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广西南宁市2015届高考数学三模试卷(理科)


广西南宁市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设集合 P={﹣1,0,1},Q={x| < },则 P∩Q=() A.{0,1} B.{1} C.{0} D.{﹣1,0,1} 2. (5 分)若复数 A.1 +ai(a∈R)的模为 2,则 a 的值为() B. 2 C . ﹣1 D.不

存在

3. (5 分)已知变量 x、y 满足约束条件:

,则 z=x﹣3y 的最小值是()

A.﹣

B. 4

C . ﹣4

D.﹣8

4. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果 s=9,则图中菱形内应 该填写的内容是()

A.n<2
x

B.n<3

C.n<4

D.a<3

5. (5 分)若方程 2 +x=8 的根 x0∈( , A.2 B. 3
4 2 3

)k∈Z,则 k 的值为() C. 4
4

D.5

6. (5 分)若(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则 a0+a2+a4=() A.﹣119 B.﹣120 C.﹣121 D.41

7. (5 分)已知 ω>0,0<φ<π,点 A( 的图象的两个相邻的对称中心,则 φ=() A. B.

,0)和点 B(

,0)是函数 f(x)=sin(ωx+φ)

C.

D.

8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=5,S5=20,则数列{ 为() A. B. C.
2

}的前 100 项和

D.

9. (5 分)随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,已知 P(ξ<0)=0.3,则 P(ξ<2)等于() A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.4 10. (5 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,SC 为球 O 的直径,则此棱锥的体积为() A. B. C. D.

11. (5 分)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 上存在点 P 满足 A.[ , ] ?
2

=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆

=2c ,则此椭圆离心率的取值范围是() B.(0, ] C. [ ,1) D.[ , ]

12. (5 分)已知 a>0,函数 f(x)= A. B. 1

在区间[1,4]上的最大值等于 ,则 a 的值为() C. 2 D.4

二、填空题 13. (5 分)已知双曲线 轴长等于. 14. (5 分)如图,在正四面体 S﹣ABC(四个面都是等边三角形)中,点 D 是棱 AB 的中点, 则异面直线 SD 和 BC 所成角的余弦值是. =1 的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则该双曲线的实
2

15. (5 分)如图,在△ ABC 中,| AB 上的点且 = , = ,

|=4,| =

|=2,∠BAC=90°,D,E,F 分别是边 BC,CA, ,则 ? 的值为.

16. (5 分)设数列满足 a1=3, (2﹣an)?an+1=1,则数列{an}的通项公式是.

三、解答题 17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 满足 a=2sinA, (Ⅰ)求边 c 的大小; (Ⅱ)求△ ABC 面积的最大值. 18. (12 分)某涉及运动员向一目标射击,该目标分为 3 个不同部分,第一、二、三部分面积 之比为 1:3:6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)若射击 4 次,每次击中目标的概率为 0.5 且相互独立,设 ξ 表示目标被击中的次数,求 ξ 的分布列和数字期望 E(ξ) ; (2)若射击 2 次均击中目标,A 表示事件“两次击中的部分不同”,求事件 A 发生的概率. 19. (12 分) 如图, 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1, AB⊥AC, M 是 CC1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 =λ . .

(1)当 λ=1 时,求证:直线 PN⊥平面 AMN; (2)若平面 PMN 与平面 AA1C1C 所成的二面角为 45°,试确定点 P 的位置.

20. (12 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线 y =16x 的焦点为其中 一个焦点,以双曲线 =1 的焦点为顶点.

2

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 E,F 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,则当直线 PE,PF 的斜率 都存在,并记为 kPE、kPF 时,kPE?kPF 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理 由. 21. (12 分)设函数 g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, (m∈R) . (1)当 m=1 时,求函数 y=g(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数 y=g(x)的单调递增区间; (3)若函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点 a,b,且 a<b,记{x}表示大于 x 的 最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值.
2

请考生在第 22,23,24,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分) (几何证明选讲选做题)已知 AD 是△ ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延 长线于点 D,延长 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3 ,求 AD 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,

Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为

(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (不等式选做题)对于实数 x,y,若|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,求|x﹣y+1|的最大值.

广西南宁市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设集合 P={﹣1,0,1},Q={x| < },则 P∩Q=() A.{0,1} B.{1} C.{0} D.{﹣1,0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 Q,然后求解交集即可. 解答: 解:集合 P={﹣1,0,1}, Q={x| < }={x|0<x<2}, 则 P∩Q={0,1}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的基本运算,基本知识的考查. +ai(a∈R)的模为 2,则 a 的值为() B. 2 C . ﹣1 D.不存在

2. (5 分)若复数 A.1

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数为 a+bi 的形式,利用复数的模求解即可. 解答: 解:复数 ∵复数 ∴ +ai= +ai=2+(a﹣1)i.

+ai(a∈R)的模为 2, ,

解得 a=1. 故选:A. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的模的求法,考查计算能力.

3. (5 分)已知变量 x、y 满足约束条件:

,则 z=x﹣3y 的最小值是()

A.﹣

B. 4

C . ﹣4

D.﹣8

考点: 简单线性规划.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(﹣2,2) ,

化目标函数 z=x﹣3y 为 由图可知,当直线

, 过 A(﹣2,2)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值为﹣2

﹣3×2=﹣8. 故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 4. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果 s=9,则图中菱形内应 该填写的内容是()

A.n<2

B.n<3

C.n<4

D.a<3

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,s,a 的值,当 n=3,s=9 时由题意 此时应该不满足条件,退出循环输出 s 的值为 9,则结合选项,即可得图中菱形内应该填写的 内容. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=1,s=0,n=1 s=1,a=3 满足条件,n=2,s=4,a=5 满足条件,n=3,s=9,a=7 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 s 的值为 9, 则结合选项,图中菱形内应该填写的内容是:n<3. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基本知识的考查. 5. (5 分)若方程 2 +x=8 的根 x0∈( , A.2 B. 3
x

)k∈Z,则 k 的值为() C. 4 D.5

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 由题意可得 2x0+x0﹣8=0.令 f(x)=2 +x﹣8=0,由 f(2)<0,f(3)>0,可得 x0∈(2,3) .再根据 x0∈( ,
x

) ,k∈Z,可得 k 的值

解答: 解:∵x0 为方程 2 +x=8 的解,∴2x0+x0﹣8=0. x 令 f(x)=2 +x﹣8=0,∵f(2)=﹣2<0,f(3)=3>0, ∴x0∈(2,3) .

再根据 x0∈( ,

)k∈Z,可得 k=4,

故选:C 点评: 本题主要考查函数零点与方程的根的关系,函数零点的判定定理,属于中档题. 6. (5 分)若(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则 a0+a2+a4=() A.﹣119 B.﹣120 C.﹣121 D.41 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 4 2 3 4 分析: 对(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x 中的 x 进行赋值,令 x=1 以及 x=﹣1 得到两个 关系式,联立相加即可求出所求. 解答: 解:∵(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x , ∴令 x=1 得 1=a0+a1+a2+a3+a4,① 令 x=﹣1 得 81=a0﹣a1+a2﹣a3+a4,② 将①+②得 2(a0+a2+a4)=82 ∴a0+a2+a4=41. 故选:D. 点评: 本题主要考查了二项式系数的性质,以及二项式展开式的应用,属于基础题.
4 2 3 4 4 2 3 4

7. (5 分)已知 ω>0,0<φ<π,点 A( 的图象的两个相邻的对称中心,则 φ=() A. B.

,0)和点 B(

,0)是函数 f(x)=sin(ωx+φ)

C.

D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据正弦函数的周期性求得 ω 的值,再根据 sin( 结合所给的选项,可得 φ 的值. 解答: 解:由题意可得 = 再根据 sin( +φ)=sin( = ﹣ ,∴ω=1,f(x)=sin(x+φ) . , +φ)=sin( +φ)=0,

+φ)=0,结合所给的选项,可得 φ=

故选:D. 点评: 本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于基础题. 8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=5,S5=20,则数列{ 为() A. B. C. D. }的前 100 项和

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式可得 an,再利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a4=5,S5=20, ∴ ,解得 .

∴an=2+(n﹣1)=n+1. ∴ ∴数列{ = = . = = }的前 100 项和 S100= . + +…+

故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 9. (5 分)随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,已知 P(ξ<0)=0.3,则 P(ξ<2)等于() A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.4 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,得到曲线关于 x=1 对称,根据曲线的对称性得 到小于 0 的和大于 2 的概率是相等的, 从而做出大于 2 的数据的概率, 根据概率的性质得到结 果. 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3, ∴P(ξ<2)=1﹣0.3=0.7, 故选:C. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题. 10. (5 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,SC 为球 O 的直径,则此棱锥的体积为() A. B. C. D.
2 2 2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意得出空间几何体的直观图,利用圆的几何知识得出 Rt△ SBC,Rt△ SDC, Rt△ SAC,利用边长根据勾股定理得出△ ABS,△ ADS,为直角三角形,可得 SA⊥平面 ABC, 即可求棱锥的体积. 解答: 解:根据题意得出: AC=2 ,SC=4,AB=BC=DC=DA=2 根据圆的几何知识得出 Rt△ SBC,Rt△ SDC,Rt△ SAC, ∴可知 SD=SB=2 ,SA=2 , 根据勾股定理得出△ ABS,△ ADS,为直角三角形. ∴SA⊥AC,SA⊥AB, ∵AC∩AB=A, ∴SA⊥平面 ABC, ∴棱锥的体积为 故选:C. = ,

点评: 本题考查了球的内接几何体的问题,充分利用圆的知识得出直线,平面的位置关系, 从而利用公式求解即可.

11. (5 分)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 上存在点 P 满足 A.[ , ] ?
2

=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆

=2c ,则此椭圆离心率的取值范围是() B.(0, ] C. [ ,1) D.[ , ]

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(x0,y0) ,则 2c =
2

,化为

.又

,可得

=

,利用

,利用离心率计算公式即可得出.

解答: 解: 设P (x0, y0) , 则 2c = 化为 .

2

= (﹣c﹣x0, ﹣y0) ? (c﹣x0, ﹣y0) =

+



又 ∵

,∴ ,

=




2 2 2



∵b =a ﹣c ,∴ ∴ .



故选:A. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 在区间[1,4]上的最大值等于 ,则 a 的值为() C. 2 D.4

12. (5 分)已知 a>0,函数 f(x)= A. B. 1

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 x﹣2a 在区间[1,4]上恒大于零?恒小于零?既有大于零又有小于零?对应的 f (x)的最大值是什么,求出 a 的值. 解答: 解: (1)当 x﹣2a 在区间[1,4]上恒大于零时, ∵x﹣2a>0,∴a< ; 当 x=1 时,满足 x﹣2a 在[1,4]上恒大于零,即 a< ; 此时函数 f(x)= =1﹣ ,

该函数在定义域[1,4]上为增函数,在 x=4 时,取最大值 f(4)= , ∴a=1,不满足 a< 的假设,舍去. (2)当 x﹣2a 在区间[1,4]上恒小于零时, ∵x﹣2a<0,∴a> ; 当 x=4 时,满足 x﹣2a 在[1,4]上恒小于零,即 a>2;

此时函数 f(x)=

=

﹣1,

该函数在定义域[1,4]上为减函数,在 x=1 时,取最大值 f(1)= , ∴a=1,不满足 a>2 的假设,舍去. (3)由前面讨论知,当 <a<2 时,x﹣2a 在区间[1,4]上既有大于零又有小于零时, ①当 x<2a 时,x﹣2a<0,此时函数 f(x)= 在 x=1 时,取到最大值 f(1)= ; ②当 x>2a 时,x﹣2a>0.此时函数 f(x)=1﹣ 在 x=4 时,取到最大值 f(4)= ; 总之,此时函数在区间[1,4]上先减后增,在端点处取到最大值; 当函数在 x=1 处取最大值时,解得 a=1,此时函数 f(x)= 将函数的另一个最大值点 x=4 代入得: f(4)= , ∵f(1)=f(4) ,∴满足条件; 当函数在 x=4 处取最大值时,解得 a=1,此时函数 f(x)= 将函数的另一个最大值点 x=1 代入得: f(1)= , ∵f(1)=f(4)成立. ∴a=1. 故选 B. 点评: 本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题,注意运用分类讨论方法, 是易错题. 二、填空题 13. (5 分)已知双曲线 轴长等于 2 . =1 的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则该双曲线的实
2

﹣1 在[1,2a)上为减函数,

在(2a,4]时为增函数,





考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的焦点坐标,抛物线的焦点坐标,然后求解实轴的长. 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点(2,0)是双曲线
2

=1 的一个焦点,

所以 c=2,可得 a +2=2 ,解得 a= . 双曲线的实轴长为:2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查. 14. (5 分)如图,在正四面体 S﹣ABC(四个面都是等边三角形)中,点 D 是棱 AB 的中点, 则异面直线 SD 和 BC 所成角的余弦值是 .

2

2

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 取 AC 中点 E,连接 DE、SE.在△ ABC 中利用中位线定理得 DE∥BC,所以∠SDE (或其补角)即为异面直线 SD 与 BC 所成的角,设正四面体棱长为 a,算出△ SDE 中各边之 长,再利用余弦定理加以计算可得答案. 解答: 解:取 AC 中点 E,连接 DE、SE, ∵△ABC 中 D,E 分别为 AB、AC 的中点,∴DE∥BC,DE= BC 因此,∠SDE(或其补角)即为异面直线 SD 与 BC 所成的角, 设正四面体棱长为 a,由题意可得 SD=SE= ∴在△ SDE 中,根据余弦定理得 a,DE= a,

cos∠SDE=

=

=

即异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值为 故答案为: .



点评: 本题在正四面体中求异面直线所成角大小.着重考查了正四面体的性质、三角形的 中位线定理和异面直线所成角的定义及其求法等知识,属于中档题.

15. (5 分)如图,在△ ABC 中,| AB 上的点且 = , = ,

|=4,| =

|=2,∠BAC=90°,D,E,F 分别是边 BC,CA, ,则 ? 的值为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 A 为坐标原点,AB,AC 所在直线为 y,x 轴,建立直角坐标系,即有 A(0,0) , B(0,4) ,C(2,0) ,设 D(a,b) ,E(c,d) ,F(e,f) ,由向量共线的坐标表示,解方程 可得 D,E,F,再由向量的数量积的坐标表示,计算即可得到. 解答: 解:以 A 为坐标原点,AB,AC 所在直线为 y,x 轴,建立直角坐标系, 即有 A(0,0) ,B(0,4) ,C(2,0) ,设 D(a,b) E(c,d) ,F(e,f) , 由 = , = , = ,则(c﹣2,d﹣0)= (﹣2,0) ,

(e,f)= (0,4) , (a,b﹣4)= (2,﹣4) , 解得 D( ,3) ,E( ,0) ,F(0,1) , 即有 则 ? =(1,﹣3) , =(﹣ ,﹣2) , .

=1×(﹣ )+(﹣3)×(﹣2)= .

故答案为:

点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示,主要考查向量共线的坐标运算,注意运用坐标 法是解题的关键.

16. (5 分)设数列满足 a1=3, (2﹣an)?an+1=1,则数列{an}的通项公式是 an=



考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过写出前几项猜测通项公式,然后利用数学归纳法证明即可. 解答: 解:∵a1=3, (2﹣an)?an+1=1, ∴an+1= ,

∴a2= …

=﹣1,a3=

= ,a4=

= ,

猜想:数列{an}的通项公式 an= 下面用数学归纳法证明: 当 n=1 时,显然成立; 假设当 n=k 时,有 ak= ∵(2﹣an)?an+1=1, ∴ak+1= = = = ,



=



即当 n=k+1 时也成立, 故数列{an}的通项公式 an= .

点评: 本题考查求数列的通项,考查数学归纳法,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题 17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 满足 a=2sinA, (Ⅰ)求边 c 的大小; (Ⅱ)求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知第二个等式去分母变形后,利用正弦定理化简,求出 cosC 的值,确定出 C 的度数,再利用正弦定理即可求出边 c 的大小; (Ⅱ)由 c,cosC 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 ab 的最大值,利 用面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ + + =0, .

∴ccosB+2acosC+bcosC=0, 由正弦定理化简得:sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0, 即 sin(B+C)+2sinAcosC=0, 整理得:sinA+2sinAcosC=0, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∴C= ∴c= (Ⅱ)∵c= , = ; ,cosC=﹣ ,

∴cosC=﹣ = ∴a +b +ab=3, 2 2 ∵a +b ≥2ab, ∴3ab≤3, ∴S△ ABC= absinC≤ ,
2 2



则△ ABC 面积的最大值为



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌 握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)某涉及运动员向一目标射击,该目标分为 3 个不同部分,第一、二、三部分面积 之比为 1:3:6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)若射击 4 次,每次击中目标的概率为 0.5 且相互独立,设 ξ 表示目标被击中的次数,求 ξ 的分布列和数字期望 E(ξ) ; (2)若射击 2 次均击中目标,A 表示事件“两次击中的部分不同”,求事件 A 发生的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据相互独立事件的概率公式分别求出对应变量的概率即可求 ξ 的分布列和数 字期望 E(ξ) ; (2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,Bi 表示事件“第二次击中目标时,击 中第 i 部分”,根据独立事件同时发生的概率公式进行求解. 解答: 解: (1)P(ξ=k)= 则 P(ξ=0)= 则分布列为: ξ 0 ,k=0,1,2,3,4, ,

,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= ,P(ξ=4)=

1

2

3

4

P 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =2.

=

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2,3, Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2,3, 则 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,P(A3)=P(B3)=0.6, ∵A=A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2, ∴P(A)=P(A1B2)+P(A1B3)+P(A2B1)+P(A2B3)+P(A3B1)+P(A3B2) =P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P (A3)P(B2) =0.1×0.3+0. 1×0.6+0.3×0.1+0.3×0.6+0.6×0.1+0.6×0.3=0.54. 点评: 本题主要考查随机变量的分布列以及期望,利用相互独立事件的概率公式是解决本 题的关键. 19. (12 分) 如图, 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1, AB⊥AC, M 是 CC1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 =λ .

(1)当 λ=1 时,求证:直线 PN⊥平面 AMN; (2)若平面 PMN 与平面 AA1C1C 所成的二面角为 45°,试确定点 P 的位置.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系.只要证明 可得出 PN⊥AN,PN⊥AM,即可证明直线 PN⊥平面 AMN; (2)设平面 PMN 的一个法向量为 =(x,y,z) ,P(λ,0,1) ,利用 ,可取 = =0, =0,即

(3,2λ+1,2﹣2λ) .取平面的一个法向量 = 所成的二面角为 45°,可得 =

=(1,0,0) ,利用平面 PMN 与平面 AA1C1C = ,解出即可.

解答: (1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系.N M .

,P(1,0,1) ,

= ∵ =

, +0=0, =0+ =0,

∴PN⊥AN,PN⊥AM,又 AM∩AN=A, ∴直线 PN⊥平面 AMN; (2)解:设平面 PMN 的一个法向量为 =(x,y,z) ,P(λ,0,1) , = , = ,



,∴



取 =(3,2λ+1,2﹣2λ) . 取平面的一个法向量 = =(1,0,0) ,

∵平面 PMN 与平面 AA1C1C 所成的二面角为 45°, ∴ = = = ,

解得 λ=

或 λ=1.

∴点 PB1A1 的延长线上,且|A1P|= ,或点 P 与点 B1 重合.

点评: 本题考查了利用法向量的夹角求空间角、线面垂直的判定与性质定理,考查了空间 想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (12 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线 y =16x 的焦点为其中 一个焦点,以双曲线 (1)求椭圆的标准方程; =1 的焦点为顶点.
2

(2)若 E,F 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,则当直线 PE,PF 的斜率 都存在,并记为 kPE、kPF 时,kPE?kPF 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理 由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题设条件知抛物线的焦点为(4,0) ,双曲线的焦点为(±5,0) ,设椭圆的 标准方程为 + =1,由 a=5,c=4,由此能求出椭圆的标准方程;

(2) 设出点 P, E, F 的坐标, 表示出 kPE、 kPF, 运用点差法, 结合斜率公式, 即可得到 kPE?kPF 为定值. 解答: 解: (1)由抛物线 y =16x 的焦点为(4,0) ,可得 c=4, ∴可设椭圆的标准方程为 + =1,
2

双曲线 即有 a=5,

=1 的焦点(±5,0)为顶点,

∴b =25﹣16=9, 故椭圆的标准方程为 + =1.

2

(2)设 E、F 是椭圆上关于原点对称点,设 E(m,n) ,则 F(﹣m,﹣n) , 设 P 点坐标为(x,y) ,则 + =1, + =1.

两式相减可得,

+

=0,

即为

=﹣



又 kPE=

,kPF=



则 kPE?kPF=

=﹣



∴kPE?kPF 为定值,且为﹣



点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义与几何性质,以及点差法的运用,考查 学生的计算能力,属于中档题.

21. (12 分)设函数 g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, (m∈R) . (1)当 m=1 时,求函数 y=g(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数 y=g(x)的单调递增区间; (3)若函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点 a,b,且 a<b,记{x}表示大于 x 的 最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 m=1 代入函数解析式,求得导函数,得到切线的斜率,则切线方程可求; (2)求出函数 y=g(x)的定义域,求得导函数,由 m 得范围得到 g′(x)所在不同区间内的 符号,从而求得函数的单调区间; (3)由(2)得到函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点的 m 的范围,由 a,b 为方 程 2x ﹣2x+m=0 的两相异正根,及根与系数关系,得到 a,b 的范围,把 m 用 a(或 b)表示, 得到 g(a) (或 g(b) ) ,求导得到 g(b)的取值范围,进一步求得{g(a)}(或{g(b)}) , 则答案可求. 解答: 解: (1)函数 y=g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, 则切线方程为 y=x﹣1, 故所求切线方程为 x﹣y﹣1=0; (2)函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞) , 令 g′(x)=0 并结合定义域得 2x ﹣2x+m>0. ①当△ ≤0,即 m 时,g′(x)≥0,则函数 g(x)的增区间为(0,+∞) ; 时,函数 g(x)的增区间为 ; ③当△ >0 且 m≤0,即 m≤0 时,函数 g(x)的增区间为 (3)由(2)得 0 ,
2 2 2 2

2

,k=g′(1)=1,



②当△ >0 且 m>0,即 0



,a,b 为方程 2x ﹣2x+m=0 的两相异正根, ,
2

2

又由 2b ﹣2b+m=0,得 m=﹣2b +2b, ∴g(b)=b ﹣2b+1+mlnb=b ﹣2b+1+(﹣2b +2b)lnb,b∈ , 当 b∈ 时,g′(b)>0,即函数 g(b)是 上的增函数.
2 2 2



故 g(b)的取值范围是 同理可求得 g(a)的取值范围是

,则{g(b)}=0. ,则{g(a)}=0 或{g(a)}=1.

∴{g(a)}﹣{g(b)}=0 或 1. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的 单调性,考查了方程根个数的判断,体现了数学转化思想方法,考查了计算能力,是压轴题. 请考生在第 22,23,24,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分) (几何证明选讲选做题)已知 AD 是△ ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延 长线于点 D,延长 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3 ,求 AD 的长.

考点: 圆內接多边形的性质与判定;圆周角定理. 专题: 选作题. 分析: (1)证明 FB=FC,即证∠FBC=∠FCB,利用 AD 平分∠EAC,四边形 AFBC 内接 于圆,可证得; (2) 先计算得∠ACD=90°, ∠DAC=60°, ∠D=30°, 在 Rt△ ACB 中, 求 AC 的长, 在 Rt△ ACD 中,求 AD 的长. 解答: (1)证明:∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC; ∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; …2′ ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5 (2)解:∵AB 是圆的直径,∴∠ACD=90° ∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′ 在 Rt△ ACB 中,∵BC=3 ,∠BAC=60°,∴AC=3 又在 Rt△ ACD 中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6 …10′ 点评: 本题考查几何证明选讲,考查圆内接四边形的性质,属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,

Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为

(1)求直线 l 的倾斜角;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|. 考点: 圆的参数方程;直线与圆相交的性质;直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: (1)根据直线参数方程中的意义,求出直线 l 的倾斜角. (2)把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程,可知曲线是圆,根据点到直线的距离公式和 圆被直线所截得的弦长公式进行计算. 解答: 解: (1)直线参数方程可以化 ,根据直线参数方程的意义,

这条经过点

,倾斜角为 60°的直线. , , 的直角坐标方程为

(2)l 的直角坐标方程为

所以圆心

到直线 l 的距离

,∴



点评: 本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程,这两个方程是坐标系与参数方程中的 重点. 经过点 P0(x0,y0) 、倾斜角为 α 的直线的参数方程是 的点 P 处的参数 t 的几何意义是有限线段 其中 t 为参数,直线上

的数量. 以及点到直线的距离公式的应用.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (不等式选做题)对于实数 x,y,若|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,求|x﹣y+1|的最大值. 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题. 分析: 解法一:利用绝对值不等式的性质得|x﹣y+1|=|(x﹣1)﹣(y﹣2)|≤|x﹣1|+|y﹣2|, 再利用条件求得|x﹣y+1|的最大值. 解法二:由条件可得﹣1≤x﹣1≤1 且﹣1≤2﹣y≤1,相加可得﹣2≤x﹣y+1≤2,即|x﹣y+1|≤2,从 而求得|x﹣y+1|的最大值. 解答: 解法一:∵|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,∴|x﹣y+1|=|(x﹣1)﹣(y﹣2)|≤|x﹣1|+|y﹣2|≤1+1=2, (当且仅当 x=2,y=3,或 x=0,y=1 时取等号) , 故|x﹣y+1|的最大值为 2. 解法二:∵|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,∴﹣1≤x﹣1≤1 且﹣1≤y﹣2≤1, 即﹣1≤x﹣1≤1 且﹣1≤2﹣y≤1. 相加可得﹣2≤x﹣y+1≤2,即|x﹣y+1|≤2,故|x﹣y+1|的最大值为 2. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,不等式的性质的应用,属于中档题.


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