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广东省惠州市2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


惠州市 2015-2016 学年第一学期期末考试 高 二 数 学 试 题 (文科)
2016.1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分; 共 6 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
2 1.若“ x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真

命题的个数是( A.1

) B.2 C.3 ) D.0

2.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是( A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

3.如图,在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒芝麻(芝麻落到任何位置的 可能性相等) , 恰有 40 粒落入半径为 1 的圆内, 则该多边形的面积约为 ( A. 4? B. 5?
2



C. 6?

D. 7? ) D. 2 )
第 3 题图

4.直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 3 截得的弦长等于( A. 2 B. 4 C. 2 2

2 2 5.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1

? ?a ? ? bx ?中 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表,根据表可得回归方程 y
? 为 9.4 ,据此预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( 的b
广告费用 x (万元) 销售额 A.63.6 万元 4 49 2 26 ) 3 39 5 54 D.72.0 万元

y (万元)
B.65.5 万元

C.67.7 万元

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的 最大整数) ( A. 6 ) B. 9 C. 10 D. 13

8.抛物线 y 2 ? ?12x 的准线与双曲线 成的三角形的面积等于 ( A. 3 3 B. 2 3 )

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所围 9 3

C. 2

D. 3
第7题

9.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得 极大值 10,则 2 A.- 3

a 的值为( b
B.-2

) 2 C.-2 或- 3 D.不存在

10.某市要对 2000 多名出租车司机的年龄进行调查,现从 中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在 ? 20, 45? 岁之间, 根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布 直方图如图 3 所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该 市出租车司机年龄的中位数大约是( A. 31.6 岁 B. 32.6 岁 ) D. 36.6 岁
第 10 题

C. 33.6 岁

11. 从 1, 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数, 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( A.

)

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

2

x2 y 2 12. 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 , 若在椭圆 C1 上存在点 P , a b
过 P 作圆的切线 PA , PB ,切点为 A , B 使得 ?BPA ? 是( A. [ )

?
3

, 则椭圆 C1 的离心率的取值范围

3 ,1) 2

B. [

2 3 , ] 2 2
第Ⅱ卷

C. [

2 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。请将答案填在答题卡相应位置。 13.某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩下的为 50 岁及以上的人, 用分层抽样法从中抽取 20 人, 50 岁及以上的职工应抽取的人数为________. 14.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a =_____________. 15. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点, 当 | AM | ? | MF | 最小时, M 点坐标是_____________. 16.若 f ( x) ? ?

1 2 ? x ? 2 ? ? b ln x 在 ?1, ??? 上是减函数,则 b 的最大值是________. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知命题 p :方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 2 m
2

命题 q :关于 x 的方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实根. 若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.

3

18. (本小题满分 12 分) 某工厂甲、 乙两个车间包装同一种产品, 在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品, 称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶如图所示. (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的 均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两 件样品重量之差不超过 2 克的概率. 第 18 题

19.(本小题满分 12 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? a) .
2

若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在 [ ?

3 ,1] 上的最大值和最小值. 2

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已 知 圆 C 的 圆 心 为 C (m,0)(m ? 3) , 半 径 为 5 , 圆 C 与 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1 a b
(a ? b ? 0) 有一个交点为 A(3,1) , F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 ? 4, 4 ? ,试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出 椭圆 E 和直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由.

4

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 ? 2,1? . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? t ,与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 相切且与抛物线交于不同的两点 M ,

N ,当 ?MON 为直角时,求△ OMN 的面积.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 1 ,判断函数 f ( x) 是否存在极值,若存在,求出极值; 若不存在,说明理由; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

1 x

a ,若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x

求实数 a 的取值范围.

5

惠州市 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学试题(文科)参考答案与评分标准 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A 9 A 10 C 11 B 12 A

1. 【解析】逆命题是若“ x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”,为真命题;否命题是若 “ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 2 ”为真命题; 逆否命题是若“ x ? 2 , 则 x 2 ? 3x ?2 ? 0 ”, 为假命题;所以真命题的个数为 2,故选 B.
ln x ? x ? 1 , 2. 【解析】 由特称命题的否定为全称命题可知, 所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) ,

故应选 C. 3. 【解析】由几何概型的应用可知

40 S圆 ? ,求得 S多 ? 5? 200 S 多

4. 【解析】圆心 ? ?1,0? 到直线的距离为 2 ,所以所求弦长为 2

? 3? ? ? 2 ?
2

2

?2.

|k| 2 2 5. 【解析】 : 要使直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交, 则有圆心到直线的距离 d= 2 ≤1. 即|k|≤ 2,所以- 2≤k≤ 2,所以“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相 交”的充分不必要条件,选 A. 6. 【解析】 x ?
2 2

4? 2?3?5 49 ? 26 ? 39 ? 54 ? 3.5, y ? ? 42 ,回归直线必过点 ( x, y ) , 4 4

? ?a ? 解得 a ? ? 9.1 ,所以加归方程 即 (3.5,42) 。将其代入 y ? ? bx ? 可得 42 ? 9.4 ? 3.5 ? a
? ? 9.4 x ? 9.1 。当 x ? 6 时 y ? ? 9.4 ? 6 ? 9.1 ? 65.5 ,所以预报广告费用为 6 万元时 为y
销售额为 65.5 万元,故 B 正确。

? ? ? 7. 【解析】执行第一次循环,S ? 5 ? ? ? 0 ? ? 5 ,n ? 1 ;执行第二次循环,S ? 5 ? ? 1 ? ? 6 , ? ? n?2; 执行第三次循环,S ? 6 ? ? 执行第四次循环,S ? 7 ? ? ? 2 ? ? 7 ,n ? 3 ; ? 3? ? 8 ,
n?4;

6

? 执行第五次循环, S ? 8 ? ? ? 4 ? ? 10 ,此时满足 n ? 4 的条件,退出循环,输出 S ? 10 .
3 8. 【解析】抛物线的准线为 x=3,双曲线的两条渐近线为 y=± 3 x. 1 所求三角形的面积 S=2×2 3×3=3 3.故应选 A. 9. 【解析】 由已知 f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , 所以 ?

? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0
2

?a ? ?2 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? a ? 7a ? 10 ?b ? 1
,?

或?

?a ? ?6 1 ,当 a ? ?2, b ?1 时, f '( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 ,此时 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 3 ?b ? 9

x ? 1 时 , f ' (x )? 0, 即 x ? 1 是 极 小 值 点 , 不 合 题 意 , 当 a ? ?6, b ? 9 时 ,
2 ) ,符合题意,因此 f ' ( x )? 3x ? 12 x? ? 93 (x ? 1)x(? 3

a 2 ? ? ,故选 A. b 3

10. 【解析】先求出 ? 25,30 ? 岁对应的频率为 0.2 ,根据中位数处左右各占 0.5 的原则知中位 数把线段 ?30,35? (即最高部分,占 0.35 )划分开的比例为 0.25 : 0.1 ,所以所求为

30 ?

0.25 25 ? 5 ? 30 ? ? 33.6 . 0.35 7

11. 【解析】任取两个数可能出现的情况为(1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (3,4) ; 符合条件的情况为(1,3) 、 (2,4) ,故 P ?

1 . 3

12. 【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB,则两切线形成的角 ?APB最小,若 椭圆 C1 上存在满足条件的点 P,则只需 ?APB ? 60 ? ,即 ? ? ?APO ? 30? ,

sin ? ?

b 1 3 3 ? sin 30 ? ? ,解得 c 2 ? a 2 , e2 ? ,即 e ? 3 ,又 0 ? e ? 1 ,即椭 a 2 4 4 2

圆 C1 的离心率的取值范围是 [

3 ,1) ; 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.答案:6. 1 14.2 15.(2,4) 16.-1

1 1 13. 【解析】∵抽样比例为5,∴35 岁以下应抽 45×50 岁及以上的应抽 30×5=6(人).
7

1 14. 【解析】因为 y′=2ax-x,所以 y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行 于 x 轴,故其斜率为 0, 1 故 2a-1=0,a=2. 15. 【解析】由题知点 A 在抛物线内.设 M 到准线的距离为|MK|,则|MA|+|MF|=|MA|+ |MK|, 当|MA|+|MK|最小时,M 点坐标是(2,4). 16. 【 解 析 】

f ' ( x) ? ?( x ? 2) ?

b ?0 x



(1













立.? b ? x( x ? 2), ?b ? 1? (1 ? 2) ? ?1. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

x2 y2 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,所以 m ? 2??2分 2 m 因为关于x的方程x 2 ? 2m x ? 2m ? 3 ? 0无实根,所以 ? ? 4m 2 ? 4(2m ? 3) ? 0, 解:因为方程 解得 ? 1 ? m ? 3                         .??4分
“ p ? q”为假命题,“p ? q”为真命题,等价于 p, q恰有一真一假?7分 ?m ? 2 当p真q假时, ,则m ? 3              .?? 8分 ? ?m ? ?1或m ? 3 ?m ? 2 当p假q真时, ,则 ? 1 ? m ? 2              .??9分 ? ??1? m ? 3

?? 1, 综上所述,实数 m的取值范围是 2? ? ?3, ? ? ?。        .??10分
2 2

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 x甲 、 x乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 , 则 x甲 ? 110 ?

?3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 4 ? 12 ? 113 . 6

?????????????????????1 分

x乙 ? 110 ?

?2 ? 1 ? 0 ? 2 ? 5 ? 14 ? 113 6

.

???????????????????????2 分
8

2 s甲 ?

1 2 6 ? 22 ? 22 ? 02 ? 12 ? 92 ? ? 21. ? 6 1 2 88 5 ? 42 ? 32 ? 12 ? 22 ? 112 ? ? . ? 6 3

?????????????????????3 分
2 s乙 ?

?????????????????????4 分 由于 s甲 ? s乙 ,所以甲车间的产品的重量相对稳定.
2 2

?????????????????5 分 ( 2 ) 设 “ 所 抽 取 两 件 样 品 重 量 之 差 不 超 过 2 克 ” 为 事 件

A .?????????????????6 分
总的基本事件有 15 个: ?124,115 ? 、 ?124,112? 、 ?124,110? 、 ?124,109? 、 ?124,108? 、

?115,112 ? 、 ?115,110 ? 、 ?115,109 ? 、 ?115,108? 、 ?112,110? 、 ?112,109? 、 ?112,108? 、 ?110,109? 、 ?110,108? 、 ?109,108? ,它们是等可能的.
???????????????????????????????????? ??8 分

1 0?110,109? 、 ?110,108? 、 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 4 个 : ?1 1 2 , ?1 、

?109,108? .????????9 分
所以 P ? A? ?

4 . 15

????????????????????????????????11 分 答:甲车间的产品的重量相对稳定;从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,所抽取两件样品 重 量 之 差 不 超 过

2











4 15

.

?????????????????????????????????12 分 19. (本小题满分 12 分) 解 :

? f ( x) ? ( x 2 ? 1)(x ? a) ? x3 ? ax2 ? x ? a
9

???????????????????1 分

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1
???????????????????????????2 分

? f ?(?1) ? 0

? 3 ? 2a ? 1 ? 0





a?2

??????????????????? ???3 分

1 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) 3
???????????????????????4 分 由

f ?( x) ? 0
1 3





x ? ?1



x??


?????????????????????????5 分

f ?( x) ? 0



1 ? 1 ? x ? ? ;????????????????????????????6 分 3 3 1 3 因 此 , 函 数 f ( x) 在 [ ? ,1] 上 的 单 调递 增 区 间 为 [ ? ,?1], [ ? ,1] , 单 调 递 减区 间 为 2 2 3 1 [?1,? ] 。 ?8 分 3

? f ( x)



x ? ?1















f (?1) ? 2



?????????????????????9 分

f ( x)



x??

1 3















1 50 f (? ) ? 3 27



??????????????????10 分 又

3 13 ? f (? ) ? , f (1) ? 6, 2 8
?????????????????????11 分



50 13 ? , 27 8

3 13 3 ? f ( x) 在 [ ? ,1] 上 的 最 大 值 为 f (1) ? 6, 最 小 值 为 f ( ? ) ? 。 2 2 8
??????????12 分 20. (本小题满分 12 分)
10

解: (1)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) , 将 点 A 的 坐 标 代 入 圆

C











(3 ? m)2 ? 12 ? 5,

??????????????????1 分 即

(3 ? m) 2 ? 4







m ?1



m?5

.

????????????????????????2 分

? m ? 3,? m ? 1
????????????????????????????????3 分 ∴ 圆



C









( x ?1) 2 ? y 2 ? 5

.

??????????????????????????4 分 (2) 依 题 意 , 可 得 直 线

PF1 的 方 程 为 y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即

kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .????????5 分
若 直 线

PF1





C









| k ? 0 ? 4k ? 4 | k 2 ?1

? 5



????????????????6 分

? 4k 2 ? 24k ? 11 ? 0







k?

11 2



k?

1 2

.

??????????????????7 分 当 k?

11 36 ?0 , 不合 题 意, 舍 时 , 直 线 PF1 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 2 11 1 2

去;??????????8 分 当 4,

k?







线

PF1



x



















??????????????????9 分 ,

?c ? 4, F1 (?4,0), F2 (4,0)
????????????????????????????10 分 ∴ 由 椭 圆 的 定 义


11

2a ?| AF1 | ? | AF2 |? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2


a ? 3 2,



a 2 ? 18,?b2 ? a 2 ? c 2 ? 2,

???????????????????????11 分 直线 PF1 能与圆 C 相切,直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为 ??12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (1) 设抛物线方程为 x 2 ? 2 py ,由已知得: 22 ? 2 p,? p ? 2 ,???2 分 所以抛物线的标准方程为 x 2 ? 4 y ; ??????????????????3 分

x2 y2 ? ?1 18 2

(Ⅱ)因为直线与圆相切,所以

| t ?1| 1? k
2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t , ??????4 分

把直线方程代入抛物线方程并整理得: x 2 ? 4kx ? 4t ? 0 , ????????5 分 由 ? ? 16k 2 ? 16t ? 16(t 2 ? 2t ) ? 16t ? 0 得 t ? 0 或 t ? ?3 , ????????6 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 4k , x x ? ? 4 t ? 1 2

????????????????7 分

? y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt( x1 ? x2 ) ? t 2 ? t 2 ??????????8 分
∵ ?MON 为直角∴ OM ? ON ? 0 ,解得 t ? 4 或 t ? 0 (舍去) ,????????9 分 ∵ | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 4 (1 ? k 2 )( t 2 ? 3t ) , 点 O 到直线的距离为 ????????????10 分

|t | 1? k 2



????????????????????11 分

∴ S ?MON ? 2 t 4 ? 3t 3 ? 16 7 . 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

????????????????????12 分

1 ? 2 ln x ,其定义域为 (0,??) . ???1 分 x
12

因为 f ?( x) ? 1 ?

1 2 x ?1 2 ? ?( ) ? 0 ,??????????????3 分 2 x x x

所以 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增,?????????????????4 分 所以函数 f ( x) 不存在极值. ??????????????????5 分

(2)由存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于 ax0 ? 2 ln x0 , 即 a ? 令 F ( x) ?

2 ln x0 成立??????????????7 分 x0

2 ln x , 等价于“当 x ? [1, e] 时, a ? F ( x) min ”. ??????8 分 x 2(1 ? ln x) 因为 F ?( x) ? ,且当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,??????9 分 x2
所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增,?????????????????10 分 故 F ( x) min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . ???????????????12 分

13


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