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高中奥林匹克物理竞赛解题方法-整体法1


一、整体法
方法简介 1
整体是以物体系统为研究对象,从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律,是一种把

具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体,多个状态,或者多个物理变化过程组合作为 一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维,也可以说是一种综合思维,也是多种思维的高 度综合,层次深、理论性强、运用价值高。因此在物

理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决 问题,一方面表现为知识的综合贯通,另一方面表现为思维的有机组合。灵活运用整体思维可以产生不同 凡响的效果,显现“变”的魅力,把物理问题变繁为简、变难为易。

赛题精讲
例 1:如图 1—1 所示,人和车的质量分别为 m 和 M ,人用水平力 F 拉绳子,图中两端绳子均处于水平方向,不计滑轮质量及摩擦,若人 。 和车保持相对静止,且水平地面是光滑的,则车的加速度为 解析:要求车的加速度,似乎需将车隔离出来才能求解,事实上, 解析 人和车保持相对静止,即人和车有相同的加速度,所以可将人和车看做 一个整体,对整体用牛顿第二定律求解即可。 将人和车整体作为研究对象,整体受到重力、水平面的支持力和两 条绳的拉力。在竖直方向重力与支持力平衡,水平方向绳的拉力为 2F , 所以有: 2F = (M + m)a ,解得:a =
2F M+m

例 2:用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图 1—2 所示,今对小球 a 持续施加一个向左偏 下 30°的恒力,并对小球 b 持续施加一个向右偏上 30°的同样大小的恒力,最后达到平衡,表示平衡状态 的图可能是( )

解析: 解析:表示平衡状态的图是哪一个,关键是要求出两条轻质细绳对小球 a 和小球 b 的拉力的方向,只 要拉力方向求出后, 。图就确定了。 先以小球 a 、b 及连线组成的系统为研究对象,系统共受五个力的作用,即两个重力(ma + mb)g ,作 用在两个小球上的恒力 Fa 、Fb 和上端细线对系统的拉力 T1 。因为系统处于平衡状态,所受合力必为零, 由于 Fa 、Fb 大小相等,方向相反,可以抵消,而(ma + mb)g 的方向竖直向下,所以悬线对系统的拉力 T1 的方向必然竖直向上。再以 b 球为研究对象,b 球在重力 mbg 、恒力 Fb 和连线拉力 T2 三个力的作用下处 于平衡状态,已知恒力向右偏上 30°,重力竖直向下,所以平衡时连线拉力 T2 的方向必与恒力 Fb 和重力 mbg 的合力方向相反,如图所示,故应选 A 。 OA 水平放置, 例 3:有一个直角架 AOB , 表面粗糙,OB 竖直向下,表面光 滑, 上套有 OA 小环 P ,OB 上套有小环 Q ,两 个环的质量均 为 m,两环间由一根质量可忽略、 不何伸长的细 绳相连, 并在某一位置平衡, 如图 1—4 所示。现 将 P 环向左移动一段距离,两环 再次达到平
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衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比,OA 杆对 P 环的支持力 N 和细绳上的拉力 T 的变化 情况是( ) A.N 不变,T 变大 B.N 不变,T 变小 C.N 变大,T 变小 D.N 变大,T 变大 解析:先把 P、Q 看成一个整体,受力如图 1—4—甲所示,则绳对两环的拉力为内力,不必考虑,又 解析 因 OB 杆光滑,则杆在竖直方向上对 Q 无力的作用,所以整体在竖直方向上只受重力和 OA 杆对它的支持 力,所以 N 不变,始终等于 P 、Q 的重力之和。再以 Q 为研究对象,因 OB 杆光滑,所以细绳拉力的竖直 分量等于 Q 环的重力,当 P 环向左移动一段距离后,发现细绳和竖直方向夹角 a 变小,所以在细绳拉力的 竖直分量不变的情况下,拉力 T 应变小。由以上分析可知应选 B 。 右劈面的倾角 例 4:如图 1—5 所示,质量为 M 的劈块,其左 : 分别为 θ1 = 30°、θ2 = 45°,质量分别为 m1 = 3 kg 和 m2 = 2.0kg 的两物块,同时分别从左右劈面的顶端从静止开始下 滑,劈块始终 与水平面保持相对静止,各相互接触面之间的动摩擦 因数均为 ? = 0.20 ,求两物块下滑过程中(m1 和 m2 均未达到底端) 劈块受到地面 2 的摩擦力。 = 10m/s ) (g 解析: 把在相同时间 解析:选 M 、m1 和 m2 构成的整体为研究对象, 内,M 保持静止,m1 和 m2 分别以不同的加速度下滑三个过程视为一个整体过程来研究。根据各种性质的 力产生的条件,在水平方向,整体除受到地面的静摩擦力外,不可能再受到其他力;如果受到静摩擦力, 那么此力便是整体在水平方向受到的合外力。 根据系统牛顿第二定律,取水平向左的方向为正方向,则有: F 合 x = Ma′+ m1a1x-m2a2x 其中 a′、1x 和 a2x 分别为 M 、 1 和 m2 在水平方向的加速度的大小, a′= 0 ,1x = g (sin30°-?cos30°) a m 而 a ? cos30° ,a2x = g (sin45°-?cos45°) ? cos45° 。所以: F 合 = m1g (sin30°-?cos30°) ? cos30°-m2g (sin45°-?cos45°) ? cos45° = 3 ×10×( -0.2×
1 2

3 3 2 2 2 )× -2.0×10×( -0.3× )× =-2.3N 2 2 2 2 2

负号表示整体在水平方向受到的合外力的方向与选定的正方向相反。所以劈块受到地面的摩擦力的大 小为 2。3N,方向水平向右。 M 的平板小车 例 5:如图 1—6 所示,质量为 : 放在倾角为 θ 的光滑斜面上(斜面 固定) ,一质量 为 m 的人在车上沿平板向下运动 时,车恰好静 止,求人的加速度。 解析:以人、车整体为研究对 解析: 象,根据系统 牛顿运动定律求解。如图 1—6— 甲,由系统牛 顿第二定律得: (M + m)gsinθ = ma 解得人的加速度为 a =
M+m gsinθ m

静置 于粗糙 例 6:如图 1—7 所示,质量 M = 10kg 的木块 ABC : 的水平地面上,滑动摩擦因数 ? = 0.02 ,在木块的倾角 θ 为 30°的斜面 上,有一质量 m = 1.0kg 的物块静止开始沿斜面下滑,当 滑行路程 s = 1.4m 时,其速度 v = 1.4m/s ,在这个过程中木块没有动, 求地面对木块 的摩擦力的大小和方向。 (重力加速度取 g = 10/s2) 解析: 力、弹力、摩 解析:物块 m 由静止开始沿木块的斜面下滑,受重 擦力,在这三个恒力的作用下做匀加速直线运动,由运动学公式可以求出下滑的加速度,物块 m 是处于不 平衡状态,说明木块 M 一定受到地面给它的摩察力,其大小、方向可根据力的平衡条件求解。此题也可以 将物块 m 、木块 M 视为一个整体,根据系统的牛顿第二定律求解。
2

由运动学公式得物块 m 沿斜面下滑的加速度: a=
2 v 2 ? v0 v 2 1.42 t = t = = 0.7m/s2 2s 2s 2 × 1.4

以 m 和 M 为研究对象,受力如图 1—7—甲所示。由系统的牛顿第二定律可解得地面对木块 M 的摩擦 力为 f = macosθ = 0.61N ,方向水平向左。 例 7:有一轻质木板 AB 长为 L ,A 端用铰链固定在竖直墙上,另一端用水平轻绳 CB 拉住。板上依 : 次放着 A 、B 、C 三个圆柱体,半径均为 r ,重均为 G ,木板与墙的夹角为 θ ,如图 1—8 所示,不计 一切摩擦,求 BC 绳上的张力。 解析: 解析:以木板为研究对象,木板处于力矩平衡状态,若分别以圆柱体 A 、B 、C 为研究对象,求 A 、 B 、C 对木板的压力,非常麻烦,且容易出错。若将 A 、B 、C 整体作为研究对象,则会使问题简单化。 以 A 、B 、C 整体为研究对象,整体受到重力 3G 、木板的支持力 F 和墙对整体的支持力 FN ,其中 重力的方向竖直向下,如图 1—8—甲所示。合重力经过圆柱 B 的轴心,墙的支持力 FN 垂直于墙面,并经 过圆柱 C 的轴心,木板给的支持力 F 垂直于木板。由于整体处于平衡状态,此三力不平行必共点,即木板 给的支持力 F 必然过合重力墙的支持力 FN 的交点。 根据共点力平衡的条件:ΣF = 0 ,可得:F = 由几何关系可求出 F 的力臂 L = 2rsin2θ +
3G 。 sin θ

r + r·cotθ sin θ

以木板为研究对象,受力如图 1—8—乙所示,选 A 点为转轴,根据力矩平 衡条件 ΣM = 0 ,有:F ? L = T ? Lcosθ 即:
3Gr(2 sin 2 θ + 1 + cot θ) sin θ = T ? Lcosθ sin θ 3Gr 1 + cos θ (2tanθ + 2 ) L sin θ ? cos θ

解得绳 CB 的张力:T =

图 1—8 乙

例 8:质量为 1.0kg 的小球从高 20m 处自由下落到软垫上,反弹后上升的 : 最大高度为 5.0m ,小球与软垫接触的时间为 1.0s ,在接触时间内小球受合力的冲量大小为(空气阻力不 计,取 g = 10m/s2) ( ) A.10N ? s B.20 N ? s C.30 N ? s D.40 N ? s 解析: 解析:小球从静止释放后,经下落、接触软垫、反弹上升三个过程后到达最 高点。动量没有变化,初、末动量均为零,如图 1—9 所示。这时不要分开过程求 解,而是要把小球运动的三个过程作为一个整体来求解。 设小球与软垫接触时间内小球受到合力的冲量大小为 I , 下落高度为 H1 , 下 落时间为 t1 ,接触反弹上升的高度为 H2 ,上升的时间为 t2 ,则以竖直向上为正 方向,根据动量定理得: -mg ? t1 + I-mg ? t2 = 0 图 1—9 而 t1 =
2H 2 2H1 ,t2 = g g

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故:I = m( 2gH1 + 2gH 2 ) = 30N ? s 答案:C 例 9:总质量为 M 的列车以匀速率 v0 在平直轨道上行驶,各车厢受的阻力都是车重的 k 倍,而与车速 : 无关。某时刻列车后部质量为 m 的车厢脱钩,而机车的牵引力不变,则脱钩的车厢刚停下的瞬间,前面列 车的速度是多少? 解析: 解析:此题求脱钩的车厢刚停下的瞬间,前面列车的速度,就机车来说,在车厢脱钩后,开始做匀加 速直线运动,而脱钩后的车厢做匀减速运动,由此可见,求机车的速度可用匀变速直线运动公式和牛顿第 二定律求解。 现在若把整个列车当作一个整体,整个列车在脱钩前后所受合外力都为零,所以整个列车动量守恒, 因而可用动量守恒定律求解。 根据动量守恒定律,得:Mv0 = (M-m)V 即:V =
Mv 0 M?m Mv 0 。 M?m

即脱钩的车厢刚停下的瞬间,前面列车的速度为

【说明 说明】显然此题用整体法以列车整体为研究对象,应用动量守恒定律求解比用运动学公式和牛顿第 说明 二定律求简单、快速。 例 10:总质量为 M 的列车沿水平直轨道匀速前进,其末节车厢质量为 m ,中途脱钩,司机发觉时, : 机车已走了距离 L ,于是立即关闭油门,撤去牵引力,设运动中阻力与质量成正比,机车的牵引力是恒定 的,求,当列车两部分 都静止时,它们的距离是多少? 解析: 解析:本题若分别以机车和末节车厢为研究对象用运动学、牛顿第二定律求解,比较复杂,若以整体 为研究对象,研究整个过程,则比较简单。 假设末节车厢刚脱钩时,机车就撤去牵引力,则机车与末节车厢同时减速,因为阻力与质量成正比, 减速过程中它们的加速度相同,所以同时停止,它们之间无位移差。事实是机车多走了距离 L 才关闭油门, 相应的牵引力对机车多做了 FL 的功,这就要求机车相对于末节车厢多走一段距离 ?S ,依靠摩擦力做功, 将因牵引力多做功而增加的动能消耗掉,使机车与末节车厢最后达到相同的静止状态。所以有: FL = f ? ?S 其中 F = ?Mg , f = ?(M-m)g 代入上式得两部分都静止时,它们之间的距离:?S =
ML M?m

例 11:如图 1—10 所示,细绳绕过两个定滑轮 A 和 B ,在两端各挂 个重为 P 的物体,现在 A 、B : 的中点 C 处挂一个重为 Q 的小球,Q<2P ,求小球可能下降的最大距离 h 。已知 AB 的长为 2L ,不讲滑 轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

解析: 解析:选小球 Q 和两重物 P 构成的整体为研究对象,该整体的速率从零开始逐渐增为最大,紧接着从 最大又逐渐减小为零(此时小球下降的距离最大为 h) ,如图 1—10—甲。在整过程中,只有重力做功,机 械能守恒。 因重为 Q 的小球可能下降的最大距离为 h ,所以重为 P 的两物体分别上升的最大距离均为: h 2 + L2 -L
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考虑到整体初、末位置的速率均为零,故根据机械能守恒定律知,重为 Q 的小球重力势能的减少量等 于重为 P 的两个物体重力势能的增加量,即: Qh = 2P ( h 2 + L2 -L) 从而解得:h =
2PL( 8P 2 ? Q 2 ? Q Q 2 ? 4P 2

例 12:如图 1—11 所示,三个带电小球质量相等,均静止在光滑的 : 水平面上,若只释放 A 球,它有加速度 aA = 1m/s2 ,方向向右;若只释 放 B 球,它有加速度 aB = 3m/s2 ,方向向左;若只释放 C 球,求 C 的 加速度 aC 。 解析: 只释放一个球与同时释放三个球时, 每球所受的库仑力相同。 解析: 而若同时释放三个球,则三球组成的系统所受合外力为 0,由此根据系统牛顿运动定律求解。 把 A 、B 、C 三个小球看成一个整体,根据系统牛顿运动定律知,系统沿水平方向所受合外力等于系 统内各物体沿水平方向产生加速度所需力的代数和,由此可得: maA + maB + maC = 0 规定向右为正方向,可解得 C 球的加速度: aC =-(aA + aB) =-(1-3) = 2m/s2 方向水平向右: 例 13:如图 1—12 所示,内有 a 、b 两个光滑活塞的圆柱形金属容器,其底面固定在水平地板上,活 : 塞将容器分为 A 、B 两部分,两部分中均盛有温度相同的同种理想气体,平衡时,A 、B 气体柱的高度分 的横截面积 S 别为 hA = 10cm , hB = 20cm , 两活塞的重力均忽略不计,活塞 -3 2 上 移 动 ?h = = 1.0×10 m 。 现用竖直向上的力 F 拉活塞 a , 使其缓慢地向 3.0cm , 时, 活塞 a 、 均恰好处于静止状态, b 环境温度保护不变, 求: (1)活塞 a 、b 均处于静止平衡时拉力 F 多大? (2)活塞 a 向上移动 3.0cm 的过程中,活塞 b 移动了多少? (外界大气压 5 强为 p0 = 1.0×10 Pa) 解析: A 、B 两部分 解析:针对题设特点,A 、B 为同温度、同种理想气体,可选 气体构成的整体为研究对象, 并把两部分气体在一同时间内分别做 等温变化的过 程视为同一整体过程来研究。 (1)根据波意耳定律,p1V1 = p2V2 得:p0(10 + 20)S = p′(10 + 20 + 3.0)S′ 从而解得整体末态的压强为 p′=
10 p0 11

再以活塞 a 为研究对象, 其受力分析如图 1—12 甲所示, 因活塞 a 处于平衡状态, 故有: + p′S = p0S F 从而解得拉力: F = (p0-p′)S = (p0-
10 1 1 - p0)S = p0S = ×1.0×105×1.0×10 3 11 11 11

= 9.1N (2)因初态 A 、B 两气体的压强相同,温度相同,分子密度相 体的压强相同,温度相同,分子密度相同,故部分气体体积变化跟整 化之比,必然跟原来它们的体积成正比,即:
?h B hB = ?h h A + h B

同,末态两气 体气体体积变

所以活塞 b 移动的距离:?hB =

hB 20 ?h = ×3.0 = 2.0cm hA + hB 10 + 20

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