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2016届高考数学大一轮复习 第2章 第1节 函数及其表示课时提升练 文 新人教版


课时提升练(四) 函数及其表示
一、选择题 1.(2013·山东高考)函数 f(x)= 1-2 + A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 【解析】
?1-2 ≥0, ? 由题意,自变量 x 应满足? ?x+3>0, ?
x x

1

x+3

的定义域为(

)

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

解得?

? ?x≤0, ?x>-3, ?

∴-3<x≤0.

【答案】 A
? ?-cos π x,x>0, 2.已知 f(x)=? ? ?f?x+1?+1,x≤0,

?4? ? 4? 则 f? ?+f?- ?=( ?3? ? 3?

) B.2 D.-2

A.1 C.3

4π π 1 ? 4? 2 ?4? ? 1? ?2? 【解析】 f? ?=-cos =cos = , f?- ?=f?- ?+1=f? ?+2=-cos π + 3 3 2 ? 3? 3 ?3? ? 3? ?3? 1 5 2= +2= , 2 2

?4? ? 4? ∴f? ?+f?- ?=3. ?3? ? 3?
【答案】 C 3.下列各对函数中,是同一个函数的是( 3 3 2 A.f(x)= x ,g(x)= x
?1, x≥0, ? |x| B.f(x)= ,g(x)=? x ?-1, x<0 ?

)

C.f(x)=

2n+1

x2n+1,g(x)=(

2n-1

x)2n-1,n∈N*

D.f(x)= x· x+1,g(x)= x?x+1? 3 3 2 【解析】 对于选项 A,由于 f(x)= x =|x|,g(x)= x =x,故它们的值域及对应 法则都不相同,所以它们不是同一个函数;对于选项 B,由于函数 f(x)的定义域为(-∞, 0)∪(0,+∞),而 g(x)的定义域为 R,所以它们不是同一个函数;对于选项 C,由于当 n
1

∈N 时,2n±1 为奇数,所以 f(x)=

*

2n+1

x2n+1=x,g(x)=(

2n-1

x)2n-1=x,它们的定义

域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一个函数;对于选项 D ,由于函数 f(x) =

x· x+1的定义域为[0,+∞),而 g(x)= x?x+1?的定义域为(-∞,-1]∪[0,+
∞),它们的定义域不同,所以它们不是同一个函数. 【答案】 C 4. 下列图象可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域, 以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数是 ( )

【解析】 A 选项值域不是集合{y|0≤y≤1},B 选项定义域不是集合{x|0≤x≤1},D 选项不是函数,只有 C 正确. 【答案】 C

x ?1? 5.(2015·临沂检测)如果 f? ?= ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=( ?x? 1-x
A. 1

)

x

B.

1 x-1

1 C. 1-x 1

1 D. -1

x

x 1 1 【解析】 令 x= ,则 f(x)= = (x≠0 且 x≠1). x 1 x-1 1- x
【答案】 B
?3-x ,x∈[-1,2], ? 6.(2015·东城模拟)已知函数 f(x)=? ? ?x-3,x∈?2,5],
2

则方程 f(x)=1 的解

是(

) A. 2或 2 C. 2或 4
2

B. 2或 3 D.± 2或 4

【解析】 当 x∈[-1,2]时,由 3-x =1 得 x=± 2(负值舍去);当 x∈(2,5]时,由

x-3=1 得 x=4.
【答案】 C

图 2?1?1

2

7.如图 2?1?1 是南京青奥会传递火炬时,火炬离主会场距离(y)与传递时间(x)之间的 函数关系的图象,若用黑点表示主会场的位置,则火炬传递的路线可能是( )

【解析】 由 y 与 x 的关系知,在中间时间段 y 值不变,结合选项知 D 符合. 【答案】 D 1+x 8.(2015·黄冈模拟)已知函数 f(x)= 的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 1-x

B,则(

) B.A?B D.A∩B=B

A.A∪B=B C.A=B

【解析】 A={x|x≠1}, y=f(f(x)), ∴x≠1, 且 f(x)≠1, 故 B={x|x≠1 且 x≠0}. ∴

A∩B=B.
【答案】 D
? ?log2?x +t?,x<0 9.设 f(x)=? x ?3?t-1? ,x≥0 ?
2

?1? 且 f? ?=6,则 f(f(-2))的值为( ?2?
D. 1 243

)

A.27

B.243

1 C. 27

1 1 ?1? 【解析】 f? ?=3×(t-1) =6,即(t-1) =2, 2 2 ?2? ∴t=5.
?log2?x +5?,x<0, ? 故 f(x)=? x ?3×4 ,x≥0. ?
2

∴f(-2)=log2[(-2) +5]=log29>0, ∴f(f(-2))=f(log29)=3×4log29=3×22log29=3×2log29 =3×81=243. 【答案】 B 1? ? ?? ?3?x-8,x<0, 10.设函数 f(x)=?? ? ? ?x2+x-1,x≥0, A.(-2,1) C.(1,+∞) 【解析】 原不等式可化为
2

2

若 f(z)>1,则实数 z 的取值范围是(

)

B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

3

1?z ? ?? ?3? -8>1, ?? ? ? ?z<0

?z +z-1>1, ? 或? ?z≥0, ?

2

解得 z<-2 或 z>1,即实数 z 的范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 【答案】 B
?x +2x,x≥0, ? 11. 若函数 f(x)=? 2 ?2x-x ,x<0, ?
2

f(a2-6)+f(a)>0, 则实数 a 的取值范围是(
B.(-2,3) D.(-3,2)

)

A.(-∞,-2)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞)

【解析】 画出函数 f(x)的图象(略),由图可知 f(x)在 R 上是奇函数且为增函数,所 以 f(a -6)+f(a)>0? f(a -6)>-f(a)=f(-a)? a -6>-a? a<-3 或 a>2. 【答案】 C 12.若定义在 R 上的函数 y=f(x),其图象是连续不断的,且存在常数 λ (λ ∈R),使 得 f(x+λ )+λ f(x)=0 对任意的实数 x 都成立,则称 f(x)是一个“λ 的相关函数”,则 下列结论正确的是( )
2 2 2

A.f(x)=0 是常数函数中唯一一个“λ 的相关函数” B.f(x)=x 是一个“λ 的相关函数” C.f(x)=e 是一个“λ 的相关函数” 1 D.“ 的相关函数”至少有一个零点 2 【解析】 对于 A,设 f(x)=c 是一个“λ 的相关函数”,则(1+λ )c=0,当 λ =- 1 时,c 可以取遍实数集,因此 f(x)=0 不是常数函数中唯一一个“λ 的相关函数”,故 A 不正确;对于 B,假设 f(x)=x 是一个“λ 的相关函数”,则(1+λ )x +2λ x+λ =0 对 任意的 x 都成立,所以 λ +1=2λ =λ =0,而此式无解,所以 f(x)=x 不是一个“λ 的 相关函数”,故 B 不正确;对于 C,令 e 出,不存在 λ ,使得 e
-λ -(x+λ ) 2 2 2 2 2 -x 2

+λ e =0,则 e

-x

-λ

=-λ ,作出图象容易得

?1? 1 =-λ 成立,故 C 不正确;对于 D,令 x=0,得 f? ?+ f(0)=0, ?2? 2

1 1 ?1? ?1? 所以 f? ?=- f(0),若 f(0)=0,则函数 f(x)有零点,若 f(0)≠0,则 f? ?·f(0)=- 2 2 ?2? ?2? 1 ? 1? 2 [f(0)] <0.又 y=f(x)的图象是连续不断的,所以 f(x)在?0, ?上必有零点,因此“ 的相 2 ? 2? 1 关函数”必有零点,即“ 的相关函数”至少有一个零点.故 D 正确. 2 【答案】 D 二、填空题

4

1 ? ?log x,x≥1, 13.(2013·北京高考)函数 f(x)=? 2 ? ?2x,x<1

的值域为________.

1 1 x 1 【解析】 当 x≥1 时,log x≤log 1=0,∴当 x≥1 时,f(x)≤0.当 x<1 时,0<2 <2 , 2 2 即 0<f(x)<2.因此函数 f(x)的值域为(-∞,2). 【答案】 (-∞,2) 14.已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=3x+2,则 f(x)的函数解析式为________. 【解析】 由题意令 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
?a =3, ? ∴? ?ab+b=2, ?
2

解得?

?a= 3, ?b= 3-1,

或?

?a=- 3, ?b=- 3-1,

∴f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1. 【答案】 f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1
? ?2x+a,x<1, 15.已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ?

若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值

为________. 【解析】 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;

f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- .当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 4 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 因为 f(1-a)=f(1+a), 3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a=- . 4 3 【答案】 - 4 16.对任意两个实数 x1,x2,定义 max(x1,x2)=? =-x,则 max(f(x),g(x))的最小值为________.
5 ?x1,x1≥x2, ? ?x2,x1<x2. ?

若 f(x)=x -2,g(x)

2

【解析】 f(x)-g(x)=x -2-(-x)=x +x-2,由 x +x-2≥0,解得 x≥1 或 x≤
?-x,-2<x<1, ? 2 -2,又当-2<x<1 时,x +x-2<0,∴max(f(x),g(x))=? 2 ?x -2,x≥1或x≤-2, ?

2

2

2

作出

y=max(f(x),g(x))的图象如图,由图象可知函数的最小值为 f(1)=-1.

【答案】 -1

6


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