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2015-2016学年高中数学 2.3第1课时 离散型随机变量的数学期望课时作业(含解析)新人教B版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 2.3 第 1 课时 离散型随机变量的数学期望 课时作业 新人教 B 版选修 2-3

一、选择题 1.若随机变量 X~B(5,0.8),则 E(X)的值为( A.0.8 C.5 [答案] B [解析] ∵X~B(5,0.8), ∴E(X)=5×0.8=4. 2. 样本(x1, x2, ?, xn)的平均数为 x , 样本(y1, y2, ?, yn)的平均数为 y ( x ≠ y ). 若 1 样本(x1,x2,?,xn,y1,y2,?,ym)的平均数 z =α x +(1-α ) y ,其中 0<α < ,则 n, 2 B.4 D.3 )

m 的大小关系为(
A.n<m C.n=m [答案] A

) B.n>m D.不能确定

[解析] 由题意,x1+x2+?+xn=n x ,y1+y2+?+ym=m y ,

z=


x1+x2+?+xn+y1+y2+?+ym n m = x+ y. m+n m+n m+n
=α ,∴0< 1 < ,∴m>n. m+n 2 )

n

n

m+n

3.若随机变量 ξ ~B(n,0.6),且 E(ξ )=3,则 P(ξ =1)的值是( A.2×0.4 C.3×0.4 [答案] C [解析] ∵E(ξ )=n×0.6=3,∴n=5. ∴P(ξ =1)=C5×0.6×(1-0.6) =3×0.4 .故选 C.
1 4 4 4

B.2×0.4 D.3×0.6

5

4

4

4.(2015·衡水高二检测)设随机变量 ξ 的分布列如下表所示且 E(ξ )=1.6,则 a-b =( ) ξ 0 0.1 1 2 3 0.1

P

a

b

1

A.0.2 C.-0.2 [答案] C

B.0.1 D.-0.4

[解析] 由 0.1+a+b+0.1=1,得 a+b=0.8① 又由 E(ξ )=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得 a+2b=1.3② 由①②解得 a=0.3,b=0.5,∴a-b=-0.2.故选 C. 5.设 E(X)=10,则 E(3X+5)等于( A.35 C.30 [答案] A [解析] E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35. 6.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 ) B.40 D.15

c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的期值为 1(不计其他得分情况),则 ab 的最大值
为( ) 1 A. 48 1 C. 12 [答案] B [解析] 3a+2b+0×c=1,∴3a+2b=1, 1 1 3a+2b 2 1 ∴ab= ×(3a×2b)≤ ×( )= . 6 6 2 24 1 1 当且仅当 3a=2b,即 a= ,b= 成立. 6 4 7.(2015·长春高二检测)口袋中有 5 个球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 ξ 表示取出的球的最大号码,则 E(ξ )=( A.4 9 C. 2 [答案] C 1 1 C3 3 C4 [解析] ξ 的可能取值为 3,4,5, P(ξ =3)= 3= , P(ξ =4)= 3= , P(ξ =5)= 3 C5 10 C5 10 C5 6 = , 10 1 3 6 9 故 E(ξ )=3× +4× +5× = . 10 10 10 2
2 2

1 B. 24 1 D. 6

) B.5 15 D. 4

2

二、填空题 8.将一颗骰子连掷 100 次,则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)=________. [答案] 50 3

1? ? [解析] 这是 100 次独立重复试验,X~B?100, ?, 6? ? 1 50 ∴E(X)=100× = . 6 3 7 9.已知某离散型随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ )= ,ξ 的分布列如下表: 6 ξ 0 1 1 3 2 1 6 3

P
则 a=________. [答案] 1 3

a

b

7 1 1 1 [解析] E(ξ )= =0×a+1× +2× +3b? b= ,又 P(ξ =0)+P(ξ =1)+P(ξ = 6 3 6 6 1 1 1 1 2)+P(ξ =3)=1? a+ + + =1? a= . 3 6 6 3 三、解答题 10.某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下: 每人连续投掷 5 支飞镖,累积 3 支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以 下两种情况下中止投掷:①累积 3 支飞镖掷中目标;②累积 3 支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数 p(p>0.5),且掷完 3 支飞镖就中止投掷 1 的概率为 . 3 (1)求 p 的值; (2)记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 1 3 3 [解析] (1)由已知 P(X=3)=p +(1-p) = , 3 1 2 2 解得 p= 或 p= .∵p>0.5,∴p= . 3 3 3 1 (2)X 的所有可能取值为 3,4,5.P(X=3)= , 3
2 2 2 P(X=4)=[C2 , 3×( ) × ]× +[C3×( ) × ]× =

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1 10 3 27

3

2 2 P(X=5)=C2 (或 P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)= ). 4×( ) ×( ) =

2 3

1 3

8 27

8 27

X 的分布列为 X P
3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴X 的数学期望为 E(X)=3× +4× +5× = . 3 27 27 27

一、选择题 1.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过 搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

126 A. 125 168 C. 125 [答案] B

6 B. 5 7 D. 5

27 54 [解析] 题意知 X=0、1、2、3,P(X=0)= ,P(X=1)= , 125 125

P(X=2)=

36 8 ,P(X=3)= , 125 125

27 54 36 8 150 6 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 125 125 125 125 125 5 2. 今有两台独立工作在两地的雷达, 每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85, 设发现目标的雷达台数为 ξ ,则 E(ξ )=( A.0.765 C.1.765 [答案] B [解析] 设 A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件,ξ 的可能取值为 0、1、2.
4

) B.1.75 D.0.22

P(ξ =0)=P( A · B )=P( A )·P( B )
=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.

P(ξ =1)=P(A· B + A ·B)=P(A)·P( B )+P( A )·P(B)=0.9×0.15+0.1×0.85
=0.22.

P(ξ =2)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.85=0.765.
∴E(ξ )=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.故选 B. 3.已知随机变量 p 的分布列为

p P

-2 1/12

-1

0

1 1/12

2 1/6 )

3 1/12

m

n

1 其中 m,n∈[0,1),且 E(P)= ,则 m,n 的值分别为( 6 1 1 A. , 12 2 1 1 C. , 4 3 [答案] D [解析] 由题意得 1 1 1 1 ? ?12+m+n+12+6+12=1, ? 1 1 1 1 1 -2· +?-1?m+0·n+1· +2· +3· = , ? ? 12 12 6 12 6 7 m+n= , ? ? 12 即? 1 1 -m= . ? ?2 6 二、填空题 1 m= , ? ? 3 ∴? 1 n= . ? ? 4 1 1 B. , 6 6 1 1 D. , 3 4

4.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表:

t P(ξ =t)

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望 ,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模 糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )=________. [答案] 2 [解析] 设?处为 x, ! 处为 y, 则由分布列的性质得 2x+y=1, ∴期望 E(ξ )=1×P(ξ =1)+2×P(ξ =2)+3×P(ξ =3)=4x+2y=2.

5

5. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 1、 2、 3、 4.P(ξ =k)=ak+b(k=1、 2、 3、 4). 又 ξ 的数学期望 E(ξ )=3,则 a+b=________. [答案] 1 10

[解析] 由已知得,(a×1+b)+(a×2+b)+(a×3+b)+(a×4+b)=1,即 10a+4b =1① 又 E(ξ )=3,故(a+b)×1+(2a+b)×2+(3a+b)×3+(4a+b)×4=3,即 30a+10b =3② 1 1 联立①、②,解得 b=0,a= ,∴a+b= . 10 10 三、解答题 6.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列. A3 1 [解析] (1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA,那么 P(EA)= 2 4= , C5A4 40 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40 (2)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ =2”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则
3

P(ξ =2)=

C5A3 1 2 4= . C5A4 4

2 3

3 所以 P(ξ =1)=1-P(ξ =2)= ,ξ 的分布列是 4 ξ 1 3 4 2 1 4

P

7.(2015·陕西理,19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道 路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

T(分钟)
频数(次) (1)求 T 的分布列与均值 E(T);

25 20

30 30

35 40

40 10

(2)刘教授驾车从老校区出发, 前往新校区做一个 50 分钟的讲座, 结束后立即返回老校 区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.
6

[解析] (1)由统计结果可得 T 的频率分布为

T(分钟)
频率

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

以频率估计概率得 T 的分布列为

T P

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

从而 E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设 T1、 T2 分别表示往、 返所需时间, T1、 T2 的取值相互独立, 且与 T 的分布列相同. 设 事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对 应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.

P( A )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)
=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故 P(A)=1-P( A )=0.91. 8.已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球 得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). [解析] (1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且

P(X=3)= 3= ;
C4·C5 10 P(X=4)= 3 = ; C9 21
1 2

C5 5 C9 42

3

P(X=5)=

C4·C5 5 = ; 3 C9 14 C4 1 C9 21
3

2

1

P(X=6)= 3= .
所以 X 的分布列为

X P
(2)由(1)知

3 5 42

4 10 21

5 5 14

6 1 21

E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)= .

13 3

7


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