当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)


2008 年安徽省高中数学联赛初赛试题
1.若函数 y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转 π2 后,与函数 y=g(x)的图象重合,则( (A) g(x)=f?1(?x) (B) g(x)=f?1(x) (C) g(x)=?f?1(?x) (D) g(x)=?f?1(x) 2.平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为( ) . (A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分

(C) 抛物线的一部分 (D) 矩形 3.下列4个数中与 cos1?+cos2?+...+cos2008?最接近的是( ) . (A)?2008 (B)?1 (C)1 (D)2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有( )个钝角. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$ ) .

15.设⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,⊙O3 分别与⊙O1,⊙O2 外切于 C,D, 直线 EF 分别与⊙O1,⊙O2 相切于点 E,F,直线 CE 与直线 DF 相交于 G,证明:A,B,G 三点共 线.

5.12008 写成十进制循环小数的形式 12008=0.000498...625498...625...,其循环节的长 度为( ) (A)30 (B)40 (C)50 (D)60 6.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008,则 a_0,a_1,...,a_2008 中共有 ( )个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 1881 7.化简多项式 sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ). 8.函数 f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( ). 9.若数列{a_n}满足 a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正 周期 2008,则 a_1=( ). 10.设非负实数 a_1,a_2,...,a_2008 的和等于 1,则 a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1 的最大值为( ). 11. 设点 A(1,1),B,C 在椭圆 x^2+3y^2=4 上.当直线 BC 的方程为( )时, DeltaABC 的面积最大$.

参考答案 1.D 2.D 3.B 4. B 5.C 6.D 7.$C_n^m$ 8.$(-4/5sqrt10,sqrt10] 9.(错题) 10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.2007 13. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$ 14. 思路:先用反证法证明存在$N,使 a_N<=N+1;接着用数学归纳法证 n>=N 时, n-2<=a_n<=n+1$; $最后证 n>=N 时,a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$. 这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数 m(>=a_N),m 都在数列{a_n}中, 结论正确. 15. 利用根轴概念,只需证明$C,D,E,F 四点共圆,以 A(或 B)为中心进行反演不难得证!

13.将6个形状相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各2个)随机放入3个盒子中,每个 盒子中恰放2个小球,记 η 为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求 η 的分布.

14.设 a1≥1,an=[nan?1?????√](n≥2),其中[x]表示不超过 x 的最大整数. 证明:无论 a1 取何正整数时,不在数列{an}的素数只有有限多个.

第 1 页

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 的值域是
2

11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ?A ,?B ,?C 的平分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

.
x

2.函数 y ?

的图象与 y ? e 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称. . .

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? t ?1 t ?1

5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于
3 2

.

6.设 a ,b ,c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,则 a ,b ,c 应 满足的充分必要条件是 . 12.(22 分)桌上放有 n 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多 n ? 1 根火柴, 此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴者获胜. 问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

??? ? ??? ? ??? ? ???? 7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC , 0 ? x, y, z ? 1 ,
动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 ? an ? 满足 a1 ? 0 , an ? . .

2 , n ? 2 .求 an 的通项公式. 1 ? an ?1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

第 2 页

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: ? 4 ? 2 5,8 ? .

5. 答案: 1 ? 3 提示: 在复平面上, A(?1, 0) , (1,0) , (0,1) , 设 则当 Z 为 ?ABC 的费马点时, z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| B C | 取得最小值,最小值为 1 ?

?

?

3 2 3 2 3 ? ? ? 1? 3 . 3 3 3

提示:因 0 ? x ? 4 ,设 x ? 2 ? 2cos ? ( 0 ? ? ? ? ) , 则 y ? 4cos ? ? 2sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 4 (其中 cos ? ?

2 1 , sin ? ? , ? 为锐角) , 5 5
? ?

6. 答案: b ?

a2 a3 a ? . ?1 且 c ? 27 3 3
3 2

所以当 ? ? 0 时, ymax ? 8 ,当 ? ? ? ? ? 时, ymin ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? 4 ? 2 5,8 ? . 2. 答案: 1 ? ln(1 ? x) 提示:因两函数图象关于直线 x ? y ? 1对称,所以 x ? y ? 1 , y ? 1 ? x , ∴1 ? x ? e 3. 答案: ?
1? y

提示:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x ? ax ? bx ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ?a ? 3? , b ? (? ? 1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ? 1) ? 3? ? 1 ,
2

,解得 y ? 1 ? ln(1 ? x) .

? a2 b? ?1 ? ? 3 消去 ? 得 ? , 这就是所求 ?c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 3 ?c ? a ? a ? 27 3 ?
要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中 个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖的平 域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即 12 6 .

的 充

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角

1 1 ? ,则 ? 的 两 倍 . ∵ tan ? ? 2 , ∴ cos 2 ? ? 2 1 ? tan ? 3 1 2 c o s 2 ? 2 c o ? ? ?1? . ? s 3
4. 答案: 5

的 三 面 区

8. 答案:

6 7
3
3

x2 y2 ? ? 1 知, t ? 1, 提示:由椭圆方程 t ?1 t ?1
设其参数方程为 ?

提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C8 个三角形,其中直角三角形有12 ? C4 个,所 求“构成直角三角形”的概率是 . 二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an ? 2 ?
3 12 ? C4 6 ? . C83 7

? x ? t ? 1cos ? ? ? y ? t ? 1sin ? ?
2 t ?1
2

( ? 为参数)代入双曲线方程 xy ? 1 ,得 sin 2? ?

2 t 2 ?1

因两曲线相切,∴

? 1 ,故 t ? 5 .

4 ? 2an ?1 1 ? an ?1 , an ? 1 ? ,????(10 分) 1 ? an ?1 1 ? an ?1

第 3 页



an ? 2 a ?2 a ?2 (?2) n ? 2 .?(20 分) ? (?2) ? n ?1 ? (?2) 2 n ? 2 ? ? ? (?2) n ,于是 an ? (?2) n ? 1 an ? 1 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1
2



ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此时所取的火 2

柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ? 2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴;若 m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 , 剩余 ni ? 2ni ? 2 根火柴, 甲无法获胜. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 . 因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. ????(22 分)

?n ? n ? 24 ? 0 mod 2 ?n 2 ? n ? 0 mod 3 ? 2 ? ?n ? n ? 24 ? 0 mod 3 2 10. 解: 2010 | n ? n ? 24 ? ? ? ?n 2 ? n ? 1mod 5 ??(10 分) 2 ?n 2 ? n ? 43mod 67 ?n ? n ? 24 ? 0 mod 5 ? ?n 2 ? n ? 24 ? 0 mod 67 ?
又 n2 ? n ? 0mod3 ? n ? 0 或 2 mod 3 , n2 ? n ? 1mod5 ? n ? 2mod5 ,

n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56mod67 ,故所求最小正整数 n ? 77 .????(22 分)
11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. ????(10 分) 不妨设圆半径为 1,则有 S?ABC ? 由于 sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C

1 1 (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ) , S?DEF ? (sin A ? sin B ? sin C ) . 2 2

1 1 1 ? (sin 2 A ? sin 2 B) ? (sin 2 B ? sin 2C ) ? (sin 2C ? sin 2 A) 2 2 2
? sin( A ? B)sin( A ? B) ? sin( B ? C )sin( B ? C ) ? sin(C ? A)sin(C ? A) ? sin( A ? B) ? sin( B ? C ) ? sin(C ? A) ? sin A ? sin B ? sin C
∴ ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. ????(22 分) 12. 解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为: n1 , n2 , n3 ,?,不难发 现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明:

(1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ; (3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . ??????????????(10 分) 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 ni ? 2 ? 当1 ? k ?

ni ? ni ?1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2
第 4 页

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛试题
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 .以 X 表示集合 X 的元素个数 . 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 ,
C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10 a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10,则 . a? 3.已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 , 则 . f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为 4 . 设 展 开 式 (5 x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? a n x n,n ? 2 0 1 1 若 . a2011 ? max( a0 , a1 ,?, an ) ,则 n ? . 5 . 在 如 图 所 示 的 长 方 体 ABCD EFGH 中 , 设 P 是 矩 形 ? 线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若 AB ? 3 , EFGH的中心, . AD ? 2 , AE ? 1 ,则 PQ ? 6. 平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧滚动, 其扫过区域的面积为 . 7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点

解答
第5题

,则直线 AB 与 x 轴的交 A, B 分别对应复数 z , z ?1( z ? R ) 点对应复数 (用 z 表示). 第6题 8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造 四边形,得到矩形的概率为 . 二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) a ? ? ? an?2 9.已知数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? 1 , a n ? 1 ? 1 ( n ? 3) ,求 a n 的通项公式. 4 1 1 1 1 ??? ? . 10.已知正整数 a1 , a 2 ,?, a n 都是合数,并且两两互素,求证: ? a1 a 2 an 2 11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大可能值. 12.设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) , D 在双曲线 x ? y ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双 1 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ? 上. 2
2 2

10. 2. {32}. 2413. 17 5. . 4 6. 6ar ? 4 π r 2 . z?z 7. . 1 ? zz 3 8. . (n ? 1)( n ? 3) a ? ? ? an?2 a 9. an ? 1 ? 1 ? an ?1 ? n?2 4 4 a a ? 1? 1 ? an ? n ?1 ? ? an ?1 ? n ? 2 ? ? ? ? n ?1 2 2? 2 ? 2 . 2 n?1 2 10.设 a k 的最小素因子 p k ,因为 a k 不是素数,所以 a k ? p k . 于是
? 2 n?1 a n ? 2 n?2 a n?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ? n

1. 2. 3. 4.

第 5 页

?a ?? p
k ?1 k k ?1

n

1

n

1
2 k

?

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2

1 n 1 ? ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c ?
f ( x) ?
3 3 2

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .

12.设 D( x1 , y1 ),E ( x2 , y 2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则 x 2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 ,x1 x2 ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 2 2 1? k 1? k 4 y1 y2 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1
x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3 x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

把①代入上式,得 x ?

1 . 2

第 6 页

2012 年安徽高中数学竞赛初赛试题

第 7 页

第 8 页


更多相关文档:

2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区...cos 2 ? ? cos 2008 最接近的是( )(A)-2008 (B)-1 (C)1 (D)2008...

2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽省高中数学联赛初赛试题 1.若函数 y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转...

2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1....

2012 安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2012 安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012 安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)2007...

2008年安徽高中数学竞赛初赛试题及答案

2008年安徽高中数学竞赛初赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽...2012 安徽近四年年高中... 25页 2下载券 2008-2012安徽近四年年高... 8...

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育...a2008a1 的最大值为 4 11,设点 A(1,1), B...执业医师实践技能考试模拟试题1028988份文档 教学总结...

2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案

2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00-11:...

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30)...

2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题答案详解内涵近8年安徽省数学竞赛初试试题以及答案注:2009及2012为中等数学扫描版 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一....

2014年安徽省数学竞赛初赛试题答案

2014年安徽省数学竞赛初赛试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014安徽数学预赛试题答案1 2 3 今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 ...
更多相关标签:
安徽省物理竞赛初赛 | 2016安徽数学竞赛初赛 | 2016安徽化学竞赛初赛 | 高中化学竞赛初赛试题 | 高中物理竞赛初赛试题 | 2015化学竞赛初赛试题 | 物理竞赛初赛试题 | 2014化学竞赛初赛试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com