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【同步备课】高中数学(北师大版)必修三教案:3.3 例谈几何概型的计算


例谈几何概型的计算
几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性, 而保留等可能性的一种求概率 的方法.它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本. 几何概型的计算一般按下列步骤进行: (1)选取合适的模型,即样本区域D; (2)在坐标系中正确表示D与所求概率事件 A 所在的区域 d; (3)计算 D 与 d 的测度 ? D,?d ; (4)计算概率 P ( A) ? 例1
?d . ?D
6 5

1) 中随机地取出两个数,求这两个数的和小于 的概率. 在区间 (0,

分析:解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型,设 x,y 分别表示随 机所取的两个数,则由题意知 x,y 均等可能地在(0,1)中取值,从而(x,y)
0 ? y ? 1? 中取值,将D作为样本区域,这就 等可能地在平面区域 D ? ?( x,y) | 0 ? x ? 1,

是一个几何概型问题. 解:如图 1,设 x、y 分别表示从(0,1)中取出的两个数,
0 ? y ? 1? . 则样本区域 D ? ?( x,y) | 0 ? x ? 1,

记 A 为事件“两个数的和小于” ,
? ? ( x y) ? D ? , 即 A ? ?( x,y ) | x ? y ? ,, ? 6 5 ?

因为D的面积 S D ? 1 ,
? A 的面积 Sd ? 1 ? ? ? ? ? ? 0.68 . 2 ?5? 1 4
2

于是由几何概型的概率公式得到 P ( A) ?

Sd ? 0.68 . SD

-1-

例2

甲、乙两人相约于下午 1:00~2:00 之间到某车站乘公共汽车外出,他

们到达车站的时间是随机的,设在 1:00~2:00 之间有四班客车开出,开车时间分 别是 1:15,1:30,1:45, 2:00,分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率. (1)约定见车就乘; (2)约定最多等一班车. 分析:本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形.分别作出表示事件 的所在区域,利用构造思想及数形结合思想,结合几何概型知识加以解决.

解:设甲、乙到站时间分别是 x 时,y 时, 则1≤x≤2,1≤y≤2, 试验区域 D 为点(x,y)所形成的正方形,以 16 个小方格表示,如图 2 所示. (1)如图 3,约定见车就乘的事件所表示的区域 d 为图中 4 个黑的小方格所 示,所求概率为
4 1 ? ; 16 4

(2)如图 4,约定最多等一班车的事件所表示的区域 d 为图中 10 个黑的小方 格所示,所求概率为
10 5 ? . 16 8

例3

随机地向半圆 0 ? y ? 2ax ? x2 (a ? 0) 内掷一点,点落在半圆内任何区域的
π 4

概率均与该区域的面积成正比,求该点与原点连线与 x 轴的夹角小于 的概率. 分析:题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性, “点落在半圆内任何区 域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性,因为试验结果是无 限个,因此容易想到用几何概型来计算. 解:如图 5,设事件 A 表示“点与原点连线与 x 轴的夹角小于的概率” .

-2-

于是样本区域 D ? ( x,y) | 0 ? y ? 2ax ? x 2 , 即为图 5 中的半圆,其面积为 πa 2 ; 而 A ? ?( x,y) | ( x,y) ? D,x ? y? ,其面积为 πa 2 ? a 2 .
1 2 1 2 πa ? a 2 ?1?1 . 由几何概型的概率公式有 P( A) ? 4 1 2 2 π πa 2

?

?

1 2

1 4

1 2

-3-


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