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用平面的法向量解高考立体几何试题


用平面的法向量解高考立体几何试题
蒋朱海 平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料 中都没有提及它的应用, 其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠, 是解立体几何题的锐 利武器,开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,也能 顺利解决 2005 年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法

向量与平面垂直 如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂 直于平面 ? ,记作 a ? ? 。 平面的法向量 如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量, 进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下: 在给定的空间直角坐标系中,设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y,1) [或 n ? ( x,1, z) ,或

n ? (1, y, z) ],在平面 ? 内任找两个不共线的向量 a , b 。由 n ? ? ,得 n ? a ? 0 且
n ? b ? 0 ,由此得到关于 x, y 的方程组,解此方程组即可得到 n 。有时为了需要,也求法
向量 n 上的单位法向量 n0 ,则 n0 ?

n 。 n
D1 A1 z B1 C C1

例 1 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 求平面 ACD1 的法向量 n 和单位法向量 n0 。 解:建立空间直角坐标系,如图 1,则 A(1, 0, 0) ,

D A B 图1 x

y

C (0,1, 0) 。设平面 ACD1 的法向量 n ? ( x, y,1) 。
得 AC ? (?1,1,0) , AD1 ? (?1,0,1) 。 又 n ? 面 ACD1 ,得 n ? AC , n ? AD1 。有 ?

?( x, y,1) ? (?1,1, 0) ? 0 ?x ? 1 ,得 ? 。 ?( x, y,1) ? (?1, 0,1) ? 0 ?y ?1

? n ? (1,1,1) , n0 ?

n (1,1,1) 3 3 3 ? ?( , , )。 n 3 3 3 1?1?1

二、平面法向量的三个引理 为了能方便地运用平面法向量解题,特介绍平面法向量的三个引理,以此为工具,可以 顺利地解决立体几何问题。

引理 1 设向量 n0 是平面 ? 的单位法向量,点 B 是平面 ? 外一定点,点 A 是 ? 内任意一 点,则点 B 到平面 ? 的距离 d ? AB ? n0 。 证明:如图 2,过 B 作 BO 垂直平面 ? 于 O,在 平面 ? 上任取一点 A,则 ?ABO 为 AB 与 n 的夹 角,设为 ? 。 在 Rt ?ABO 中, BO ? d , 得 d ? AB ? cos ? ? AB ? B n

?
? AB ? n n ? AB ? n0 。

A 图 2

O

AB ? n AB ? n

例 2 在例 1 中,求点 A 1 到平面 ACD 1 的距离。 解析:由例 1 的解答知,平面 ACD1 的单位法向量 n0 ? (

3 3 3 , , ), 3 3 3

d ,则 又 AA 1 到平面 ACD 1 的距离为 1 ? (0,0,1) ,设点 A

d ? AA1 ? n0 ? (0, 0,1) ? (

3 3 3 3 , , )? 。 3 3 3 3

所以,点 A 1 到平面 ACD 1 的距离为

3 。 3

说明: 利用引理 1 求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多, 它省去了作图、 证明等推理论证,直接通过向量运算得到正确的结果。 引理 2 设 AB 是平面 ? 的斜线, BO 是平面 ? 的垂线, AB 与平面 ? 所成的角 ?BAO ? ? , 向量 AB 与 n 的夹角 ?ABO ? ? (见图 2) ,则 sin ? ? cos? ? 例 3 在例 1 中,求直线 AA1 与平面 ACD1 所成的角。 解析:由例 1 知, n ? (1,1,1) , AA 1 ? (0,0,1) ,

AB ? n AB ? n

。 (证略)

1 3 3 ,即 ? ? arcsin 。 ? ? ? sin ? ? 3 3 3 AA1 ? n
引理 3 如图 3,设向量 n1 与 n2 分别是二面角 图 3

AA1 ? n

n1 ?

n2

?

? ? l ? ? 中的两个半平面 ? , ? 的法向量,

则向量 n1 与 n2 的夹角 ? n1 , n2 ? 的大小就是 所求二面角或其补角的大小。 (证略) 例 4 在例 1 中,求二面角 D1 ? AC ? D 的大小。 解:由例 1 知,平面 ACD1 的法向量是 n1 ? (1,1,1) ,平面 DAC 的法向量是 n2 ? (0,0,1) , 设二面角 D1 ? AC ? D 的大小为 ? ,则

cos ? ?

3 n1 ? n2 (1,1,1) ? (0,0,1) 3 ,得 ? ? arccos 。 ? ? 3 n1 ? n2 3 3

说明:由于法向量的多样性,二面角的两个半平面的法向量 n1 与 n2 的夹角可能等于所求 二面角的平面角,如本例;也可能等于二面角的平面角的补角,如若 n2 ? (0,0, ?1) , 则 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 3 ?? ? ? cos ? , n1 ? n2 3
3 3 。 ) ? arccos 3 3

于是 ? ? ? ? ? n1 , n2 ?? ? ? (? ? arccos

如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢?一靠经验: 通过题目估计它 是钝角还是锐角,同类相等,异类互补;二用半平面旋转法:把二面角的一个半平面绕棱 l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时, 若两个半平面的法向量的方向相同, 则相等, 若方向相反,则互补。 三、利用法向量解 2005 年高考立体几何试题 例 5 (05 江西 理)如图 4,在长方体 ABCD ?

A1B1C1D1 中,AD= AA1 =1,AB=2,点 E 在棱 AB
上移动。 (Ⅰ)证明: D1E ? A 1D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 A1 A x

z D1 B1 D E 图4 B C1 C y

ACD1 的距离;
(Ⅲ)AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 。 4

分析 本题是立体几何试题的常见题型,考查的是传统内容。证线线垂直,求点到平面的 距离,求二面角的大小,可用传统的几何方法求解,也可利用向量法求解。下面给出向量法 求解。

解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AE ? a ,则 A1 ( 1 ,0,1 )

, D1 (0,0,1) , E (1, a, 0) ,

A(1, 0, 0) , C (0, 2,0) 。
(Ⅰ)证明:由 DA 1 ? (1,0,1) , D 1E ? (1, a ? 1, ?1) ,

DA1 ? D1E ? (1,0,1) ? (1, a ?1, ?1) ? 1 ?1 ? 0 ,有 DA1 ? D1E ,于是 D1E ? A1D 。
(Ⅱ)E 是 AB 的中点,得 E (1,1, 0) 。

? D1E ? (1,1, ?1) , AC ? (?1, 2,0) , AD1 ? (?1,0,1) 。
设平面 ACD1 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,单位法向量为 n0 ,

?x ? 1 ? ?( x, y,1) ? (?1, 2,0) ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? n ? AC ? 0 ? 由? ,解得 ? ?? ?? 1。 y? ? ?( x, y,1) ? (?1,0,1) ? 0 ?? x ? 1 ? 0 ? ? n ? AD1 ? 0 ? 2

1 (1, ,1) 1 2 1 2 2 于是 n ? (1, ,1) ,有 n0 ? ? ( , , )。 2 3 3 3 1 1? ?1 4
设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,则

2 1 2 1 d ? D1E ? n0 ? (1,1, ?1) ? ( , , ) ? 。 3 3 3 3
所以点 E 到平面 ACD1 的距离为

1 。 3

(Ⅲ)平面 DEC 的法向量 n1 ? (0,0,1) ,设平面 D1EC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) 。 又 EC ? (?1,2 ? a,0) , D1C ? (0,2, ?1) 。 由?

? ?( x, y,1) ? (?1, 2 ? a,0) ? 0 ?n2 ? EC ? 0 ,得 ? ?( x, y,1) ? (0, 2, ?1) ? 0 ? ?n2 ? D1C ? 0

a ? x ? 1? ? ?? x ? y(2 ? a) ? 0 a 1 ? 2 ,解得 ? ,于是 n2 ? (1 ? , ,1) 。 ?? 2 2 ?2 y ? 1 ? 0 ?y ? 1 ? ? 2

设所求的二面角为 ? ,则 ? ?

?
4



a 1 (0,0,1) ? (1 ? , ,1) 2 2 ? 2 ,得 (1 ? a ) 2 ? 1 ? 1 ? 2 。 有 cos ? ? cos ? DD1 , n2 ?? 2 4 2 a 1 (1 ? )2 ? ? 1 2 4
解得 a ? 2 ? 3 , 所以,当 AE= 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 例 6 (05 全国卷Ⅱ)如图 5,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD, E,F 分别 CD、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。 分析:本题考查的是立体几何的重点内容:直线与平面 垂直和直线与平面所成的角,考查空间想像能力和推理 论证能力,本题也是一题两法。 (Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系(如图 5) ,设 AD= x C F E

? 。 4
z P

D A

B 图 5

y

PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) ,则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), F ( a,

1 1 , ). 2 2

1 1 , ) , PB ? (2a,1, ?1) , AB ? (2a,0,0) 。 2 2 1 1 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 ,得 EF ? AB ,即 EF ? AB , 2 2 同理 EF ? PB ,又 AB PB ? B , 所以,EF ? 平面 PAB。
得 EF ? (0, (Ⅱ)解:由 AB ?

2BC ,得 2a ? 2 ,即 a ?

2 。 2

得 E(

2 1 1 2 , , ) , C( 2,0,0) 。 , 0, 0) , F ( 2 2 2 2
1 1 2 , ?1, 0) , EF ? (0, , ) 。 2 2 2

有 AC ? ( 2, ?1,0) , AE ? (

设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,

1 1 1 ? ?1 ( x, y,1) ? (0, , ) ? 0 y? ?0 ? ? ?n ? EF ? 0 ? 2 2 2 ? ? y ? ?1 ? ?2 由? ,解得 ? 。 ?? ?? ? ? ?x ? ? 2 ?( x, y,1) ? ( 2 , ?1, 0) ? 0 ? 2 x ? y ? 0 ?n ? AE ? 0 ? ? ? 2 ? 2
于是 n ? (? 2, ?1,1) 。 设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , AC 与 n 的夹角为 ? AC, n ? 。 则 sin ? ? cos ? AC, n ? ?

AC ? n AC ? n

?

( 2, ?1,0) ? (? 2, ?1,1) 2 ?1? 0 2 ?1?1

?

3 。 6

得 ? ? arcsin

3 。 6 3 。 6

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin

说明:用传统的几何方法,在限定的时间内,很难找到 AC 与平面 AEF 所成的角。而 利用平面的法向量解题,可顺利地避开这一切麻烦,只要找到平面的法向量 n ,利用向量间 的代数运算,可方便简捷地解决此题。 利用法向量也可顺利求解 2005 全国卷Ⅰ第 18 题: 如图 6 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯 P M 0 形,AB//DC, ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD, 且 PA=AD=DC=

D C (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; 图 6 (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。 解: (略) 说明:本题求二面角的大小,由于不易找到二面角的平面角,无论是用传统的几何方法还 用一般的向量方法,都很不易解决,这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一,如果 采用平面的法向量解题,情况就大不相同了,请大家仔细体会。 以上介绍了平面的法向量及其几个引理,以此为工具,解决了立体几何中的部分难题。利 用平面法向量解题,方法简便,易于操作,可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦,又可 弥补空间想像能力的不足,发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能,平面法向题将在 数学解题中起到越来越大的作用。

1 AB ? 1 ,M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD;

A

B


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