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江苏省连云港市2012-2013第一学期期末高二文科试题


连云港市 2012~2013 学年度第一学期期末测试 高二数学试题(选修历史)
考试说明: 1.本试卷共 6 页,两大题,共 20 小题,考试时间 120 分钟. 2.请在试题规定的地方答解,其它地方解答无效. 题号 得分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在试题中的横 线上. 1.已知命题 p : “所有的平行四边形都不是矩

形” ,则 ?p : 2.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 =4,a9 =16 ,则此等差数列的公差 d ? . . . 1-14 15 16 17 18 19 20 总分

3.若“ x ? a ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

1 4.在 ?ABC 中,若 ?B ? 120 ,sin A ? , BC ? 2 ,则 AC= 3
5.函数 f ( x) ? 2x 2 ? ln x 的单调减区间为 .



6.已知 M 是抛物线 x2 =8 y 上一点,若以点 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛 物线的顶点,则该圆的周长是 . . .

7. 若双曲线 C 的渐近线方程为 y = ? 2 x , 且经过点 (2,2 2) , 则 C 的标准方程为 8. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c . 若 (2b ? c)2 ? 4a2 ? 3c2 , 则∠A=
? x ? y ? 2 ? 0, y ? 9.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 3y ? 6 ? 0, 则 z ? 的最小值为 x ? y ? 2, ?



10.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 2 xy ? 0 ,则 x ? 4 y 最小值是
2 2



11.已知椭圆

x y + =1 的焦点为 F1, F2 ,P 为椭圆上一点,且 ?F1PF2 =90 ,则 ?F1 PF2 的 16 4 面积为 .

12 . 若 等 比 数 列
2 2 a12 ? a 2 ?a ? 3 ... ? an ?

?an ?
2

的 前 n 项 和 Sn ? 3 ? 2n ? a (a .

为 常 数 ), 则

13.过抛物线 C: x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l,交 C 于 A,B 两点.若 F 恰好为线段 AB 的三等分点,则直线 l 的斜率 k= .
m

14.设 f (i, k ) ? i ? 2( k ?1) (i ? N* , k ? N* ) ,如 f (2,3) ? 2 ? 2(3?1) ? 8 .对于正整数 m,n,当
m ? 2,n ? 2 时,设 g (i, n) ? f (20 , n) ? f (21 , n) ? ??? ? f (2i , n) , S (m, n) ? ? ( ?1)i g (i, n) ,
i ?1

则 S (4,6) =

. 高二数学试题(选修历史)第 1 页(共 6 页)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x m ?1 m ? 2 轴上的双曲线.若“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求实数 m 的取值范围.
设 p:不等式 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R;q:方程

16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .已知 A, B, C 成等差数列,且 b ? 3 . (1)若 sin A ? cos A ? 2 ,求 a; (2)求 ?ABC 面积的最大值.

高二数学试题(选修历史)第 2 页(共 6 页)

17. (本小题满分 14 分) 某单位要建造如图所示的仓库,仓库下方是半径为 r(m) ,高为 l(m)的圆柱,上 方是半球形.按照设计,仓库的体积为定值 V(m3) .假设该仓库的建造费用仅与 表面积有关,圆柱侧面部分每平方米的造价为 c 元,半球面部分每平方米的造价为 2c 元,仓库总的建造费用为 y 元. (1)写出 y 与 r 的函数关系; (2)怎样设计仓库,才能使总的建造费用最小?
l

r

(第 17 题图)

高二数学试题(选修历史)第 3 页(共 6 页)

18. (本小题满分 16 分)

1 1 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x+ , f (2) ? ?7, f '(2) ? ?3 , g (2) ? 1 ,g'(2) ? ? . 3 2
(1)求函数 f ( x) 在 [ ? 4,4] 的最大值和最小值; f ( x) ? 5 (2)设 h( x ) ? ,求曲线 y ? h( x) 在点 (2, h(2)) 处的切线 l 的方程,并判断 l 是 g ( x) 否与曲线 y ? f ( x) 相切,请说明理由.

高二数学试题(选修历史)第 4 页(共 6 页)

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E: 为 F. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若经过 F 的直线 l (不与 x 轴重合)交椭圆 E 与 B,C 两点,延长 BA,CA, 分别交右准线于 M,N 两点.求证:FN⊥FM.
y B F

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P(1, ) ,离心率 e= ,右顶点为 A,右焦点 2 2 2 a b

N
A

O C

x

M

(第 19 题图)

高二数学试题(选修历史)第 5 页(共 6 页)

20. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是各项为正数的等差数列, a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ; {bn } 是各项均为正数 的等比数列. (1)若 a1 =b1 =2, a4 ? b3 ? 3, S3 ? b2 ? 19 . (ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (ⅱ)记 Tn =anb1 +an-1b2 + ??? +a1bn ,n ? N*,当 Tn >10220 ? 6n ,求 n 的最小值. (2)是否存在等差数列 {an } ,使

S2 n ,若存在,求出 ? k ( n ?N*,k 是非零常数) Sn

其通项公式;若不存在,请说明理由.

高二数学试题(选修历史)第 6 页(共 6 页)

连云港市 2012-2013 学年度第一学期期末测试

高二数学试题(选修历史)参考答案
一、填空题: 1.有的平行四边形是矩形 6. 6 ? 12. 3(4n ? 1) 二、解答题: 15.若不等式 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R, 则 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0 ,解之得 ?1 ? m ? 3 ,即 p: ?1 ? m ? 3 .????????(4 分) 方程
?m ? 1 ? 0, x2 y2 即 q : m ? 1 .?(6 分) ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 ? m ?1 m ? 2 ?m ? 2 ? 0,

2.2 8.

3. [2, ??)

4. 3 3 10. 3+2 2

1 5. (0, ] 2
11.4

7.

x2 y 2 ? ?1 2 8
13.

2? 3

9. 14.640

1 3

2 2 或? 4 4

因为“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,所以 p 和 q 一真一假.??????(8 分)
??1 ? m ? 3, (1)当 p 真 q 假时, ? 得 ?1 ? m ? 1 ;?????????????(10 分) ?m ? 1, ?m ? ?1或m ? 3, (2)当 p 假 q 真时, ? 得 m ? 3 .?????????????(12 分) ?m>1,

综上, m 的取值范围是 ( ? 1,1]

[3,+?) .???????????????(14 分)

16. (1)因为 A, B, C 成等差数列,所以 A ? C ? 2 B , 又
A ? B ? C ? ? ,? B =

?
3

. ????????????????????(2 分)

sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ? 2 ,? sin( A ? ) ? 1 . 4 4
0? A?? ,

?

?

?
4

? A?

?
4

?

5? ? ? ? ,? A ? = , A ? .??????????(6 分) 4 4 2 4

根据正弦定理,得

a 3 a b ,即 . = = ? ? sin A sin B sin sin 4 3

解之,得 a ? 2 .

????????????????????(8 分)

高二数学试题(选修历史)第 7 页(共 6 页)

(2)根据余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 由(1)知, B =

?
3

,b ? 3 ,

于是, 3 ? a2 ? c2 ? 2cos

?
3

ac ? a2 ? c2 ? ac ,??????????????(10 分)

根据基本不等式, a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 3 ? a 2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac , 所以 ac ? 3 ,当且仅当 a=c 时,取“=” . ???????????????(12 分)
1 3 3 3 ac ? 所以 S = ac sin B = . 2 4 4

?????????????????(14 分)

17. (1)半球面部分面积为 2? r 2 ,

2 由题意得 ? r 2l + ? r 3 =V ,? l = 3

2 V ? ? r3 3 .???????????????(4 分) ? r2

2 V ? ? r3 2V 4 2 3 圆柱侧面部分面积为 2? rl =2? r ? ? ? ? r ,?????????(6 分) ? r2 r 3

所以建造费用 y ? 2c ? 2? r 2 ? c( (2) y ' ? 2c ? (? 令 y' ? 0得?

2V 4 2 V 4 ? ? r ) ? 2c( ? ? r 2 ) .????????(8 分) r 3 r 3
????????????????(10 分)

V 8 ? ? r) . r2 3

3V V 8 . ? ? r =0 ,? r = 3 2 8 ? r 3 3V 所以,当仓库的半径 r = 3 时,总的建造费用最少.??????????(14 分) 8?

18. (1) f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,

1 ? ?8a ? 4b ? 6 ? ? ?7, 由题意,得 ? 3 ? 12 a ? 4 b ? 3 ? ?3, ? 1 ? ?a ? , 解之,得 ? 3 ? ?b ? ?1,

??????????????????(2 分)

1 1 因此 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? . 3 3

??????????????????(4 分)

f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f '( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 .

列表如下: x
f '( x)

?4

(?4, ?1)

?1

( ? 1,3)

3 0

(3, 4)

4 /



+

0

-

+

高二数学试题(选修历史)第 8 页(共 6 页)

f ( x)

? 25



2



?

26 3



?

19 3

由上表知, f min ( x) ? ?25, f max ( x) ? 2 . (2) h(2) ?
h '( x) ? f (2) ? 5 ?7 ? 5 ? ? ?2 , g (2) 1

???????????????(8 分)

f '( x) g ( x) ? g '( x)[f ( x)+5] , g 2 ( x)

f '(2) g (2) ? g '(2)[f (2)+5] = 所以切线斜率 k ? h '(2) ? g 2 (2)

1 ?3 ? 1 ? (? ) ? [(?7) ? 5] 2 ? ?4 , 1

所求切线方程为 y ? ( ? 2)= ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 6 ? 0 .????????(12 分) 设直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切于点 ? x0 , y0 ? ,
2 由(1)得,过该切点的切线斜率为 k ? x0 ? 2x0 ? 3 ? ?4 ,

解得 x0 = 1,所以 f ( x0 ) ? ? 又因为点 (1, ?

10 . 3

10 不在直线 l 上, ) 3 所以直线 l 与曲线 y ? f ( x) 不相切.?????????????????(16 分)
9 ?1 ? a 2 ? 4b2 ? 1, ? ?c 1 19. (1)由题意得 ? ? , ??????????????????(2 分) ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?
2 ? ?a ? 4, x2 y 2 解之得 ? 2 所以椭圆 E 的标准方程为 ? ? 1 .?????????(4 分) 4 3 ? ?b ? 3.

(2)由(1)知,A(2,0) ,F(1,0) ,右准线方程为 x ? 4 .

3 3 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 方程为 x =1 ,可得 B,C 两点坐标分别为 (1, ),(1, ? ) . 2 2
所以直线 BA 方程为
y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y = ? 3 ,即 M (4, ? 3) ; 3 ? 0 1? 2 2

直线 CA 方程为

y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y =3 ,即 N (4,3) . 3 1 ? 2 ? ?0 2

高二数学试题(选修历史)第 9 页(共 6 页)

因此 FM ? (3, ?3), FN ? (3,3),

FM ? FN ? 3 ? 3+( ? 3) ? 3=0 ,即 FN⊥FM.???????????????(8 分)
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

? x2 y2 ? 1, ? ? 4k 2 ? 6 k 2 +1 由题意得 ? 4 解之得 x = ,代入直线 l 方程得 3 4k 2 +3 ? y ? k ( x ? 1), ?
B( 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 6k k 2 ? 1 ? 3k 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 ?6k k 2 ? 1 ? 3k , ), C ( , ) .????(10 分) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

直线 BA 方程为

y?0 6k k ? 1 ? 3k ?0 4k 2 ? 3
2

=

x?2 4k ? 6 k 2 ? 1 ?2 4k 2 ? 3
2



当 x=4 时,得 M (4,

6k k 2 +1 ? 3k 3 k 2 +1 ? 2k 2 ? 3

) ,所以 FM ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

) .?(12 分)

同理可求得 FN ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ?

) . ??????????????(14 分) 6k k 2 ? 1 ? 3k

? FM ? FN ? 9 ?

6k k 2 ? 1 ? 3k

3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

?9?

36k 4 ? 27k 2 36k 2 (k 2 ? 1) ? 9k 2 ? 9 ? ?0, ? 4k 4 ? 3k 2 9(k 2 ? 1) ? (2k 2 ? 3) 2

所以 FN⊥FM. 综上,对于任意与 x 轴不重合的直线 l,都有 FN⊥FM.?????????(16 分) 20. (1)(ⅰ)因为 a1 =b1 =2, a4 ? b3 ? 3, S3 ? b2 ? 19 ,

19 ? ?2 ? 3d ? 2q 2 ? 3, ?d ? 3, ?d ? , 所以 ? 解之,得 ? 或? 3 ?q ? 2, ?q ? ?3. ?6 ? 3d ? 2q ? 19, ?
因为 {bn } 是各项均为正数,所以 q ? 0 ,故 d ? 3, q ? 2 .
an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1 ,

高二数学试题(选修历史)第 10 页(共 6 页)

bn ? b1 ? qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ?????????????????????(4 分)

(ⅱ) Tn =anb1 +an-1b2 + ??? +a1bn ? (3n ? 1) ? 2 ? (3n ? 4) ? 22 ? ??? ? 2 ? 2n ,
2Tn ? (3n ? 1) ? 22 ? (3n ? 4) ? 23 ? ??? ? 2 ? 2n?1 , ?Tn ? 6n ? 2 ? 3 ? (22 ? 23 ? ??? ? 2n ) ? 2n? 2
? 6n ? 2 ? 12(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 2 ? 6n ? 10 ? 10 ? 2n,

?Tn ? 10 ? 2n ? 6n ? 10 .

?????????????????????(8 分)

由 Tn >10220 ? 6n ,得 2n ? 1023 , n ? 10 . 符合条件的 n 的最小值为 10.???????????????????(10 分) (2)设存在符合条件的数列 {an } 的公差为 d,则 Sn ? na ? 且

n(n ? 1) d. 2

S2 n 4a ? 2(2n ? 1) d ? k ,???????????????(12 分) ? k (k ? 0) ,即 2a ? (n ? 1)d Sn

化简得 (4d ? dk )n ? 4a ? 2d ? 2ak ? dk ? 0 对所有 n ? N*成立.
?4d ? dk =0, 所以有 ? ???????????????????(14 分) ?4a ? 2d ? 2ak ? dk =0,

当 d=0 时,k=2,数列 {an } 通项公式为 an ? a ; 当 d ? 0 时,k=4, d ? 2a ,数列 {an } 通项公式为 an ? 2an ? a .?????(16 分)

高二数学试题(选修历史)第 11 页(共 6 页)


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