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广东省深圳市宝安中学2016届高三10月月考数学(理)数学试题


绝密★启用前

宝安中学 2016 届高三 10 月月考 数 学 (理科)
2015-10-15
注意事项: 1、考生务必将自己的姓名、考好、考试科目星系等填涂在答题卷上; 2、选择题、综合题均完成在答题卷上; 3、考试结束,监考人员将答题卷收回。 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分



第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

? 2x ?1 ? 1.若集合 A ? ?x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x ? 0? ,则 A ? B 是( ? 3? x ? ? 1 ? A. ?x 2 ? x ? 3? B. ? x ? ? x ? 2? ? 2 ? ? 1? C. ? x ? 1 ? x ? ? ? 2? ? ? ? 1 D. ?x ? 1 ? x ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

)

2.如果(3+i)z =10i(其中 i 2 ? ?1 ,则复数 z 的共轭复数为(

)

A. -1+3i

B.1-3i

C.1+3i

D.-1-3i

3.设向量 a ? ?1,?2? ,向量 b ? ?? 3,4? ,向量 c ? ?3,2? ,则向量 a ? 2b ? c ? ( A.-15 B.0 C. -11 D. -3 4.已知 {an } 为等比数列,下面结论中正确的是( ) A. a1 ? a3≥2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 B.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2
2 2 D. a12 ? a3 ≥2a2

?

?



x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 a b 2 y ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个 交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐近线方程

开始 输入 x

为( ) x?0 A. x ? 3 y ? 0 B. 3x ? y ? 0 是 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 6. (1 ? x)4 (1 ? x )3 的展开式 x 2 的系数是( ) y ? log2 ?x ? 1? A.-6 B.-3 C.0 D.3 7.如图所示的程序框图的输入值 x ???1,3? ,则输 输出 y 出值 y 的取值范围为( A. ?1, 2? B. ?0, 2? ) C. ?0,1? D. ? ?1, 2?
结束



y ? 2?x ? 1

8.假如某天我校某班有 3 男 2 女五位同学均获某年北大、清华、复旦三大名校的
数学理科试卷 第 1 页 (共 4 页)

保送资格,那么恰有 2 男 1 女三位同学保送北大的概率是( ) 6 2 24 8 A. B. C. D. 125 81 125 81 9.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 BCD, ?BCD 是边长 为 3 的等边三角形,若 AB ? 2 ,则球 O 的表面积为( ) A. 4? B. 12? C. 16? D. 32? π? ? π 10.函数 y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 的图象是( ) 2? ? 2
y y y y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A.

B.

C.

D.

11.已知点 E、F、G 分别是正方 ABCD ? A 1、CC1、DD 1 的中点, 1B 1C 1D 1 的棱 AA 点 M、N、Q、P 分别在线段 DF、AG、BE、C1B1 上 . 以 M、N、Q、P 为顶点的 P C 三棱锥 P ? MNQ 的俯视图不可能是( ) B
1 1

D
1

F M C N

A E1 Q B A

G

A

B

C

D

D

x 1 12. 已知函数 f ( x) ? ln ? , g ( x) ? e x ? 2 , 对于 ?a ? R, ?b ? ? 0, ?? ? 使得 g (a ) ? f (b) 2 2 成立,则 b ? a 的最小值为( ) A. ln 2 B. ? ln 2 C. 2 e ? 3 D. e 2 ? 3 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

1 ,若函数 y ? f ?x? ? m 为奇函数,则实数 m ? 2 ?1 2 14.在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) ,

13.已知函数 f ? x ? ? 则 S2n?1 ? 4n ?

x

? x ? 3 y ? 4 ? 0, ? 15.已知约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? x ? ay(a ? 0) 恰好 在点 (2, 2) 处取 .. ?3 x ? y ? 8 ? 0, ?

到最大值,则 a 的取值 范围为 . 2 16.设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M 3,0 的直线与抛物线相交于 A, B 两 点, 与抛物线的准线相交于 C , BF ? 2 , 设 ?BCF 与 ?ACF 的面积分别为 S1 、

?

?

数学理科试卷 第 2 页 (共 4 页)

S2 则

S1 ? S2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,且 2b cos C ? 2a ? c . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A sin C 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中, 随机发放了 l20 份问巻。对收回的 l00 份有效问卷进行统计,得到如下 2 x2 列 联表: 做不到光盘 能做到光盘 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 (1)现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷,若从这 9 份问卷中随机抽取 4 份,并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ? ,试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 (2)如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 P,那么根据 临界值表最精确的 P 的值应为多少?请说明理由。 n(ad ? bc) 2 2 附:独立性检验统计量 K = , 其中 n=a+b+c+d, (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 独立性检验临界表: P(K2 ? k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024 19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC , 其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (1)求证: BC ⊥ A1 B (2)若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点, 求二面角 P ? A1 B ? C 的余弦值.
A A1 C1

B1

D

P

C

20.(本小题满分 12 分) B 2 2 已知定圆 M : ( x ? 3) ? y ? 16 ,动圆 N 过点 F ( 3,0) 且与圆 M 相切,记圆 心 N 的轨迹为 E (1)求轨迹 E 的方程; (2) 设点 A, B, C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称, 且 AC ? CB , 当 ?ABC 的 面积最小时,求直线 AB 的方程。
数学理科试卷 第 3 页 (共 4 页)

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx(m ? R) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2 . (Ⅰ)求实数 m 的值; f ( x) ? x (Ⅱ)设 g ( x ) ? ,讨论 g ( x) 的单调性; x ?1 m n n (Ⅲ)已知 m, n ? N * 且 m ? n ? 1,证明: n ? m m
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一小题计分。作答时 请写清题号。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 1 B, C 两点,且 AB ? AC ,作直线 AF 与圆 E 相切于 3 点 F ,连结 EF 交 BC 于点 D ,已知圆 E 的半径为 2, ?EBC ? 30 0 (Ⅰ)求 AF 的长; (Ⅱ)求证: AD ? 3ED .

A B E D F

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为: ? ( ? 为参数) , y ? 2 ? 2sin ? ? ??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; ? (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 与 C1 的异于 3 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

数学理科参考答案:
一、选择题:1—4 二.填空题:13. 三、解答题:
17.解(Ⅰ)由余弦定理可得: 2b ? ∴ cos B ?
a2 ? b2 ? c2 ? 2a ? c ,即 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac , 2ab a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,由 B ? (0, ? ) 得 B ? . ???5 分 2ac 2 3 ? 2? ? A ,???6 分 (Ⅱ)由 B ? 得, C ? 3 3

CBDD

5—8 BABD
1 ?3

9-12 CACA
?

1 2

14. ? 2

? 15. ? ? ,?? ?

16.

4 5


?

2? 3 1 sin A sin C ? sin A sin( ? A) ? sin A cos A ? sin2 A 3 2 2

3 1 1 1 ? 1 sin 2 A ? cos 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? .???9 分 4 4 4 2 6 4 2? ? ? 7? ∵ A ? (0, ) ,∴ 2 A ? ? (? , ) ,???10 分 3 6 6 6 1 ? ∴ ? ? sin(2 A ? ) ? 1 ,???11 分 2 6

3 ∴ sin A sin C 的取值范围为 (0, ] .???12 分 4 18.解: (1)因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的,所以 9 份问卷中有 6 份做不到光盘,3 份能做到光盘。????????2 分 因为 ? 表示从这 9 份问卷中随机抽出的 4 份中能做到光盘的问卷份数,所以 ? 有 0,1,2,3 的可能取值,又 9 份问卷中每份被取到的机会均等,所以随机变量 ? 服从 超几何分布,可得到随机变量的分布列为: 3 1 C4 C6 C3 10 5 ? ? P?? ? 0? ? 6 ? P ? ? 1 ? ? 4 21 C9 42 C94
2 2 C6 C3 5 ? 4 14 C9 随机变量的分布列可列表如下:

P?? ? 2? ?

P?? ? 3? ?

1 3 C6 C3 1 ? 4 21 C9

?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

?6 分

P
所以 E? ? 0 ?

5 10 5 1 4 ? 1? ? 2 ? 3 ? ? ????????8 分 42 21 14 21 3 2 n(ad ? bc) 2 100?45? 15 ? 30 ? 10? 100 (2)K 2 ? ? ? ? 3.03 ?10 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 55? 45? 25? 75 33 因为 2.706 ? 3.03 ? 3.840 ,所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好 “光盘习惯”与性别有关,即精确的值应为 0.10 ?????12 分 19.(1)证明:? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

AD ? BC . 又 AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A , A1 ? BC ? 平面 A1 AB , 又 AB ? 平面 A1 BC , ? BC ⊥ AB ??????5 分 (2)由(1)知,如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系

? ?

? A1 A ? 平面 ABC ,又 BC ? 平面 ABC , ? A1 A ? BC ? AD ? 平面 A1 BC ,且 BC ? 平面 A1 BC ,

z
B1

C1

?

B ? xyz ? AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上,

AD ? A1 B .

x
D P C

在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 ,AB=2,

A AD 3 , ?ABD ? 600 sin ?ABD ? ? AB 2 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB . 在 Rt ??ABA1 中,

y

AA1 ? AB ? tan 600 ? 2 3 , ???7 分
BA1 ? (0,2,2 3 ) BC ? (2,0,0)
设平面 PA1 B 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 则

B

则 B (0,0,0), A(0,2,0) ,C(2,0,0),P(1,1,0), A1(0,2,2 3 ), BP ? (1,1,0)

?? ? ??? ? ? n ? BP ? 0 ?x ? y ? 0 ? 1 即? ? ?? ???? n ? BA ? 0 ? ?2 y ? 2 3 z ? 0 ? 1 1

可得 n1 ? (3,?3, 3 ) ???10 分

设平面 CA1 B 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z ) 可得 n2 ? (0,?3, 3 )



?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 7 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? 7 n1 n2

?? ? ??? ? ? ?n 2 ? BC ? 0 ? x ? 0 ? ???? 即? ? ?? ? ?n2 ? BA1 ? 0 ?2 y ? 2 3 z ? 0

? 平面 PA1 B 与平面 A1 BC 的夹角的 余弦值是

2 7 ???12 分 7 (或 ? AD ? 平面A1 BC, 则AD即为平面A1 BC的法向量 在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 ,

AB=2,则 BD=1

1 3 3 3 可得 D( 0, , ) AD ? (0,? , ) 2 2 2 2 ?? ???? ?? ???? n1 ? AD 2 7 2 7 ) cos n1 ? AD ? ?? ? 平面 PA1 B 与平面 A1 BC 的夹 角的余弦值是 ? ???? ? 7 7 n 1 AD

20.解: (Ⅰ) 因为点 F 3,0 在圆 M : x ? 3 ? y 2 ? 16 内, 所以圆 N 内切于圆 M, 因为|NM|+|NF|=4>|FM|, 所以点 N 的轨迹 E 为椭圆, 且 2a ? 4, c ? 3 , 所以 b=1, 所以轨迹 E 的方程为 .???4 分

?

?

?

?

2

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或 1 左右顶点) ,此时 S ?ABC ? OC ? AB ? 2 .???5 分 2 (ii) 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时, 设其斜率为 k , 直线 AB 的方程为 y ? kx , 联立 方程 所以|OA|2= 得 .???7 分 ,

由|A C|=|CB|知,△ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的中点,OC⊥AB,所以直线 OC 1 的方程为 y ? ? x , k 由 解得 , = , ,???9 分

S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|= 由于 所以 ,???11 分 ,



当且仅当 1+4k2=k2+4,即 k=±1 时等号成立,此时△ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或

y ? ? x .???12 分

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? x ln x ? mx, 所以 f ' ( x) ? 1 ? ln x ? m ??1 分 由题意 f ' (1) ? 1 ? ln1 ? m ? 2 ,得 m ? 1 ??3 分 x ? 1 ? ln x f ( x) ? x x ln x ? ( x ? 0, x ? 1) ,所以 g , ( x) ? . ??4 分 (Ⅱ) g ( x) ? x ?1 x ?1 ( x ? 1)2 1 设 h( x) ? x ? 1 ? ln x, h, ( x) ? 1 ? . x 1 当 x ? 1 时, h, ( x ) ? 1 ? ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数; ?????5 分 所以 g ' ( x) ? ( x ? 1) 2 1 当 0 ? x ? 1 时, h, ( x ) ? 1 ? ? 0 , h( x) 是减函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0,1? 上为增函数; 所以 g , ( x) ? ( x ? 1)2 所以 g ( x) 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 都是单调递增的。 ?????8 分 (Ⅲ)因为 m ? n ? 1(m, n ? N * ) ,由(Ⅱ)知 g (m) ? g (n) 成立,



m ln m n ln n ? ???9 分 m ?1 n ?1 ,
m n

n ?1 m ?1 ln n ln m ln m ? ln n ,即 ? ? ln n ? ln m, 所以 从而 n m m n

n n ? 。?12 分 m m

22.解: (1)延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90 0 ,

又 BM ? 2 BE ? 4, ?EBC ? 30 0 ,所以 BC ? 2 3 , 1 1 又 AB ? AC , 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 3 2 2 根据切割线定理得 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 ????5 分 ED EH (2)证明:过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH~?ADF ,从而有 ,又 ? AD AF 1 ED 1 由题意知 CH ? BC ? 3, EB ? 2 所以 EH ? 1 ,因此 ? , 2 AD 3 即 AD ? 3ED ??10 分 x y 23.解: (1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 ?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4cos ? ?2 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数)???5 分 ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2 (2)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。 3 3 所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .????10 分 24.解: (1) f ( x) ? -2 当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;
射线 ? ?
2 2 当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ? ,∴ ? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} ???5 分 3 ? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 函数 f ( x) 的图像如图所示: ? ? x ? 4, x ? 1 ?
y 3 4 x

令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴当- a ? 2,即 a ? -2 时成立; ???????8 分 a 当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? , 2 a ∴ a ? 2+ ,即 a ? 4 时成立,综上 a ? -2 或 a ? 4。 ????10 分 2

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