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高一数学(解三角、不等式、数列)复习(易)


高一下向量、解三角形、数列复习题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120,那么 a1 ? a10 的值是 ( (A).12 (B).24 (C).36 (D).48 )
2



2.如果 a, b ? R ,并且 a > b ,那么下列不等式中不一定成立

的是( (A) - a < - b (B) a - 1 > b - 2 (C) a - b > b - a

(D) a > ab

3.已知两座灯塔 A 和 B 与观测站 C 的距离都等于 10 km ,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 40 ,灯塔 B 在观 测站 C 的南偏东 20 ,则灯塔 A 和 B 的 距离为( (A) 10 km (B) 10 2km ) (D) 15km
n 2 2 2 2

(C) 10 3km

4.等比数列 ?an ? 中,已知对任意自然数 n ,a1+a2+a3+…+an=2 -1,则 a1 +a2 +a3 +…+an 等于

(

)

(A).

4n ? 1 3

(B). (2 n ? 1) 2

(C). 4 ? 1
n

(D). 2 ? 1
n

5.已知 a ? (sin? , 1 ? cos ? ), b ? (1, 1 ? cos ? ) ,其中 ? ? (? , (A) a // b (B) a 与 b 的夹角为 45 ? (C) a ⊥ b

3? ) ,则一定有 2
(D) | a |?| b |

( )

6.若 a 与 b 的夹角为 60°,| b |=2, (a +b ) · ( a -2 b )=-2,则向量 a 的模是 (A)2 (B)5 (C)3 ) (D) 150 (D) 6





7、在△ABC 中, (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 A ? ( (A) 30 (B) 60 (C) 120

8.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是( ) (A) b ? 10, A ? 45 , C ? 70 (C) a ? 7, b ? 5, A ? 80 9.已知△ABC 的面积为 (A) .30° (B) a ? 60, c ? 48, B ? 60 (D) a ? 14, b ? 16, A ? 45

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则∠A 等于 ( 2
(C) .60°



(B) .30°或 150°

(D) .60° 或 120°

1 ) < 0 的解集是 ( ) a ? ? ? ? 1 ? ? 1 1? (A) ? x x ? 或x ? a? (B) ? x a ? x ? ? (C) ? x ? x ? a ? (D) ? x x ? a或x ? a a? ? ? ? ? a ? ?
10.若 - 1 < a < 0 ,则不等式 a ( x - a )( x -

11.设 ?ABC的三内角 A,B,C 成等差数列,sinA,sinB,sinC 成等比数列,则这个三角形的形状是( ) (A) .直角三角形 (B)钝角三角形 (C) .等腰直角三角形 (D) .等边三角形 12.某人自 2006 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期),若年利率为 r 保持不变,且每年到期存款 自动转存为新的一年定期,到 2010 年 1 月 1 日不再存入,并将所有存款及利息全部取出,则他可取回的钱 数为(单位为元) ( ) (A) a(1 + r )
5

1? ? a?

(B)

a [(1 + r )5 - (1 + r )] r

(C) a(1 + r ) (D)

6

a [(1 + r )6 - (1 + r )] r

二、填空题(每小题 分,共 分) 13.数列 ?bn ? 的通项公式 bn = 2n - 49 ,则 ?bn ? 的前 n 项和取得最小值时, n 等于 14.已知 a ? 5, b ? 3, a ? b ? 7, 则向量 a 与 b 的夹角为_______ 15.在数列 ?an ? 中, a1 = 1 , an+ 1 = 16.给出下列命题: ①常数列既是等差数列,又是等比数列;② A, B是?ABC的内角,且 A ? B,则sin A ? sin B ;③在数列

2 2an n ? N ? ,则 是这个数列的第 7 an + 2



?an ? 中,如果 n 前项和 S n ? 2n 2 ? 1 ,则此数列是一个公差为

4 的等差数列;④若向量 a, b 方向相同,且

| a |> | b | ,则 a + b 与 a - b 方向相同;⑤ ?an ? 是等比数列, Sn 为其前 n 项和,则 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 成
等比数列。则上述命题中正确的有 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知等差数列 ?an ? , d ? 0 , a5 = 8 ,且项 a5 , a7 , a10 分别是某一等比数列 ?bn ? 中的第 (填上所有正确命题的序号)

1,3,5 项,⑴求数列 ?an ? 的第 12 项 ⑵求数列 ?bn ? 的第 7 项

18 . (本 小题 10 分) 在 △ABC 中 , BC ? a, AC ? b.且a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的 两个 根,又
2

2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

19. (本小题 12 分)等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

20. (本小题 12 分)已知向量 a =(3,-4) ,求: (1)与 a 平行的单位向量 b ; (2)与 a 垂直的单位向量 c ; (3)将 a 绕原点逆时针方向旋转 45°得到的向量 e 的坐标.

21. (本小题 12 分)数列 ?an ? 中,已知 a1 = 1 , a n ?1 ? a n ?

n ?1 , 求a n 2n

22. (本小题 14 分)锐角△ABC 中,内角 A, B, C 所对边 a, b, c , 向量 m = (2sin( A + C), 3) , n = (cos 2 B, 2 cos ⑴求角 B
2

B - 1) ,且向量 m, n 共线, 2

⑵若边 b = 1 ,求△ABC 的面积的最大值

高一下向量、解三角形、数列复习题
BDCAC CBDDA DB

答案

13.24

14. 120

0

15.6

16.②④⑤

2 17.解:① a7 ? a5 ? a10

----4 d ? 0 ?a 4d ?8 ? d ? 2 分 1 ?0 ?

? a12 ? a5 ? 7d ? 22 ----------6 分
② b1 ? a5 ? 8, q ?
2

a7 a1 ? 6d ? ? 3? b7 ? 216 ------10 分 a5 a1 ? 4d
1 2

18.解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

? C=120°--------4 分

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2 ---------6 分
2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10 --------------------------------10 分
19.解:设数列 ?an ? 的公差为 d , 则 a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .------------2分
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 ,------------4分
2 整理得 10d ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 .------------6分

当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 .------------8分 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ?

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 .------------12分 2
3 4 3 4 ,- )或 b=(- , ). 5 5 5 5 4 3 4 3 , )或 c=(- ,- ). 5 5 5 5

20.解: (1)设 b=λ a,则|b|=1,b=(

(2)由 a⊥c,a=(3,-4) ,可设 c=λ (4,3) ,求得 c=( (3)设 e=(x ,y) ,则 x2+y2=25. 又 a·e=3x-4y=|a||e|cos45°,即 3x-4y = 或 e=(-
2 7 2 ,- ) , 2 2

7 2 2 25 ,- ) , 2 ,由上面关系求得 e=( 2 2 2

而向量 e 由 a 绕原点逆时针方向旋转 45°得到,故 e=( 21.解:由已知可得: a n ?1 ? a n ? 即

7 2 2 ,- ). 2 2

n ?1 2n

2 21 3 a3 ? a 2 ? 2 2 a 2 ? a1 ?
. . . . . .

2 2 3 4 n S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 设 (1) 2 2 2 2 2 3 4 n 2S ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 (2) 则 2 2 2 2 1 1 1 1 n (2)-(1)得: S ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n?2 ) n 2 =2? 2 ------------10分 ? n?1 1? 2 2 1 1 (1 ? n?2 ) n 5 4?n 2 则 ------------12分 an ? 3 ? 2 ? n?1 ? ? n?1 1? 2 2 2 2 2 B ? 1) ? 3 cos 2 B 22.解:①? 向量 m, n 共线,? 2 sin( A ? C )( 2 cos 2
即 2sin B cos B ? 3 cos 2B tan 2B ? 3

a n ? a n ?1 ?

n
n ?1

叠加后可得: a n ? a1 ?

2 3 4 n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ----4分 1 2 2 2 2

0 ? 2B ? 180 ? 2B ? 60 ? B ? 30 -------6分
② b ? a ? c ? 2ac cos B ?1 ? a ? c ? 2ac
2 2 2 2 2

3 ------------8分 2

? a2 ? c2 ? 1 ? 3ac ? 2ac

? ac ?

1 ? 2 ? 3 ---- --------12分 2? 3

? S ?ABC ?

1 1 1 (2 ? 3 ) ac sin B ? (2 ? 3 ) ? ? ----------------------14分 2 2 2 4


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