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专题一 第三讲 二次函数、指数函数、对数函数


知考情 第3讲 二次 函数、 指数 函数、 对数 函数

研考题

析考向

战考场

高频考点

考情解读 二次函数多与一元二次

考查方式

二次函数 方程、一元二次不等式 结合命题,多为中档题 指数函 数与对 考查两种函数的图像和

性质,求解时有时用到

选择题和填空题

题型以选择题、
填空题为主,也 有可能在解答题 中考查

数函数

导数

高频考点

考情解读 函数的实际应用经常与数列、 导数、不等式等相结合,以生

考查方式

函数的实
活中的问题为命题背景,主要 际应用 考查函数的单调性、导数、均 值不等式等知识

题型以解
答题为主

[联知识 串点成面] 二次函数的图像与性质: (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线 ①过定点(0,c); 2 b b 4ac-b ②对称轴为 x=- ,顶点坐标为(- , ). 2a 2a 4a b b (2)当 a>0 时,图像开口向上,在(-∞,- ]上单调递减,在[- ,+ 2a 2a 4ac-b2 ∞)上单调递增,有最小值 ; 4a b b 当 a<0 时,图像开口向下,在(-∞,- ]上单调递增,[- ,+∞) 2a 2a 2 4ac-b 上单调递减,有最大值 . 4a

[做考题
x∈[-5,5].

查漏补缺]

(2011· 深圳质检)已知函数f(x)=x2+2ax+2, (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调

函数.

[解] (1)当a=-1时,

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
∴x=1时,f(x)取得最小值1; x=-5时,f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像的对称轴为直线x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,

∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).

1.(2011· 福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不 相等的实数根,则实数m的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) ( )

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:

判别式Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2.
答案:C

2.(2011· 安徽蚌埠二中)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,如果 f(x1) =f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)= b A.-2a C. c b B.-a 4ac-b2 D. 4a ( )

b x1+x2 解析: ∵f(x1)=f(x2), ∴f(x)的对称轴为 x0=- = .得 f(x1 2a 2
? b? ? b? b2 ?- ?+c=c. +x2)=f?-a?=a·2+b· a ? ? ? a?

答案:C

[悟方法

触类旁通]

求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合, 特别是含参数的两种类型:“定轴动区间,定区间动轴”的 问题,抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间 中点,一轴指的是对称轴.

[联知识

串点成面]

指数函数与对数函数的性质: 指数函数y=ax(a>0 且a≠1) 定义域 (-∞,+∞) 对数函数y= logax(a>0且a≠1) (0,+∞)

值域
不变性

(0,+∞)
恒过定点(0,1)

(-∞,+∞)
恒过定点(1,0)

指数函数y=ax(a>0且 对数函数y=logax(a>0

a≠1)
增减性 奇偶性 图像特征

且a≠1)

a>1时为增函数,0 a>1时为增函数,0< <a<1时为减函数 非奇非偶函数 图像始终在x轴上方 a<1时为减函数 非奇非偶函数 图像始终在y轴右侧

[做考题 查漏补缺]
(2011· 湘潭质检)已知函数 f(x)=1- 是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; 4 (a>0 且 a≠1) 2ax+a

[解 ]

(1)由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 4 =0,解得 a=2. 2a + a
0

故必有 f(0)=0,即 1-

(2)由(1)知 y=f(x)=1-
x

1+y 2 x ,得 2 = . 2x+1 1-y

1+y ∵2 >0,∴ >0,解得-1<y<1, 1-y 故函数 f(x)的值域是(-1,1).

3. (2011· 辽宁高考)设函数 的 x 的取值范围是 A.[-1,2] C.[1,+∞)

1-x ? ,x≤1, ?2 ? f(x)= ? ?1-log2x,x>1,

则满足 f(x)≤2 ( )

B.[0,2] D.[0,+∞)

解析:当 x≤1 时,21-x≤2,解得,x≥0,所以,0≤x≤1;当 x> 1 1 时,1-log2x≤2,解得,x≥2,所以,x>1.综上可知 x≥0.

答案: D

4.[理](2011· 武汉模拟)“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)
在(0,+∞)上单调递增”的 A.充分必要条件 C.充分不必要条件 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: ∵f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增?a>0, ∴a=1是f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增的充分 不必要条件. 答案: C

[文](2011· 宣武区模拟)若 c 的大小关系为 A.a>b>c C.c>b>a

?1? - a=?2?0.3,b=0.3 2,c=log 1 2,则 ? ?
2

a,b, )

( B.a>c>b D.b>a>c

?1? 解析:分别结合指数函数与对数函数的图像可得,a=?2?0.3∈(0,1), ? ?

b=(0.3) 2∈(1,+∞),c=log 1 2=-1,故 b>a>c.


2

答案: D

[悟方法

触类旁通]

1.对于两个数都为指数或对数的大小比较:如果底数相同,

直接应用指数函数或对数函数的单调性比较;如果底数与
指数(或真数)皆不同,则要增加一个变量进行过渡比较, 或利用换底公式统一底数进行比较. 2.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注 意对底数进行讨论,解决对数问题时,首先要考虑定义域, 其次再利用性质求解.

[做考题

查漏补缺]

(2011· 湖南高考)如图,长方体物体 E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速 移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的 分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两 部分:

(1)P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量,假设其值与 |v- c|×S 成正比,比例系数为 1 ; 10

1 (2)其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨 2 3 量.当移动距离 d=100,面积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

[ 解]

(1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 |v-c|+ , 20 2 100 3 1 5 故 y= v ( |v-c|+ )=v(3|v-c|+10). 20 2 (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15. v

?5?3c+10? -15,0<v≤c, ? v 故 y=? ?5?10-3c?+15,c<v≤10. v ?

10 (1)当 0<c≤ 3 时,y 是关于 v 的减函数. 3c 故当 v=10 时,ymin=20- 2 . 10 (2)当 3 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10] 50 上,y 是关于 v 的增函数,故当 v=c 时,ymin= c .

5.(2011· 深圳模拟)如图,有一直角墙角,两 边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙

的距离分别是a m(0<a<12)、4 m,不考虑
树的粗细.现在想用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个 矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值 为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图像大 致是 ( )

解析:设矩形花圃的长为 x m(a≤x<12),则此矩形花圃的面积 S(x) =x(16-x)=64-(x-8)2, ①当 0<a≤8 时,S(x)max=S(8)=64; ②当 8<a<12 时,S(x)max=S(a)=64-(a-8)2, 故
? ?64,0<a≤8 u=f(a)=? 2 ? ?64-?a-8? ,8<a<12

.

故函数 u=f(a)的图像大致是 C.

答案: C

6.(2011· 广州模拟)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、 乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成, 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比

(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最
大航行速度为50海里/小时. (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海 里/小时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的

航行速度行驶?

解:(1)由题意,每小时的燃料费用为 0.5x2(0<x≤50), 300 从甲地到乙地所用的时间为 x 小时, 则从甲地到乙地的运输成本 300 300 y=0.5x ·x +800·x (0<x≤50),
2

300 300 故所求的函数为 y=0.5x2·x +800·x
? 1 =150?x+ ?

600? ? x ?(0<x≤50).

? 1 ? (2)法一:由(1)y=150 x+ ?

600? ? x ?

≥150×2

1 600 x× x =12 000,

1 600 当且仅当 x= x ,即 x=40 时取等号. 故当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.

? 1 ? 法二:由(1)y=150 x+ ?

600? ? x ?(0<x≤50)

1 600 1 600 令 f(x)=x+ x (0<x≤50),f′(x)=1- 2 , x 则 x∈(0,40)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 则 x∈(40,50)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴x=40 时,f(x)取最小值 80, ymin=12 000. 故当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.

[悟方法

触类旁通]

应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键, 转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象,并与熟

知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类.
(2)用相关的函数知识,进行合理设计,确定最佳解题方案, 进行数学上的计算求解. (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题,即 对实际问题进行总结作答.

函数与方程是近几年高考的热点,由于两函数图像的 交点横坐标就是方程的根,所以可由零点(方程实根)的个 数确定相关参数的值或范围,2011年北京卷第13题就考查 这一点.

2 ? ? , x≥2 (2011· 北京高考)已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 3 ? ??x-1? ,x<2. f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

[解析] 作出函数f(x)的图像,如图, 由图像可知,当0<k<1时,函数 f(x)与y=k的图像有两个不同的交点,所以所求实数k 的取值范围是(0,1). [答案] (0,1)

[点评] 本题求解利用了数形结合的方法,方程根的问题
转化为直线y=k和函数y=f(x)的图像的交点个数,y=(x- 1)3的图像可利用y=x3图像向右平移一个单位得到.

x ? ?2 -1,x>0, 已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零

点,则实数 m 的取值范围是________.

解析:在坐标系内作出函数 的图像,如右图所示:

x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0

发现当 0<m<1 时, 函数 f(x)的图像与直线 y=m 有三个交点, 即函数 g(x)=f(x)-m 与 x 轴有 3 个交点.

答案:(0,1)

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