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排列组合经典例题


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除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 直接法 特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择,其余

2 位有四个可供选择,由乘法原理:=240 2.特殊位置法 (2)当 1 在千位时余下三位有=60,1 不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有=192 所以总 共有 192+60=252 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法=252 例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起 组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因而 可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,其中 0 在百位的有个,这是不合题意的。故共可组 成不同的三位数-=432(个) 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 法? 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有=100 中插入方法。 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种? 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排法,又乘法原理满足 条件的排法有:×=576 练习 1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种() 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多, 要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有()(注意连续参观 2 天,即需 把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列) 阁板法 案共 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 种 。 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方 分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块 闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有种 练习 1.(a+b+c+d)15 有多少项? 当项中只有一个字母时,有种(即 a.b.c.d 而指数只有 15 故。 当项中有 2 个字母时,有而指数和为 15,即将 15 分配给 2 个字母时,如何分,闸板法一分为 2,即 当项中有 3 个字母时指数 15 分给 3 个字母分三组即可 当项种 4 个字母都在时 四者都相加即可. 练习 2.有 20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号数,问 有多少种不同的方法?() 3.不定方程 X1+X2+X3+…+X50=100 中不同的整数解有() 平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法? 分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4), (a5,a6)由顺序不同可以有=6 种,而这 6 种分法只算一种分堆方式, 故 6 本不同的书平均分成三堆方式有=15 种 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方

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练习:1.6 本书分三份,2 份 1 本,1 份 4 本,则有不同分法? 2.某年级 6 个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。 合并单元格解决染色问题 例 7 (全国卷(文、理))如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用 同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元 素 ①③⑤的全排列数 (ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法. (ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 ① 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有种方法. 由加法原理知:不同着色方法共有 2=48+24=72(种) 练习 1(天津卷(文))将 3 种作物种植 12345 种(以数字作答)。

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72) 种(以数字作 2.(江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3),现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 答).(120)

图3

图4

3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反 复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540) 4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)

图5 的染色方法共 递推法 种(420)

图6

5.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同

例八 一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法?
2

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分析:设上 n 级楼梯的走法为 an 种,易知 a1=1,a2=2,当 n≥2 时,上 n 级楼梯的走法可分两类:第一类:是 最后一步跨一级,有 an-1 种走法,第二类是最后一步跨两级,有 an-2 种走法,由加法原理知:an=an-1+ an-2, 据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法。 九.几何问题 1. 四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点, 使它们和点 A 在同一平面上, 不同的取法有 (3+3=33) 2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点(1)从中任取 3 个点确定一个平面,共能确定多少个平面? (-4+4-3+3-6C+6+2×6=29) (2)以这 10 个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥? 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有 114 先选后排法 例 9 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选 派方法有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5054 种 分析:先从 10 人中选出 2 人 十一.用转换法解排列组合问题 例 10.某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种. 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20 种 个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法. 解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问 题.=126 种 例 12 从 1,2,3,…,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法. 解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。 某城市街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有 多少种. 解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.=35 (种) 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法. 解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化为 6 个相同 求(a+b+c)10 的展开式的项数. 解 展开使的项为 aαbβcγ,且 α+β+γ=10,因此,把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问 题.=66(种) 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者淘 汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出 现的比赛过程有多少种? 解 设亚洲队队员为 a1,a2,…,a5,欧洲队队员为 b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依次 被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队员和可 能未参加参赛的队员, 所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题, 比赛过程的总数为=252 (种) 十二.转化命题法 圆周上共有 15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各?
3



的黑球与 6 个相同的白球的排列问题.=924(种).

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分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问题化为圆 周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有=1365(个) 十三.概率法 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,那么该天的 课程表有多少种排法? 分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为,故本例所求的 排法种数就是所有排法的,即 A=360 种 十四.除序法 例 19 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中, (1)若偶数 2,4,6 次序一定,有多少个? (2)若偶数 2,4,6 次序一定,奇数 1,3,5,7 的次序也一定的有多少个? 解(1)(2) 十五.错位排列 例 20 同室四人各写一张贺卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送出的卡片, 则不同的分配方法有 (9) 公式 1) n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排. 2)=n!(1-+-+…+ 练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他 们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?(44) 种

10.1 排列与组合
10.1.1 学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略

10.1.2 重点
(1) ,特殊元素优先安排的策略: (2) ,合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。

10.1.3 难点
综合运用解题策略解决问题。

10.1.4 学习过程:
(1)知识梳理 1. 分类计数原理 (加法原理) 完成一件事, : 有几类办法, 在第一类中有 m 1 种有不同的方法, 在第 2 类中有 m2 种不同的方法??在第 n 类型有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? ? ? ?mn 种不同的方
4

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法。 2.分步计数原理(乘法原理) :完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法??,做第 n 步有 mn 种不同的方法;那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方 法。 特别提醒:分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;分步计数原 理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分 步,做到不重复、不遗漏。 3.排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ...... 元素的一个排列. 4.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
m 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

5.排列数公式: A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? 特别提醒: (1)规定 0! = 1 (2)含有可重元素的排列问题. ......

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? 3! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排列个数 n ? 3! ? 1 . 3! 1!2! 6.组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
m 7.组合数公式: C m ? A n ? n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) C m ? n n m

Am

m!

n! m!(n ? m)!

1 m 8.两个公式:①_ C m ?C n?m ; ② C m?n ?C m ?C n?1 n n n

特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

(2)典型例题 考点一:排列问题 例 1,六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端.

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考点二:组合问题 例 2, 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派 方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

考点三:综合问题 例 3, 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?

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10.1.5 当堂测试
1,从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方 案共有 ( ) A,70 种 B,80 种 C,100 种 D,140 种 2,2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的 选派方案共有 ( ) A, 48 种 B,12 种 C,18 种 D36 种 3,从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ) A,48 B, 12 C,180 D,162 . 4,甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则 选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A,150 种 B,180 种 C,300 种 D,345 种 5,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( ) A,6 B,12 C 30 D36

6,用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 B,328 C,360 D,648





7,从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数 为 ( ) A,85 B,56 C,49 D,28 8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一 个班,则不同分法的总数为 ( ) A,18 B,24 C,30 D,30 9,3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同 排法的种数是 ( ) A,360 B,288 C,216 D,96

10.1.6 参考答案
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例 1,解 (1)方法一

要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A 1 种站法,然后其余 5 4

人在另外 5 个位置上作全排列有 A 5 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:A 1 ·A 5 =480(种). 4 5 5 方法二 由于甲不站两端, 这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站, A 5 种站法, 有 2 然后中间 4 人有 A 4 种 4

2 站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:A 5 ·A 4 =480(种). 4

方法三

若对甲没有限制条件共有 A 6 种站法, 甲在两端共有 2A 5 种站法, 从总数中减去这两种情况的排列数, 6 5

即共有站 法:A 6 -2A 5 =480(种). 6 5 (2)方法一 先把甲、乙作为一个“整体” ,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有 A 5 种站法,再把甲、乙 5 进行全排列,有 A 2 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A 5 ·A 2 =240(种)站法. 2 2 5 方法二 先把甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A 4 种站法,再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入,有 A 1 种 4 5

方法,最后让甲、乙全排列,有 A 2 种方法,共有 A 4 ·A 1 ·A 2 =240(种). 2 4 2 5 (3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法” ,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有 A 4 种站法; 4
2 2 第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A 5 种站法,故共有站法为 A 4 ·A 5 =480(种). 4

也可用“间接法” 个人全排列有 A 6 种站法,由(2)知甲、乙相邻有 A 5 ·A 2 =240 种站法,所以不相邻的 ,6 2 6 5 站法有 A 6 -A 5 ·A 2 =720-240=480(种). 2 6 5 (4)方法一 先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A 4 种,然后将甲、乙按条件插入站队,有 3A 2 种,故 4 2
2 共有 A 4 · 4 (3A 2 )=144(种)站法.

方法二

先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 A 2 种,然后把甲、乙及中间 4

2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A 3 种方法,最后对甲、乙进行排列,有 A 2 种方法,故共有 2 3 A 2 ·A 3 ·A 2 =144(种)站法. 4 2 3 (5)方法一 首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A 2 种,再让其他 4 人在中间位置作全排列,有 A 4 种, 2 4 根据分步乘法计数原理,共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法. 2 4 方法二 首先考虑两端两个特殊位置, 甲、 乙去站有 A 2 种站法, 然后考虑中间 4 个位置, 由剩下的 4 人去站, 2

有 A 4 种站法,由分步乘法计数原理共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法. 4 2 4 (6)方法一 甲在左端的站法有 A 5 种,乙在右端的站法有 A 5 种,且甲在左端而乙在右端的站法有 A 4 种,共 4 5 5
8

9

有 A 6 -2A 5 +A 4 =504(种)站法. 4 6 5 方法二 以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有 A 5 种站法,②甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有 5

A 1 ·A 1 ·A 4 种,故共有 A 5 +A 1 ·A 1 ·A 4 =504(种)站法. 4 4 4 4 4 4 5 例 2, 解 (1)第一步:选 3 名男运动员,有 C 3 种选法. 6 第二步:选 2 名女运动员,有 C 2 种选法. 4 共有 C 3 ·C 2 =120 种选法. 4 6 (2)方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
4 2 C 1 C 6 +C 2 C 3 +C 3 C 6 +C 4 C 1 =246 种. 4 4 6 4 4 6

3分

6分

方法二

“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.

5 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法,其中全是男运动员的选法有 C 5 种. 6 5 所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C 10 -C 5 =246 种. 6

6分

(3)方法一 可分类求解:
4 “只有男队长”的选法为 C 8 ; 4 “只有女队长”的选法为 C 8 ;
3 “男、女队长都入选”的选法为 C 8 ;

4 3 所以共有 2C 8 +C 8 =196 种选法.

9分

方法二

间接法:

5 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法.
5 5 5 其中不选队长的方法有 C 8 种.所以“至少 1 名队长”的选法为 C 10 -C 8 =196 种. 9 分

4 4 (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C 9 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 C 8 种选法.其中不含 4 4 4 女运动员的选法有 C 5 种,所以不选女队长时的选法共有 C 8 -C 5 种选法.

所以既有队长又有女运动员的选法共有
4 4 4 C 9 +C 8 -C 5 =191 种.

例 3,解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球” ,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4 个球,3 个 盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内,由分步乘法计数原理,共有 C 1 C 2 C 1 ×A 2 =144 种. 4 4 3 2 (2) “恰有 1 个盒内有 2 个球” ,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个盒子中恰 有一个空盒,因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事,所以共有 144 种放法.
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(3)确定 2 个空盒有 C 2 种方法. 4 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C 3 C 1 A 2 种方法;第二类有序均 、 4 1 2 匀分组有
C2 C2 4 2 A2 2

·A 2 种方法. 2
C2 C2 4 2 A2 2

故共有 C 2 ( C 3 C 1 A 2 + 4 4 1 2

·A 2 )=84 种. 2

当堂检测答案 1,从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方 案共有 ( ) A,70 种 B,80 种 C,100 种 D,140 种
2 1 1 2 解析:分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有 C5 ? C4 ? C5 ? C4 =70 种,

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 2,2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的 选派方案共有 ( ) A, 48 种 B,12 种 C,18 种 D36 种 解析:合理分类,通过分析分为(1)小张和小王恰有 1 人入选,先从两人中选 1 人,然后把这个人在前两项工
1 1 3 作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有 C2 ? C2 ? A3 种选法。 (2)小张和小赵都入选,首先安排这两个人, 2 2 然后再剩余的 3 人中选 2 人排列有 A3 ? A2 种方法。

共有 24+12=36 种选法。 解题策略: :1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。 3,从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ) A,48 B, 12 C,180 D,162
1 解析:分为两大类: (1)含有 0,分步 1,从另外两个偶数中选一个, C2 种方法,2,从 3 个奇数中选两个,有

1 C32 种方法;3,给 0 安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有 C3 种方法;4,其他的 3 个数字进行全排列,
3 1 2 1 3 2 有 A3 种排法,根据乘法原理共 C2 ? C3 ? C3 ? A3 种方法。 (2)不含 0,分步,偶数必然是 2,4 ;奇数有 C3 种不 2 4 4 同的选法,然后把 4 个元素全排列,共 A4 种排法,不含 0 的排法有 C3 A4 种。根据加法原理把两部分加一块得

4 1 2 1 3 C2 ? C3 ? C3 ? A3 + C32 A4 =180.

解题策略:1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。 4,甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则 选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A,150 种 B,180 种 C,300 种 D,345 种 解析:4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种,即这 1 名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法
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1 1 2 2 1 1 共有 C5C3C6 ? C5 C6C2 种选法。

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 5,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( ) A,6 B,12 C 30 D36
2 2 解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有 C4 ? C4 种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去掉,两个人全

2 2 2 不相同, 可以让甲选两门有 C4 种选法, 然后乙从剩余的两门选, C2 种不同的选法, 有 2 全不相同的选法是 C4 C2
2 2 种方法,所以至少有一门不相同的选法为 C4 ? C4 — 2 2 C4 C2 =30 种不同的选法。

解题策略:正难则反,等价转化的策略。

6,用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 B,328 C,360 D,648 解析: 9
1 1 1 C4 ? C8 ? C8





8

1

2 第一类个位是零,共 A9 种不同的排法。

8

8

4

1 1 1 第二类个位不是零,共 C4 ? C8 ? C8 种不同的解法。

解题策略:合理分类与准确分步的策略. 7,从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数 为 ( ) A,85 B,56 C,49 D,28
2 1 1 2 解析:合理分类,甲乙全被选中,有 C2 ? C7 种 选 法,甲乙有一个被选中,有 C2 ? C7 种不同的选法,共
2 1 1 2 C2 ? C7 + C2 ? C7 =49 种不同的选法。

解题策略: (1)特殊元素优先安排的策略, (2)合理分类与准确分步的策略. 8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一 个班,则不同分法的总数为 ( ) A,18 B,24 C,30 D,30
2 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有 C4 种不同的分法,然后三组进行全排列共

3 3 2 3 A3 种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共 A3 种不同的排法。所以总的排法为 C4 A3 —
3 A3 =30 种不同的排法。

注意: 这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。 这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ,这里不再详述。 解题策略: 1 正难则反、等价转化的策略
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2 相邻问题捆绑处理的策略 3 排列、组合混合问题先选后排的策略; 9,3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同 排法的种数是 ( ) A,360 B,288 C,216 D,96 解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从 3 个女生中选两位,
2 2 有 C3 种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有 A2 种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的问题,先把

2 三个男生任意排列,有 A3 中不同的排法,

2 然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 A4 种不同的排法,共有 2 3 2 A2 C32 A3 A4 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。

1 2 甲可能站左端,也可能是右端,有 C2 种不同的方法,然后其他两个男生排列有 A2 种排法,最后把女生在剩余
2 2 2 1 2 2 的 三 个 位 置 中 排 列 , 有 A3 种 不 同 的 排 法 。 共 A2 C3 C2 A2 A3 种 不 同 的 排 法 , 故 总 的 排 法 为 2 3 2 2 1 2 A2 C32 A3 A4 ---- A2 C32 C2 A2 A32 =288 种不同的方法。

本题难度大,体现的排列组合的解题策略多: (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。

解排列组合的应用题要注意以下几点:
(1) (2) 仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。 深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考 虑。 (3) 对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单 的基本问题后用两个计数原理来解决。 (4) 由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的 解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同,在对排列组合问 题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复。 例 1(1995 年上海高考题)从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机 各两台,则不同的取法有 种. 误解:因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机,所以只有 2 种取法. 错因分析: 误解的原因在于没有意识到 “选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机” 是完成任务的两“类”办法,每类办法中都还有不同的取法. 正解:由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取 2 台,有种方法;第二
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步是在组装计算机任意选取 3 台,有种方法,据乘法原理共有种方法.同理,完成第二类办法中有种方法.据加 法原理完成全部的选取过程共有种方法. 例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( )种. (A) (B) (C) (D) 误解:把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选 A. 错因分析:误解是没有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式. 正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有 3 种选取方法,由乘法原理共有种. 说明:本题还有同学这样误解,甲乙丙夺冠均有四种情况,由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一 旦被一人夺得后,其他人就不再有 4 种夺冠可能. 2 判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时,主要看元素的组成有没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是 组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法? 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有种方法. 错因分析:误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的,5 个白色小球也是完全相同的,同色球之间互换 位置是同一种排法. 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的位 置给白球,由于这 3 个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有:排法. 3 重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数,产生错误。 例 4(2002 年北京文科高考题)5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 ( ) (A)480 种 (B)240 种 (C)120 种 (D)96 种 误解:先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人,有种方法,剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法,共有种 不同的分法,选 A. 错因分析:设 5 本书为、、,四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表 1 和表 2: 、、

表 1 是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得,最后一本书给甲的情况;表 2 是甲首先分得、乙分得、丙分得、 丁分得,最后一本书给甲的情况.这两种情况是完全相同的,而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次. 正解:首先把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.第一步:从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书,有 种方法;第二步:再把 4 本书分给 4 个学生,有种方法.由乘法原理,共有种方法,故选 B. 例 5 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值 2 天,其不同的排法 共有( )种. (A)5040 (B)1260 (C)210 (D)630 误解: 第一个人先挑选 2 天, 第二个人再挑选 2 天, 剩下的 3 天给第三个人, 这三个人再进行全排列.共有: , 选 B. 错因分析:这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周二,第二人挑选的是周三、周四;也可能是第 一个人挑选的是周三、周四,第二人挑选的是周一、周二,所以在全排列的过程中就重复计算了. 正解:种. 4 遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为遗漏某些情况,而出错。 例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个 误解:如右图,最后一位只能是 1 或 3 有两种取法, 又因为第 1 位不能是 0,在最后一位取定后只有 3 种取 法,剩下 3 个数排中间两个位置有种排法,共有个. 错因分析:误解只考虑了四位数的情况,而比 1000 大的奇数还可能是五位数. 正解:任一个五位的奇数都符合要求,共有个,再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个,选
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D. 5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解. 例 7 (2003 全国高考题)如图,一个 地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 误解:先着色第一区域,有 4 种方法,剩下 3 种颜色涂四个区域,即有一种颜色涂相对的两块区域,有种, 由乘法原理共有:种. 错因分析:据报导,在高考中有很多考生填了 48 种.这主要是没有看清题设“有 4 种颜色可供选择” ,不一 定需要 4 种颜色全部使用,用 3 种也可以完成任务. 正解:当使用四种颜色时,由前面的误解知有 48 种着色方法;当仅使用三种颜色时:从 4 种颜色中选取 3 种有种方法,先着色第一区域,有 3 种方法,剩下 2 种颜色涂四个区域,只能是一种颜色涂第 2、4 区域,另一 种颜色涂第 3、5 区域,有 2 种着色方法,由乘法原理有种.综上共有:种. 例 8 已知是关于的一元二次方程,其中、 ,求解集不同的一元二次方程的个数. 误解:从集合中任意取两个元素作为、 ,方程有个,当、取同一个数时方程有 1 个,共有个. 错因分析: 误解中没有注意到题设中: “求解集不同的??” 所以在上述解法中要去掉同解情况, 由于同解、 同解,故要减去 2 个。 正解:由分析,共有个解集不同的一元二次方程. 6 未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出错. 例 9 现有 1 角、2 角、5 角、1 元、2 元、5 元、10 元、50 元人民币各一张,100 元人民币 2 张,从中至少 取一张,共可组成不同的币值种数是( ) (A)1024 种 (B)1023 种 (C)1536 种 (D)1535 种 误解:因为共有人民币 10 张,每张人民币都有取和不取 2 种情况,减去全不取的 1 种情况,共有种. 错因分析:这里 100 元面值比较特殊有两张,在误解中被计算成 4 种情况,实际上只有不取、取一张和取 二张 3 种情况. 正解:除 100 元人民币以外每张均有取和不取 2 种情况,100 元人民币的取法有 3 种情况,再减去全不取 的 1 种情况,所以共有种. 7 题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( )种. (A) (B) (C) (D) 误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有种排法,5 人排好后产生 6 个空档,插入甲、乙、丙三人 有种方法,这样共有种排法,选 A. 错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相 邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法 数,即,故选 B. 8 解题策略的选择不当出错 有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难,要采取适当的解决策略,如间接法、插入法、捆绑法、 概率法等,有助于问题的解决. 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何 工厂可自由选择,则不同的分配方案有( ). (A)16 种 (B)18 种 (C)37 种 (D)48 种 误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共有种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如:班先派去了甲工厂,班选择时也去了甲工厂,这与班先派去了甲工厂, 班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况,并且这种重复很难排除. 正解:用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即:种方案. 排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法, “分步用乘、 即: 分类用加、 有序排列、 无序组合” ,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好.
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