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2010高考数学 解斜三角形


解斜三角形
(一)选择题(共 8 题) 1.(北京卷文 7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个 等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 (A) 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; (B) sin ? ? 3 cos ? ? 3

(C) 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 ; (D

) 2sin ? ? cos ? ? 1 2.(湖北卷理 3)在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =

2 2 A - 3

2 2 B 3

6 C - 3

D

6 3

c 3. 湖南卷理 6 文 7) ( 在△ABC 中, A, C 所对的边长分别为 a,b,c, 角 B, 若∠C=120°, ?
则 A、a>b B、a<b C、a=b D、a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,

4. (江西卷理 7) E , F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ?

16 A. 27

2 B. 3

3 C. 3

3 D. 4

5.(辽宁卷理 8 文 8)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于 (A)

|a |2 | b |2 ?(a ? ) 2 b

(B)

|a |2 | b |2 ? ( a ? ) 2 b

1 |a |2 | b |2 ?(a ? ) 2 b 2 (C)

1 |a |2 | b |2 ?(a? ) 2 b 2 (D)

1 1 1 , , 6.(上海卷理 18)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 13 11 5 ,则此
人能 (A)不能作出这样的三角形 (C)作出一个直角三角形 【答】( (B)作出一个锐角三角形 (D)作出一个钝角三角形 )

7.(上海卷文 18)若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

8.(天津卷理 7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

(二)填空题(共 7 题)

1.(北京卷理 10 文 10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 ,

?C ?

2? 3 ,则 a =



2.(广东卷理 11)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

3. (广东卷文 13) 已知 a, c 分别是△ABC 的三个内角 A, C 所对的边, a=1, b, B, 若 b= 3 , A+C=2B,则 sinA=

b a ? ? 6 cos C 4(江苏卷 13)在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, a b ,则 tan C tan C ? ? tan A tan B __ 1 5. (全国Ⅰ新卷理 16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 2 DC, ? ADB=120°,AD=2,
若△ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______ 6. (全国Ⅰ新卷文 16)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 ,

?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____
7. (山东卷理 15 文 15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2 , b=2,sinB+cosB= 2 ,则角 A 的大小为______________. (三)解答题(共 17 题) 1.(安徽卷理 16)设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin(

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B


(Ⅰ)求角 A 的值;

(Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c )。

??? ??? ? ?

2.(安徽卷文 16) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,

cos A ?

12 13 。

??? ??? ? ? AB?AC ; (Ⅰ)求
(Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 3.(福建卷理 19)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇 出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时 的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 4.(福建卷文 21)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇 出发时,轮船位于港口的 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小 时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速 行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (I)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (I)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;

5.(江苏卷 17)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β 该小组已经测得一组α 、β 的值,tanα =1.24,tanβ =1.20,,请据此算出 H 的值 该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m),使α 与β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α -β 最大 [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

H H h H ? tan ? ? AD ? BD ? AB ? tan ? , tan ? 。 tan ? , (1)AD 同理: H H h ? ? tan ? tan ? tan ?

AD — AB=DB , 故 得

, 解 得 :

H?

ht a n ? ? 4 1 . 2 4 ? ? 124 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20 。
H H h H ?h , tan ? ? ? ? d AD DB d ,

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得

tan ? ?

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d

d?
号)

H ( H ? h) ? 2 H ( H ? h) d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等 d ,(当且仅当

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。

0? ? ?? ?
因为

?
2 ,则

0 ?? ?? ?

?

2 ,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ……12 分

、 7. ( 辽 宁 卷 文 17 ) 在 ? ABC 中 , a、 b c分 别 为 内 角 A、B、C 的 对 边 , 且
2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,是判断 ? ABC 的形状。 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2
2 2 2 即 a ? b ? c ? bc 2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A

1 cos A ? ? , A ? 120 ? 2 故
2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C.

又 sin B ? sin C ? 1 ,得

sin B ? sin C ?

1 2

因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C

所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 8. ( 全 国 Ⅰ 卷 理 17 文 18 ) 已 知 VABC 的 内 角 A , B 及 其 对 边

a

,b

满足

a ? b ? ac o t A? bc o t B ,求内角 C .

9. (全国Ⅱ卷理 17 文 17) ?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,

sin B ?

5 13 ,

cos ?ADC ?

3 5 ,求 AD .

【分析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角 形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。

cos ?ADC ?
【解析】由

3 ? ? 0知B ? 5 2

cos B ?
由已知得 从而

12 4 ,sin ?ADC ? 13 5,

sin ?BAD ? sin(?ADC ? B)

= sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B 4 12 3 5 ? ? ? ? 5 13 5 13
? 33 65 .

由正弦定理得

AD BD ? sin B sin ?BAD ,

33 ?
BD ? sin B AD ? sin ?BAD 所以

=

5 13 =25 33 65 .
5 3? 3

10.(陕西卷理 17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距

?

? 海里的两个观测点,

现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏 西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/ 小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解 由题意知 AB= 海里,

∠ DA B=90°—60°=30°,∠ DAB=90°—45°=45°, ∴∠ADB=180°—(45°+30°)=105°,

在△ADB 中,有正弦定理得

11.(陕西卷文 17)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 ?? 2, 2 AD?DC 由余弦定理得 cos ? = 2 ?10 ? 6

? ? ADC=120°, ? ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°,
AB AD ? 由正弦定理得 sin ?ADB sin B ,

AD ? ?ADB 10sin 60? sin ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2
S?

3 2 ?5 6
.

? AB=

12.(四川卷理 19 II)已知△ABC 的面积

? 1 ??? ???? 3 , AB ? AC ? 3 cos B ? 2 5 ,求 cos C . ,且

解析:

AC cos B ? 13.(天津卷文 17)在 ? ABC 中, AB cos C 。
(Ⅰ)证明 B=C:

?? ? 1 ? 4B ? ? 3 ? 的值。 (Ⅱ)若 cos A =- 3 ,求 sin ?
【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二 倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.

sin B cosB 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sin C = cosC . 于 是
sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

1 (Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 3 .

2 2 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos 2B = 3 .
2

7 4 2 cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? 9. 从而 sin4B=2sin2Bcos2B= 9 ,cos4B=

sin(4 B ? ) ? sin 4 B cos ? cos 4 Bsin ? 3 3 3 所以

?

?

?

4 2 ?7 3 18 。

cos 2C ? ?
14.(浙江卷理 18))在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。

1 10 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= 4 ,及 0<C<π 所以 sinC= 4 . ? a c ? (Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 sin A sin C ,得 c=4 1 6 由 cos2C=2cos2C-1= 4 ,J 及 0<C<π 得 cosC=± 4 ?
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 b= 6

c=4 或 c=4 15.(浙江卷文 18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,

S?
满足

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 4 。

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。 解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能 力。

1 3 (Ⅰ)解:由题意可知 2 absinC= 4 ,2abcosC.所以 tanC= 3 . π 因为 0<C< π ,所以 C= 3 . 2π (Ⅱ)解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin( 3 -A) 1 π 3 =sinA+ 2 cosA+ 2 sinA= 3 sin(A+ 6 )≤ 3 .
当△ABC 为正三角形时取等号,

所以 sinA+sinB 的最大值是 3 .

2 ? x ? f ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos2 , x ? R 3 ? 2 ? 16.(重庆卷理 16)设函数 。
(Ⅰ)求

f ? x?

的值域;

(Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 的值。

f ? B?

=1,b=1,c= 3 ,求 a

2 3 2 3 2 4 c 17. 重庆卷文 18) ( 设△ABC 的内角 A、 C 的对边长分别为 a、 c, 3b ? c ? a ? 2 b B、 b、 且

.

(Ⅰ)求 sin A 的值.

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 1 ? cos 2 A (Ⅱ)求 的值.

?

?


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