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2012年浙江省高三名校交流模拟卷 数学(文科)


2012 年浙江省高三名校交流模拟卷
文科数学
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一﹑选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题( 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的) 1. 集合 A = {?1,0,1}, B = { y y = 2 , x ∈ A} ,则 A ∩ B =
x

/>




A. {0}
2

B. {1}

C. {0,1}

D. {?1,0,1} )

2. 若复数 z = 4 ? t + A. - 2,-1 ( )

1+ t 对应的点在第四象限,则实数 t 的取值范围是( i
B. 2, ∞) ( +
2

C. - 1,2) (

D. - ∞,2) ( )

3. 若抛物线 y 2 = 8 x 的焦点与椭圆 x + y 2 = 1 的右焦点重合,则 m 的值为(
m

A. 5

B. 3

C. ?5

D. ?3 ( )

4. 设 a 是空间中的一条直线, α 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是 A. 过 a 一定存在平面 β ,使得 β // α

B. 过 a 一定不存在平面 β ,使得 β ⊥ α

C. 在平面 α 内一定存在直线 b , 使得 a ⊥ b D. 在平面 α 内一定不存在直线 b , 使得 a // b 5.在△ABC 中,

sin A 2 cos C + cos A 是角 A、B、C 成等差数列的( = cos A 2sin C ? sin A

)

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.某几何体的三视图如图,若各视图均为边长为 2 的正方形.,则这个 几何体的体积是 ( ) A.

4 3

B.

8 3

C.

16 3

D.

20 3
正视图 侧视图

7.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如右图所示,且|x1|<|x2|, 则有 ( ) 俯视图 (第 6 题)

A.a>0,b>0,c<0,d>0 B.a<0,b>0,c<0,d>0 C.a<0,b>0,c>0,d>0 D.a>0,b<0,c>0,d<0

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果是:

(

)

第 1 页 共 11 页

A. ? 3

B. ?

1 2

C.

1 3

D. 2

9.设函数 f ( x ) = ax +

x ( x > 1) ,若 a 是从 1,2,3 三数中任取 x ?1

一个, b 是从 2,3,4,5 中任取一个,那么使 f ( x ) ≥ b 恒成立的 概率为( A. . )

1 6

B. .

1 4

C. .

3 4

D. .

5 6

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 4) = 1 , f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,已知 y = f ' ( x ) 的图 . 像如图所示,若两个正数 a 、 b 满足 f ( 2a + b) < 1 ,则 值范围是( A. ( , ) ) B. (?∞, ) ∪ (3,+∞) C. ( ,3) D. (?∞,3)

b+2 的取 a+2

(第 8 题) y

1 1 3 2

1 2

1 2

O

x

小题, 二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题( 11.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万
0.0005 频频 组组

人,并根据所得数据画出了样本频率分
0.0004

布直方图(如图) .为了深入调查,要从 这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽 出 100 人, 则月收入在[2500, 3000) 元) ( 段应抽出 人.

0.0003 0.0002 0.0001

1000

1500

2000 2500 3000 3500 4000

月月月(元)

12.已知函数 f ( x) = ?

2x ( x < 4) , 则 f (5) _____________. ? f ( x ? 1) ( x ≥ 4) ?

13.曲线 y =

1 3 ? 4? x + x在点 ?1, ? 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 3 ? 3?
2



14.已知圆 ( x ? 2 ) + y 2 = 1 经过双曲线 则此双曲线的离心率 e =

x2 y2 ? = 1 ( a > b > 0 ) 的一个顶点和一个焦点, a2 b2


15.向量 a, b, c, d 满足: | a |= 1 , | b |= 2 , b 在 a 上的投影为 则 | c | 的最大值是
第 2 页 共 11 页

1 , (a ? c ) ? ( b ? c ) = 0 , 2



16.数列 {an } 中, a1 = 6 ,且 an ? an ?1 = 公式 an = .

an ?1 + n + 1 ( n ∈ N* , n ≥ 2 ),则这个数列的通项 n

17 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [ ?1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 在 [0,1] 上 是 增 函 数 , 那 么

y=

f ( x 2 ? 3) + f ( x + 1) 的值域_______ .

小题, 解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程) 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程) 解答题( 18. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , cos 本小题满分 (1)求 cos B 的值. (2)当 a = 3 时,求 AB ? AC 的最小值,并求取此最小值时的 b, c 的值。

3 A+C = . 2 3

19.(本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 {a n } 中,a1 = 1, S n 是数列 {a n } 的前 n 项 本小题满分 和,对任意 n ∈ N ,有 2 S n = 2 pa n + pa n ? p ( p ∈ R )
2
?

(1)求常数 p 的值,并求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn =
n+2 ( an an +2 )2

(n ∈ N ?) ,求证: b1 + b2 + L + bn <

13 9

20.(本小题满分 14 分)已知四边形 ABCD , AB = AD = 本小题满分
第 3 页 共 11 页

2 ,BC = CD = 1 ,BC ⊥ CD ,

将四边形沿 BD 折起,使 A′D =

3 ,如图所示。

(1) 求证: A′C ⊥ BD ; (2) 求二面角 D ? A′B ? C 的余弦值的大小; D C

A′

D A B B

C

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) = a ln x ? ax ? 3(a ∈ R且a ≠ 0) . 本小题满分 (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

m (Ⅱ)若 a = ?2 ,且对于任意的 t ∈ [1,2] ,函数 g ( x ) = x 3 + x 2 ? + f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总 ?2 ? ? ?
存在极值,求 m 在什么范围取值范围。

2 22. (本小题满分 15 分)已知抛物线 C: x = 2 py ( p > 0) ,顶点为 O,焦点为 F,准线为 l , 本小题满分

第 4 页 共 11 页

圆 M : x + ( y ? b) = 1 关于 l 对 称,焦点 F 到 圆 M 上 所有点的距 离最大值 是 3 ,
2 2

A(4, m)(m > 0) 为抛物线 C 上一点。
(1)求抛物线 C 的方程与圆 M 的方程; (2) 抛物线 C 上是否存在异于 O 、A 的点 B , 使得经过点 O, A,B 的圆和抛物线 C 在点 B 处 有相同的切线。若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由。

参考答案及详细解析 参考答案及详细解析
第 5 页 共 11 页

一.选择题: 1. B 解析: B = { y y = 2 , x ∈ A} = { ,1, 2} ,则 A ∩ B = {1} ,应选 B
x

2.C 解析:

z = 4 ? t2 +

4 ?t 2 > 0 1+ t = 4 ? i 2 ? (1 + t )i , z 对应的点在第四象限,则 { ,得 1+ t > 0 i

1 2

-1 < t < 2, 应选 C
3. A 解析:抛物线 y 2 = 8 x 的焦点为(2,0),所以 m ? 1 = 4, m = 5 ,应选 A 4. C 解析:在 A 选项中,若直线 a 在平面 α 内,则不存在平面 β 使得 β // α ,故 A 错误 在 B 选项中,过直线 a 一定存在平面 β 使得 β ⊥ α ,故 B 错误 在 D 选项中,若直线 a // 平面 α ,则在平面 α 内存在直线 b 使得 a // b ,故 C 错误 只有 C 选项是正确的. 应选 C 5.B 解析:由条件得 cos( A + C ) = ?

1 , A+C 2

=

2π 3

,∴ B

=π, 3

A + C = 2 B ,角 A、B、C 成等差数列反之也成立。应选 B
6. B 解析:该几何体是以正方体的六条面对角线为边 构成的正四面体,也可看作是正方体被截去四个墙角后留下的 几何体,由间接法计算其体积得: V = 2 3 ? 4 × × 应选 B 7.C 解析: f′(x)=3ax2+2bx+c, 因 由题意可知导函数 f′(x) 右图所示,所以 2b a<0,c>0, - <0,则 b<0, 由原函数图象可知 d>0. 3a 应选 C 8.D 解析:初始值 S = 2 .程序运行一次后得 S1 = ?3 ,运行二次后得 S 2 = ? 次后得 S 3 =

1 1 3 8 ×2 = . 3 2 3
(第 6 题) 的图象如

1 .,运行三 2

1 ,运行四次后得 S 4 = 2 ,……..(往后依次重复出现前四次的值) ,由于 3

2012 = 503 × 4 ,故 S 2012 = S 4 = 2 .应选 D。
9.D 解析:共有 12 个基本事件数,要使 f ( x ) ≥ b 恒成立,只要 f ( x ) min ≥ b ,其中 符合条件的有: a = 1 时, f ( x ) min = 3 , b 可取 2,3; a = 2 时, f ( x) min = 2 2 + 3 , b 可

第 6 页 共 11 页

取 2,3,4,5; a = 3 时, f ( x) min = 2 3 + 4 , b 可取 2,3,4,5。其概率为 选D 10. C . 解析:观察图像,可知 f (x ) 在 (?∞,0] 上是减函数,在 [0,+∞)

10 5 = 。应 12 6

b
4

?2 a + b < 4 ? 上是增函数,由 f ( 2a + b) < 1 = f ( 4) ,可得 ?a > 0 , ?b > 0 ?
画出以 (a, b) 为坐标的可行域(如图所示阴影部分,不含边界) ,

?2

O ?2

2

a



b+2 可看成 (a, b) 与 (?2,?2) 连线的斜率,可求得 C 为所求,故选 C。 a+2

小题, 二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题( 11.25 解析:频率为 0.0005 × 500 = 0.025 ,应抽出 25 人。 12.8 解析: f (5) = f (4) = f (3) = 23 = 8

13 .

1 4 解 析 : y′ = x 2 + 1, 切线方程y ? = 2( x ? 1) , 与 两 两 坐 标 轴 的 交 点 是 9 3

1 2 1 1 2 1 ( , 0), (0, ? ) ,所求三角形面积为 × × ? = 。 3 3 2 3 3 9
14. e =

5

解析: 方法一:如图所示,设双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1, a 2 b2

两焦点分别为 E , F .且 F 关于其中一条渐近线的对称点 为 A , AF 的中点为 B .因为 B 为 AF 的中点, O 为

EF 的中点且 OB ⊥ AF ,故 ?AEF 为直角三角形. 不妨

? m ? n = 2a ? ? 设 | AF |= m , | AE |= n ,则有: ? m 2 + n 2 = 4c 2 , ?tan ∠AEF = m = b ? n a ?
消去 m, n 可得: b = 2a ,故 c =

O (第 14 题)

5a ,即: e = 5 .

方法二:在 Rt?OBF 中, | OF |= c , | OB |= a , | BF |= b .Q OB 为 ?AEF 的中位

第 7 页 共 11 页

线, | AE |= 2a , AF |= 2b , 2b ? 2a = 2a , ∴ | 故 得:b = 2a ,c =

5a , e = 5 . 即:

15. 1 +

2 2

解析:不妨设向量 a, b, c, d 有相同的起点 O ,终点分别为 A, B, C , D .由 b 在 a 上的投

影为

1 1 知 a ? b = ,由 (a ? c ) ? (b ? c ) = 0 知: C 在以 AB 为直径的圆上. 2 2

故当

向量 c 过 AB 中点时,其模最大,此时: | c | =
16. (n + 1)(n + 2)

1 2 ( | a + b | + | a ? b | )= 1 + , 2 2 a

n n ?1 解析:由条件,nan ? ( n + 1) an ?1 = n( n + 1) ,得 n + 1 ? n = 1 ,又

a

a1 2

= 3 ,数列 {

an } n +1 是

n 等差数列, n + 1 = n + 2, an = ( n + 1)( n + 2) 。

a

17. {0} 解析:由条件 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上是增函数, f ( x 2 ? 3) + f ( x + 1) ≥ 0,
?1≤ x 2 ?3≤1
?1≤ x +1≤1 x 2 ?3≥? x ?1

f ( x ? 3) ≥ ? f ( x + 1) = f (? x ? 1) ,
2

{

得 x = ?2 ,所以 y = 0 ,值域为 {0}

小题, 解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程) 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程) 解答题( 18. 解: (1)Q cos( A + C ) = 2 cos (2)由 cos B =
2

A+C 1 1 ? 1 = ? , ∴ cos B = ? cos( A + C ) = 2 3 3

1 2 2 a b c 2 2 ,得: sin B = .由正弦定理 = = ,变形得: b = , 3 3 sin A sin B sin C sin A

Q 0 < sin A ≤ 1 ,∴ b ≥ 2 2 ,当且仅当 A = 90 0 时,等号成立.
由余弦定理得 cos A =

b2 + c2 ? a2 , 2bc

b2 + c2 ? 9 , 故 AB ? AC = bc cos A = 2
又因为 b = c + 9 ? 2 × 3 ×
2 2

1 1 1 1 c = c 2 ? 2c + 9 ,故 AB ? AC = c 2 ? c = (c ? ) 2 ? ≥ ? . 3 2 4 4

故 AB ? AC 的最小值为 ?

1 1 1 33 ,当且仅当 c = 时等号成立.此时, c = , b = 。 4 2 2 2
2 ?

19. 解: (1)由 a1 = 1 及 2 S n = 2 pa n + pa n ? p ( n ∈ N ) ,得:

2 = 2p + p ? p
第 8 页 共 11 页

∴ p =1

由 2 S n = 2a n + a n ? 1
2



得 2 S n +1 = 2a n +1 + a n +1 ? 1
2 2 2



由②—①,得

2a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + (a n+1 ? a n )

即: 2( a n +1 + a n )( a n +1 ? a n ) ? ( a n +1 + a n ) = 0

∴ (a n +1 + a n )(2a n +1 ? 2a n ? 1) = 0 ∴ 2a n +1 ? 2a n = 1


由于数列 {a n } 各项均为正数,

a n+1 ? a n =

数列,∴ 数列 {a n } 的通项公式是 (2)∵ bn =
n+2 ( an an+ 2 ) 2

1 ∴ 数列 {a n } 是首项为 1 , 公差为 的等差 2 1 n +1 a n = 1 + (n ? 1) × = 2 2

1 2

=

16(n + 2) 1 1 = 4[ ? ] 2 2 2 (n + 1) (n + 3) (n + 1) (n + 3) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 + 2 ? 2 + 2 ? 2 +L + ? ) 2 2 2 4 3 5 4 6 (n + 1) (n + 3) 2

∴ b1 + b2 + L + bn = 4(

= 4(

1 1 1 1 1 1 13 + 2? ? ) < 4( 2 + 2 ) = 2 2 2 2 3 (n + 2) (n + 3) 2 3 9

20. 证明: (1)取 BD 的中 O 点,连 CO, A′O ,∵ AB = AD =

2 , BC = CD = 1 ,∴

CO ⊥ BD, A′O ⊥ BD ,∴ BD ⊥ 平面A′CO ,∴ A′C ⊥ BD
(2)∵ BC ⊥ CD , BC = CD = 1 ∴ BD =

A′
N D M C

2 , ?A′BD 是正三角形, A′C = 3 ,

A′B = 2, BC = 1 , A′D = 2, CD = 1

2 2 2 2 2 2 O ∴ A′B + BC = A′C , A′D + DC = A′C , BC ⊥ A′B, CD ⊥ A′D

取 A′B 、 A′C 的中点 M 、 N ,连 DM , MN , DN ,则 MN ∥ BC ,且 MN =

1B 1 BC = 2 2

DM ⊥ A′B , MN ⊥ A′B , ∠DMN 二 面 角 D ? A′B ? C 的 平 面 角 , DM =

6 , 2

DN =
21.

3 , cos ∠DMN = 2 f ' ( x) =

6 3

解: (Ι)由 当a

a (1 ? x) 知: x

> 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,+∞) ;

第 9 页 共 11 页

当a

< 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,+∞) ,单调减区间是 (0,1) ;

(Ⅱ)由 a

= ?2 ,∴ f ( x ) = ?2 ln x + 2 x ? 3 , f ' ( x ) = 2 ?

2 . x

故 g ( x)

m ?m ? = x 3 + x 2 ? + f '( x) ? = x3 + (2 + ) x 2 ? 2 x , 2 ?2 ?

∴ g '( x )

= 3 x 2 + (4 + m) x ? 2 ,

∵ 函数 g (x ) 在区间 (t ,3) 上总存在极值,

∴ g ' ( x ) = 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内

又∵函数 g ' ( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0)

g ' (t ) < 0 = ?2 < 0 ,∴ ? ?

? g ' (3) > 0

由 g ' (t ) < 0 ? m < 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t )

t

= 2 ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减,所以
t

H (t ) min = H (2) = ?9 ;∴ m < ?9 ,由 g ' (3) = 27 + (4 + m) × 3 ? 2 > 0 ,解得 m > ?
综上得: ? 37 < m < ?9. 所以当 m 在 ( ? 37 ,?9) 内取值时,对于任意的 t ∈ 3 3

[1,2],函数

37 ; 3

?m ? g ( x) = x 3 + x 2 ? + f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极值。 2 ? ?
22. 解: 1) ( 由条件焦点 F (0, ? 则b = ?
p 2

P p p ), l : y = ? , 准线 ∵圆 M 关于 l 对称, ∴圆心坐标为 (0, ? ) , 2 2 2

, p + 1 = 3, p = 2, b = ?1 。

所以抛物线 C 的方程为 x 2 = 4 y ,圆 M 的方程 x 2 + ( y + 1) 2 = 1 (2) 由 4 2 = 4m( m > 0) ,得 m = 4 ,A 的坐标为 (4, 4)

假设抛物线上存在点 B (t ,

t2 )(t ≠ 0且t ≠ 4) ,使得经过点 O, A,B 的圆和抛物线 C 在点 B 处 4

有相同的切线。设该圆圆心坐标为 N ( a, b), 则

{

NO = NA NO = NB ,即

{

a 2 + b 2 = ( a ? 4) 2 + ( b ? 4) 2 a 2 + b 2 = ( a ?t ) 2 + ( b ? t2 2 ) 4

解得

{

t 2 + 4t (1) 8 t 2 + 4 t + 32 ,而抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 k (2) b= 8 a =?

= y ′ x =t =

t ,又切线与 NB 垂 2

第 10 页 共 11 页

t2 b? 4 ? t = ?1 , 即 2a + bt ? 2t ? 1 t 3 = 0 ,将(1 ) 直, 且 t ≠ 0 ,所以 (2)式 代入得 a ?t 2 4
t 3 ? 2t 2 ? 8t = 0 ,即 t (t ? 4)(t + 2) = 0, 又 t ≠ 0且t ≠ 4 ,解得 t = ?2
故满足题设的点 Q 存在,其坐标为 ( ?2,1) 。

第 11 页 共 11 页


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