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2014高考真题 指数函数、对数函数、幂函数


一、选择题
1 ? 1 1 1.( 2014 ·辽宁高考理科·T 3 ) a ? 2 3 , b ? log 2 , c ? log 1 . 则 3 2 3

( A)a ? b ? c

( B)a ? c ? b

(C)c ? a ? b

( D)c ? b ? a

/>【解题提示】结合指数函数与对数函数的图像及性质,判断 a, b, c 的范围, 确定大小 . 【解析】选 C. 由于指数函数 y ? 2x 在 R 上为增函数 , 则 0 ? 2 而对数函数 y ? log2 x 为 (0, ??) 上的增函数 , 则 log 2 对数函数 y ? log 1 x 为 (0, ??) 上的减函数 , 则 log 1
2
2
? 1 3

? 20 ? 1 ;

1 ? log 2 1 ? 0 ; 3

1 1 ? log 1 ? 1 . 3 2 2

综上可知 , c ? a ? b. 2.(2014 ·陕西高考文科·T7) 下列函数中 , 满足“ f 递增函数是 A.f C.f =x3 = ( ) B.f (x ) =3 x D.f (x ) = =f f ”的单调

【解题指南】由指数函数及幂函数的图像及性质可作出判断 . 【解析】选 B. 根据函数满足“ f =f f ”可以推出该函数为指数函

数 , 又函数为单调递增函数 , 所以底数大于 1,从而确定函数为 f(x)=3 x . 3.( 2014 ·山东高考文科·T 3 )函数 f ( x) ?
2) A、 (0,

1 的定义域为 ( lo g2 x ? 1

)

B 、 (0,2]

? ?) C、 (2,??) D、 [2,

【解题指南】

本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域

的求法: 1 、分母不为零; 2 、被开方数为非负数; 3 、真数大于 0. 【解析】选 C
x?0 ? 由定义域的求法知: ? ,解得 x ? 2 ,故选 C. ?log 2 x ? 1 ? 0

4.

( 2014 · 山 东 高 考 文 科 · T 6 ) 已 知 函 数

y?l o ? c)(a,c为常数. 其a ? 中 0,a ? 1) 的图像如右图,则下列结论成立的是 a ( xg
( )

A、 a ? 1,c ? 1 C、 0 ? a ? 1, c ? 1 【解题指南】 【解析】选 D.

B、 a ? 1,0 ? c ? 1 D、 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1 本题考查了对数函数的图像与性质及图像平移知识 .

由图象单调递减的性质可得 0 ? a ? 1 ,向左平移小于 1 个单位,故 0 ? c ? 1 故选 D. 5. ( 2014 ·山东高考理科·T 2) 设集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? y y ? 2 x , x ? ?0,2? ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

?0,2? A、
【解题指南】

?1,3? B、

?1,3? C、

?1,4? D、

本题考查了绝对值不等式的解法,指数函数的性质,集合

的运算,可以先求出每个集合,然后再进行集合交集运算 . 【解析】选 C. 由 A ? x x ? 1 ? 2 ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? y y ? 2 x , x ? ?0,2? ? ?y 1 ? y ? 4? , 所以 A ? B ? ?1,3? . 6. ( 2014 · 山东高考理科· T 3) 函数 f ( x) ?
1 A、 (0, ) 2

?

?

?

?

1 (log 2 x)2 ? 1

的定义域为 (



B、 (2, ??)

1 1 C 、 (0, ) ? (2, ??) D、 (0, ] ? [2, ??) 2 2

【解题指南】

本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域

的求法: 1 、分母不为零; 2 、被开方数为非负数; 3 、真数大于 0. 【解析】选 C

x?0 ? 1 由定义域的求法知: ? ,解得 x ? 2 或 0 ? x ? ,故选 C. 2 2 ??log2 x ? ? 1 ? 0
7.(2014 ·江西高考理科· T2) 函数 f ( x) =ln ( x 2 -x ) 的定义域为 ( A.(0 , 1) C.(- ∞ , 0) ∪ (1 ,+ ∞ ) B. [ 0 , 1 ] D. ( - ∞ , 0 ] ∪ [ 1 ,+ ∞ ) )

【解题指南】根据对数的真数大于零 , 转化为解一元二次不等式 . 【解析】选 C. 要使函数有意义 , 需满足 x2 -x>0, 解得 x<0 或 x>1. 8.(2014·福建高考文科·T8)8.若函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象如右 图所示,则下列函数正确的是( )

【解题指南】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰项。 【解析】由 y ? loga x ? a ? 0,且a ? 1? 的图象单调递增可知,a ? 1 .故 A 选项中的

?1? 函数为 y ? a ? x ? ? ? , 应该为减函数,故 A 错;B 选项中函数 y ? xa ,当 a ? 1 时, ?a?
不能确定奇偶性,例如 a ? 2 时为偶函数,所以 B 错;C 选项中函数 y ? ? ? x ? ,
a

x

当 a 为奇数时,图象显然不过(1,1)点;由 y ? f ? x ? 与 y ? f ? ?x ? 图象关于 y 轴对称可知,D 选项正确. 9.(2014·福建高考理科·T4)4.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图 所示,则下列函数图像正确的是( )

【解题指南】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰项。
1 【解析】B.由题, a ? 3 ,因此,A 选项函数为 y ? 3? x ? ( ) x ,应在定义域是减函 3

数,图象不对;B 选项函数为 y ? x3 ,图象正确;C 选项函数为 y ? (? x)3 ,在定

义域内应是减函数,图象不对;而 y ? log3 (? x) 应与 y ? log3 x 的图象关于 x 轴对 称,因此不符. 10.(2014·浙江高考文科·T8)与(2014·浙江高考理科·T7)相同
a 在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是(



【解题指南】根据指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质逐项分析.
a 【解析】选 D.A 项中没有幂函数的图像;B 项中 y ? x ( x≥0) 中 a>1 ,

y ? loga x( x>0) 中 0<a<1 ,不符合;C 项中 y ? xa ( x≥0) 中 0<a<1 , y ? loga x( x>0) 中 a>1 不符合;故选 D.
12.(2014·辽宁高考文科·T3)与(2014·辽宁高考理科·T3)相同

1 1 a ? 2 , b ? log 2 , c ? log 1 3 2 3 .则
?

1 3

( A)a ? b ? c

( B)a ? c ? b

(C)c ? a ? b

( D)c ? b ? a

【解题提示】结合指数函数与对数函数的图像及性质,判断 a, b, c 的范围,确定 大小.
x 【解析】选 C.由于指数函数 y ? 2 在 R 上为增函数,则 0 ? 2
? 1 3

? 20 ? 1 ;

而对数函数 y ? log2 x 为 (0, ??) 上的增函数,则

log 2

1 ? log 2 1 ? 0 3 ;

对数函数

y ? log 1 x
2

为 (0, ??) 上的减函数,则

log 1
2

1 1 ? log 1 ? 1 3 2 2 .

综上可知, c ? a ? b. 二、填空题 13. (
2

2014
? 1

·













·



9



若f ( x) ? x 3 ? x 2 , 则满足f ( x) ? 0的x的取值范围是 _______.

【解题提示】根据幂函数的图像特点可得. 【解析】
g ( x ) ? x 3 在(0,1)上是增函数,且g(x)? g(1), h(x)=x 2 在(0,1)上是减函数,且h( x ) ? h(1), 所以f ( x ) ? 0的x的范围是(0,1).
? 1 2

答案: (0,1).
14. (
2

2014
? 1

·













·



11



若f ( x) ? x 3 ? x 2 , 则满足f ( x) ? 0的x的取值范围是 _______.
【解题提示】根据幂函数的图像特点可得. 【解析】
g ( x) ? x 在(0,1 )上是增函数,且g(x)<g(1), h(x)=x 在(0,1 )上是减函数,且h( x) ? h(1), 所以f ( x) ? 0的x的范围是(0,1).
? 1 2 2 3

答案: (0,1).
15. (2014·福建高考文科·T8)和(2014·福建高考理科·T4)相同

在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)



【解题指南】 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 的图象关于原点对称,结合图象找出结论. 【解析】只有 B 选项两个向量不共线,其它选项的向量都是共线的,不共线的向 ? 量方可成为基底,才可以表示向量 a .

16.(2014 ·陕西高考文科· T12) 已知 4 a=2,lgx=a, 则 x= 【解题指南】根据指数与对数运算即可求值 .

.

【解析】由 4 a=2 得 a= , 又由 lgx=a 得 1 =x, 即 x=

.

答案 : 17.( 2014 ·陕西高考理科·T11 ) 已知 4 a=2 , lgx=a , 则 x= 【解题指南】根据指数与对数运算即可求值 . 【解析】由 4 a=2 得 a= , 又由 lgx=a 得 1 =x, 即 x= . .

答案 : 三、解答题 18. ( 2014 ·上海高考文科·T 20 )设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( 1 )若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; ( 2 )根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由 . 【解题指南】 (1) 根据反函数定义可得原函数的反函数,但要注意定义域。 ( 2 )根据奇偶函数的定义分类讨论,可得 . 【解析】
2x ? a 2x ? a

2x ? 4 ?y 2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? 2x ? ,? x ? log 2 , y ?1 y ?1 (1) ? a ? 4,? f ( x) ? ? 调换x, y的位置可得y ? f ?1 ( x) ? log 2 4x ? 4 , ( x ? (??, ?1) ? (1, ??)) x ?1 (2)若f ( x)为偶函数,则f ( x) ? f ( ? x)对任意x均成立,

2 x ? a 2? x ? a = ?x , 整理可得a(2 x ? 2? x ) ? 0, x 2 ?a 2 ?a ? 2 x ? 2? x 不恒为0, ? a ? 0, 此时f ( x) ? 1, x ? R, 满足条件; ? 若f ( x)为奇函数,则f ( x) ? - f ( ? x)对任意x均成立, 2 x ? a 2? x ? a =- ? x ,整理可得a 2 ? 1 ? 0,? a ? ?1 x 2 ?a 2 ?a 2x ? 1 ? a ? 0,? a ? 1, 此时f ( x) ? x , x ? 0, 满足条件; 2 ?1 综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数; ?


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