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知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)


离散型随机变量的均值与方差 编稿:赵雷 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念, 会根据离散型随机变量的分布列求出均值 或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方 差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散

型随机变量 ? 的概率分布为 审稿:李霞

?
P

x1 p1

x2
p2

… …

xi pi

… …

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 为 ? 的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. ( 2 )一般地,在有限取值离散型随机变量 ? 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? … ? pn ,则有 p1 ? p2 ? …

? pn ?

1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? … ? x n ) ? ,所以 ? 的数学期望又称为平均数、均值。 n n

(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ① E (? ? ? ) ? E? ? E? ; ②若? ? a? ? b (a、b 是常数), ? 是随机变量,则? 也是随机变量,有 E (a? ? b) ? aE? ? b ;

E (a? ? b) ? aE? ? b 的推导过程如下::

? 的分布列为

?
?
P

x1
ax1 ? b

x2

… … …

xi
axi ? b

… … …

ax2 ? b
P2

P1

Pi

于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? … ?(axi ? b) pi ? … = a( x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xi pi ? …) ? b( p1 ? p 2 ? … ? pi ? …)= aE? ? b
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∴ E (a? ? b) ? aE? ? b 。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据 x1 , x2 ,…, xn ,它们的平均值为 x ,那么各数据与 x 的差的平方的平均数

S2 ?

1 [ ( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 +…+ ( xn ? x ) 2 ] 叫做这组数据的方差。 n

2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布为

?
P

x1 p1

x2
p2



xi pi







则称 D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +…+ ( xn ? E? )2 ? pi +…称为随机变量 ? 的方差,式中 的 E? 是随机变量 ? 的期望.

D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ? 的标准差,记作 ?? .
要点诠释: ⑴随机变量 ? 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ? 的方差、标准差也是随机变量 ξ 的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值) . ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系:

D? ? E(? 2 ) ? (E? )2
4.方差的性质:
2 若 ? ? a? ? b (a、b 是常数), ? 是随机变量,则? 也是随机变量, D? ? D(a? ? b) ? a D? ;

要点三:常见分布的期望与方差 1、二点分布: 若离散型随机变量 ? 服从参数为 p 的二点分布,则 期望 E? ? p 方差 D? ? p(1 ? p).

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证明:∵ P(? ? 0) ? q , P(? ? 1) ? p , 0 ? p ? 1 , p ? q ? 1 ∴ E? ? 0 ? q ? 1? p ? p

D? ? (0 ? p)2 ? q ? (1 ? p)2 ? p ? p(1 ? p).
2、二项分布: 若离散型随机变量 ? 服从参数为 n, p 的二项分布,即 ? ~ B(n,P), 则 期望 E? ? nP 方差 D? ? np(1- p) 期望公式证明:
k k k k n ?k ∵ P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn pq ,
0 0 n 1 1 n?1 2 2 n ?2 k k n ?k n n 0 ∴ E? ? 0 ? Cn p q ?1? Cn p q ? 2 ? Cn p q ? ... ? k ? Cn p q ? ... ? n ? Cn pq ,

又∵ kCn ? k ?
k

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!

1 1 n?2 0 0 n ?1 k ?1 k ?1 ( n?1)?( k ?1) n ?1 n ?1 0 ∴ E? ? np( Cn + Cn +…+ Cn +…+ Cn q q ) ?1 p q ?1 p ?1 p ?1 p q

? np( p ? q) n?1 ? np .
3、几何分布: 独立重复试验中,若事件 A 在每一次试验中发生的概率都为 p ,事件 A 第一次发生时所做的试验次数

? 是随机变量,且 P(? ? k ) ? (1 ? p)k ?1 p , k ? 0,1, 2,3,
作: ? ~ P(? ? k ) ? g(k,P) 。

, n,

,称离散型随机变量 ? 服从几何分布,记

若离散型随机变量 ? 服从几何分布,且 ? ~ P(? ? k ) ? g(k,P), 则 期望 E? ?

1 . p

方差 D? ?

1- p p2

要点诠释:随机变量是否服从二项分布或者几何分布,要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布: 若离散型随机变量 ? 服从参数为 N , M , n 的超几何分布,则

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期望 E (? ) ?

nM N

要点四:离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量 ? 的期望、方差、标准差的基本步骤: ①理解 ? 的意义,写出 ? 可能取的全部值; ②求 ? 取各个值的概率,写出分布列;

?
P

x1 p1

x2
p2



xi pi







③根据分布列,由期望、方差的定义求出 E? 、 D? 、 ?? :

E? ? x1 p1 ? x2 p2 ?
2

? xn pn ?
2

D? ? ? x1 ? E? ? p1 ? ? x2 ? E? ? p2 ?

? ? xn ? E? ? pn ?
2

?? ? D? .
注意:常见分布列的期望和方差,不必写出分布列,直接用公式计算即可. 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 ① ② 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平; 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波

动越大。 ③对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,当需要了解他们的平均水平时,可比较 E?1 和 E? 2 的大小。 ④ E?1 和 E? 2 相等或很接近,当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时,比较 D?1 和 D? 2 ,方差 值大时,则表明ξ 比较离散,反之,则表明ξ 比较集中.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武 器的性能等很多指标都与这两个特征数(数学期望、方差)有关. 【典型例题】 类型一、离散型随机变量的期望 例 1.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 ξ 的期望 Eξ =8.9,则 y 的值为________. 【思路点拨】分布列中含有字母 x、y,应先根据分布列的性质,求出 x、y 的值,再利用期望的定义求解; 【解析】x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.①
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又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.② 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 【总结升华】求期望的关键是求出分布列,只要随机变量的分布列求出,就可以套用期望的公式求解, 举一反三: 【变式 1】某一离散型随机变量ξ 的概率分布如下,且 E(ξ )=1.5,则 a-b 为( ξ P A.-0.1 【答案】B 由分布列的性质知:0.1+a+b+0.1=1, ∴a+b=0.8.又 E(ξ )=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5,即 a+2b=1.2. 解得 a=0.4,b=0.4,∴a-b=0. 【变式 2】随机变量 ξ 的分布列为 ξ P ,则 E(5ξ +4)等于( A.13 【答案】A 由已知得: E(ξ )=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8, ∴E(5ξ +4)=5E(ξ )+4=5×1.8+4=13. 【变式 3】节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价每束 5 元;节后卖不出去的鲜花以每束 1.6 元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布,若进这种鲜 花 500 束,则期望利润是 ξ P A.706 元 C.754 元 【答案】A 节日期间预售的量: Eξ =200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=40+105+120+75=340(束), 则期望的利润: η =5ξ +1.6(500-ξ )-500×2.5=3.4ξ -450, ∴Eη =3.4Eξ -450=3.4×340-450=706. ∴期望利润为 706 元. 【变式 4】 设离散型随机变量 ? 的可能取值为 1, 2, 3, 4, 且 P(? ? k ) ? ak ? b ( k ? 1, 2,3, 4 ) ,E? ? 3 , 则a?b ? ; 200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15 B.11 ) C.2.2 D.2.3 0 0.4 2 0.3 4 0.3 B.0 0 0.1 C.0.1 1 a D.0.2 2 b 3 0.1 ) .

B.690 元 D.720 元

【答案】 0.1 ; 由分布列的概率和为 1,有 (a ? b) ? (2a ? b) ? (3a ? b) ? (4a ? b) ? 1 ,

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又 E? ? 3 ,即 1? (a ? b) ? 2 ? (2a ? b) ? 3 ? (3a ? b) ? 4 ? (4a ? b) ? 3 , 解得 a ? 0.1 , b ? 0 ,故 a ? b ? 0.1 。

例 2.

某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确

得-100 分.假设这名同学回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即 X≥0)的概率. 【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题,因此求各个情况的概率直接用公式即可。 (1)求 X 的可能取值,即求得分,答对 0 道题得-300 分,答对 1 道题得 100-200=-100 分,答对 2 道题得 2×100-100=100 分,答对 3 道题得 300 分; (2)总分不为负分包括 100 分和 300 分两种情况. 【解析】 (1)X 的可能取值为-300,-100,100,300. P(X=-300)=0.2 =0.008。
1 P(X=-100)= C3 ×0.2 ×0.8=0.096,
2 3

2 P(X=100)= C3 ×0.2×0.8 =0.384,
2

P(X=300)=0.8 =0.512. 所以 X 的概率分布为 X P -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512

3

∴E(X)=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. (2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(X≥0)=P(X=100)+P(X=300)=0.384+0.512=0.896. 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表. 举一反三: 【变式 1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7, 求他罚球一次得分 ? 的期望
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【答案】因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 , 所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

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【变式 2】一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不 再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望. 【答案】 设取得正品之前已取出的次品数为 ? ,显然 ? 所有可能取的值为 0,1,2,3

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当 ? ? 0 时,即第一次取得正品,试验停止,则

p(? ? 0) ?

9 3 ? 12 4

当 ? ? 1 时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则

p(? ? 1) ?

3 9 9 ? ? 12 11 44

当 ? ? 2 时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则

p(? ? 2) ?

3 2 9 9 ? ? ? 12 11 10 220

当 ? ? 3 时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则

p(? ? 3) ?

3 2 1 9 1 ? ? ? ? 12 11 10 9 220

∴ ? 分布列为

?
p

0

1

2

3

3 9 4 44 3 9 9 1 3 ? 2? ? 3? ? ∴ E? ? 0 ? ? 1? 4 44 220 220 10
【变式 3】

9 220

1 220

某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km 时租车费为 10 元,若行驶路程超出 4km ,则按每超出 lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足 lkm 的部分按 lkm 计 ) .从这个城市的民航机场到某 宾馆的路程为 15km .某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途 中停车时间要转换成行车路程 ( 这个城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费 ) ,这个司机一次接 送旅客的行车路程 ξ 是一个随机变量.设他所收租车费为 η ( Ⅰ ) 求租车费 η 关于行车路程 ξ 的关系式; ( Ⅱ ) 若随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 求所收租车费 η 的数学期望. ( Ⅲ ) 已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km ,问出租车在途中因故停车 累计最多几分钟 ? 【答案】 ( Ⅰ ) 依题意得 η =2( ξ -4) 十 10 ,即 η =2 ξ +2 ; 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1
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( Ⅱ ) E? ? 15 ? 0.1 ? 16 ? 0.5 ? 17 ? 0.3 ? 18 ? 0.1 ? 16.4

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∵ ∴

η =2 ξ +2

E? ? 2E ξ +2=34.8

(元)

故所收租车费 η 的数学期望为 34.8 元. ( Ⅲ ) 由 38=2 ξ +2 ,得 ξ =18 , 5 ? (18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟
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例 3.若某批产品共 100 件,其中有 20 件二等品,从中有放回地抽取 3 件,求取出二等品的件数的期 望、方差。 【思路点拨】3 次有放回的抽取就是 3 次独立重复试验,取出二等品的件数这一随机变量服从二项分 布。 【解析】由题知一次取出二等品的概率为 0.2 ,有放回地抽取 3 件,可以看作 3 次独立重复试验, 即取出二等品的件数 ? ~ B(3,0.2) , 所以 E? ? np ? 3 ? 0.2 ? 0.6 ,

D? ? np(1 ? p) ? 3 ? 0.2 ? (1 ? 0.2) ? 0.48 .
【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后,可直接运用公式求其均值. 举一反三: 【变式 1】 英语考试有 100 道选择题,每个题有 4 个选项,选对得 1 分,否则得 0 分,学生甲会其中的 20 道,学生乙会其中的 80 道,不会的均随机选择,求甲、乙在这次测验中得分的数学期望. 【答案】 设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量 X 和 Y,由题意知 X~B(80,0.25) ,Y~B(20,0.25) , ∴E(X)=80×0.25=20,E(Y)=20×0.25=5. 故甲、乙的数学期望成绩分别为 40 分和 85 分. 【变式 2】 甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 甲击中目标的次数为 X,乙击中目标的次数为 Y, (1)求 X 的概率分布; (2)求 X 和 Y 的数学期望. 【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布.

1 2 ,乙每次击中目标的概率为 ,记 2 3

?1? 1 (1) P( X ? 0) ? C ? ? ? , ?2? 8
0 3

3

?1? 3 P( X ? 1) ? C ? ? ? , ?2? 8
1 3

3

?1? 3 P( X ? 2) ? C32 ? ? ? , ?2? 8
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3

?1? 1 P( X ? 3) ? C ? ? ? 。 ?2? 8
3 3

3

所以 X 的概率分布如下表: X P 0 1 2 3

3 8 1 3 3 1 (2)由(1)知 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.5 , 8 8 8 8
或由题意 X ∴ E( X ) ? 3?

1 8

3 8

1 8

? 1? B ? 3, ? , Y ? 2?

? 2? B ? 3, ? 。 ? 3?

1 2 ? 1.5 , E (Y ) ? 3 ? ? 2 。 2 3

【变式 3】 一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是正 确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为
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0.9,学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望
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【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ? ,? ,则 ?

B(20, 0.9) ,

? ~ B(20,0.25) ,
? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5
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由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5? 的成绩的期望分别是:

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所以,他们在测验中

E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 18 ? 90, E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 5 ? 25
类型二、离散型随机变量的方差

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例 4. 设 X 是一个离散型随机变量,其概率分布如下表,试求 E(X)和 D(X) . X P -1 0 1-2q 1 q
2

1 2

【思路点拨】 由概率分布的性质求出 q 的值后,再计算 E(X) ,D(X) . 【解析】 由概率分布的性质,得:

?1 2 ? 2 ? (1 ? 2q ) ? q ? 1 ? 2 ,得 q ? 1 ? 。 ?0 ? 1 ? 2 q ? 1 2 ?0 ? q 2 ? 1 ? ?

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∴ E ( X ) ? ?1?

1 ?3 ? ? 0 ? ( 2 ? 1) ? 1? ? ? 2 ? ? 1 ? 2 , 2 ?2 ?

1 ?3 ? D( X ) ? (?2 ? 2)2 ? ? (?1 ? 2) 2 ? ( 2 ? 1) ? ( 2) 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 1 。 2 ?2 ?
【总结升华】 求随机变量的方差, 应先明确随机变量的概率分布。 然后利用均值与方差的定义列式计算. 举一反三: 【变式 1】 设随机变量 X 的概率分布为 X P 求 D(X) 。 【答案】 本题考查方差的求法.可由分布列先求出 X 的期望 E(X) ,再利用方差的定义求之.也可直 接利用公式 D(X)=E(X )-[E(X)] 来解. 解法一:
2 2

1

2

… …

n

1 n

1 n

1 n

1 1 1 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? ? n ? ? (1 ? 2 ? n n n n(n ? 1) 1 n ? 1 ? ? ? , 2 n 2

? n) ?

1 n

n ?1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? ∴ D ( X ) ? ?1 ? V ? ? ??2? ? ? ? 2 ? n ? 2 ? n ?

2

2

n ?1 ? 1 ? ??n? ? ? 2 ? n ?

2

?

1? 2 2 (1 ? 2 ? n? ?

? n2 ) ? (n ? 1) ? (1 ? 2 ?

? n) ? n ?

(n ? 1) 2 ? n2 ? 1 。 4 ? ? 12

n ?1 。 2 1 1 1 2 2 2 2 又 E( X ) ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? n n n 1 ( n ? 1)(2n ? 1) ? (12 ? 22 ? n 2 ) ? , n 6
解法二:由解法一可求得 E ( X ) ?

(n ? 1)(2n ? 1) (n ? 1) 2 n2 ? 1 V ? ? ∴ D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ? 。 6 4 12
2 2

【变式 2】 1.已知随机变量ξ 的分布列如下表: ξ P (1)求 E(ξ ) ,D(ξ ) ,η ; (2)设η =2ξ +3,求 E(η ) ,D(η ) . -1 0 1

1 2

1 3

1 6

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【答案】 (1) E (? ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? (?1) ?

1 1 1 1 ? 0 ? ? 1? ? ? ; 2 3 6 3 5 5 , ? ? D(? ) ? 。 9 3

D(? ) ? [ x1 ? E (? )]2 ? p1 ? [ x2 ? E (? )]2 ? p2 ? [ x3 ? E (? )]2 ? p3 ?
(2) E (? ) ? 2 E (? ) ? 3 ? 例 5.

7 20 , D (? ) ? 4 D(? ) ? 。 3 9

设某运动员投篮投中的概率为 p=0.6.

(1)求一次投篮时,投中次数 X 的数学期望和方差; (2)求重复 5 次投篮时,投中次数 Y 的数学期望和方差. 【思路点拨】 (1)投篮一次可能中,也可能不中,投中次数 X 服从两点分布; (2)重复投篮 5 次的投中次 数 Y 服从二项分布. 【解析】 (1)X 服从两点分布,其分布列如下: X P 0 0.4 1 0.6

所以 E(X)=p=0.6,D(X)=p(1-p)=0.24. (2)由题设,Y~B(5,0.6) . 所以 E(Y)=np=5×0.6=3, D(Y)=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2. 【总结升华】对于两点分布、二项分布,可直接运用公式计算. 举一反三: 【变式 1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求 他罚球三次得分 ? 的期望和方差。 【答案】罚球三次可以看作 3 次独立重复试验,即罚球三次得分 ? ~ B(3,0.7) , 所以 E? ? np ? 3 ? 0.7 ? 2.1

D? ? np(1 ? p) ? 3 ? 0.7 ? (1 ? 0.7) ? 0.63 .
【高清课堂:离散型随机变量的均值与方差 408737 例题 1】 【变式 2】有 10 件产品,其中 3 件是次品.从中任取 2 件,若抽到的次品数为 X,求 X 的分布列,期望和方差. 【答案】

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类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用 例 6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为 X1 和 X2,它们的概率分布分别为 X1 P 0 0.1 1 a 2 0.4 X2 p 0 0.2 1 0.2 2 b

(1)求 a,b 的值; (2)计算 X1 和 X2 的数学期望和方差,并以此分析甲、乙两射手的技术状况. 【思路点拨】 本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解. (1)可直接由分布列的性质列式 求解. (2)利用定义求期望与方差. 【解析】 (1)由分布列的性质知, 0.1+a+0.4=1,0.2+0.2+b=1, 即 a=0.5,b=0.6。 (2)E(X1)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, E(X2)=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4, D(X1)=(0-1.3) ×0.1+(1-1.3) ×0.5+(2-1.3) ×0.4=0.41, D(X2)=(0-1.4) ×0.2+(1-1.4) ×0.2+(2-1.4) ×0.6=0.64。 由上述计算的结果可知,乙的平均水平较甲好一点,但乙的稳定性不如甲. 【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小(或离散 程度) . 举一反三: 【变式 1】A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示: 问哪一台机床加工质量较好. A 机床 B 机床
2 2 2 2 2 2

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次品数ξ 概率 P

1

0 0.7

1 0.2

2 0.06

3 0.04

次品数ξ 概率 P

1

0 0.8

1 0.06

2 0.04

3 0.10

【答案】 Eξ 1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ 2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差. Dξ 1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) ×0.06+(3-0 .44) ×0.04=0.6064, Dξ 2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264. ∴Dξ 1< Dξ
2 2 2 2 2 2 2 2 2

故 A 机床加工较稳定、质量较好.

【变式 2】有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1 200 0.4 1 400 0.3 1 600 0.2 1 800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1 000 0.4

1 400 0.3

1 800 0.2

2 200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 【答案】根据月工资的分布列,利用计算器可算得 E(X1)=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400, D(X1)=(1 200-1 400) ×0.4+(1 400-1 400) ×0.3+(1 600-1 400) ×0.2+(1 800-1 400) ×0.1 =40 000; E(X2)=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400, D(X2)=(1 000-1 400) ×0.4+(1 400-1 400) ×0.3+(1 800-1 400) ×0.2+(2 200-1 400) ×0.1 =160 000. 因为 E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中, 乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你 希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 【高清课堂:离散型随机变量的均值与方差 408737 例题 3】 【变式 3】 某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金,对在一 年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次) ,设这三辆车在一
1 1 1 年内发生此种事故的概率分别为 , , ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险 9 10 11
2 2 2 2 2 2 2 2

中: (1)获赔的概率; (2)获赔金额 X 的分布列与期望. 【答案】设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,2,3 .

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由题意知 A1 , A2 , A3 独立,且 P ( A1 ) ? (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

1 1 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0,9000 ,18000 ,27000.

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ?

8 9 10 8 ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45

P(? ? 18000 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 . P(? ? 27000 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? 9 10 11 990

综上知, ? 的分布列为

?
P 求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0

9000

18000

27000

8 11

11 45

3 110

1 990

?? ? 0 ?

8 11 3 1 29900 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? ? ? 2718 .18 (元) 11 45 110 990 11

解法二:设 ? k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1,2,3 , 则 ? 1 有分布列

?1
P 故 ??1 ? 9000 ?

0

9000

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9

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同理得 ?? 2 ? 9000 ? 综上有

1 1 ? 900 , ?? 3 ? 9000 ? ? 818 .18 . 10 11

?? ? ??1 ? ?? 2 ? ?? 3 ? 1000? 900? 818.18 ? 2718 .18 (元).

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