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《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案2


《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案 教学目标: 1、 能够用导数的定义求几个常用函数的导数; 2、利用公式解决简单的问题. 教学重点和难点 1.重点:推导几个常用函数的导数; 2.难点:推导几个常用函数的导数. 教学方法: 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数,感知、理解、记忆. 教学过程: 一 复习 1、函数在一点处导数的定义; 2、导数的几何意义; 3、导函数的

定义; 4、求函数的导数的步骤. 二 新课 例1.推导下列函数的导数 1、 f ( x) ? c 解: ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0, ?x ?x ?x ?x ?0 f ' ( x) ? lim ?y ? lim 0 ? 0 ?x ?x?0 2、 求 f ( x) ? x 的导数. 解: ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ? 1, ?x ?x ?x f ' ( x) ? lim ?y ? lim 1 ? 1 . ?x ? 0 ?x ?x ? 0 y ' ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y ? x 表示路程关于时间 的函数,则 y ' ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 思考:(1).从求 y ? x , y ? 2 x , y ? 3x , y ? 4 x 的导数如何来判断这几个函数递增 的快慢? (2).函数 y ? kx(k ? 0) 增的快慢与什么有关? 可以看出,当k>0时,导数越大,递增越快;当k<0时,导数越小,递减越快. 3、求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数. 解: ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ? 2 x ? ?x , ?x ?x ?x ?x ?0 y ' ? f ' ( x) ? lim ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x . ?x ?x?0 y ' ? 2 x 表示函数 y ? x2 图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x的变化, 切线的斜率也在变化: (1) 当x<0时,随着 x的增加, y ? x2 减少得越来越慢; (2)当x>0时,随着 x的增加, y ? x2 增加得越来越快. 4、求函数 y ? f ( x ) ? 1 的导数. x 1 1 ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x ? ?x x x ? ( x ? ?x ) 1 解: ?y , ? ? ? ?? 2 ?x ?x ?x x( x ? ?x )?x x ? x ? ?x y ' ? f ' ( x) ? lim ?x ?0 ?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ? ?x x 思考:(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程? k ? f ' (1) ? ?1 ,所以其切线方程为 y ? ? x ? 2 . (2)改为点(3,3),结果如何? (3)把这个结论当做公式多好呀, ,既方便,又减少了复杂的运算过程. 三 例题 1. 试求函数 y ? f ( x) ? 解: x 的导数. ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? ?x ?x    ? x ? ?x ? x ?x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ?x( x ? ?x ? x ) 1  = ( x ? ?x ? x ) y ' ? f '

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