3a2b ? 3ab2 ? 3abc

? (a ? b ? c)[(a ? b) ? (a ? b)c ? c ] ? 3ab(a ? b ? c)
2 2

? (a ? b ? c)[a ? 2ab ? b ? ac ? bc ? c ? 3ab]
2 2 2

? (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca)
? 1 (a ? b ? c)[(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2] ? 0 2 ? a, b, c ? R ?, ? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? 0

? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc.
(当且仅当a ? b ? c 时取“ ?”号)

例1.

x( x ? 1) 10 ? 0.9 x ? 0.2 x ? 0.2 2 x

例 2 某商场以每台 2500 元进了一批彩电,如果以每台 2700 元为定价,可卖出 400 台.以 100 元为一个价格等 级,若每台提高一个价格等级.则会少卖 50台.那么, 每台彩电定价为多少时,该商场可获得最大利润?其值 是多少? 设每台彩电提高 x 个价格等级,则每台的定价为 解: (2700十100x)元.此时可卖出 = 5000(2+x)(8-x) (400一50x)台, 商场获利润为:y=(2700十100x一2500)(400 — 50x)
2 2 ? x ? 8 ? x ? (2 ? x)(8 ? x) ? ( ) ? 25 2

? 当且仅当 2 ? x ? 8 ? x 即 x ? 3 时取“ ?”号

答:每台彩电以定价为3000元卖出,该商场可获得最 大利润125000元.


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