当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学函数解题技巧(导数及其应用)

高中数学函数解题技巧(导数及其应用)


新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

第六篇
首先掌握求导公式:① C ? ? 0;

函数解题方法和技巧
③ (sin x)? ? cos x ; ④ (cos x)? ? ? sin x ;

② ? xn ?? ? nxn?1;
1 ⑦ ? ln x ??

? ; x

⑤ (ex )? ? ex ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ;
求导法则: ① (u ? v)? ? u? ? v?

1 ⑧ ? l o g a x ?? ? log a e . x

u ?? vu ? ? v?u ② (uv)? ? vu? ? v?u ③ ? (v ? 0) ④ (Cu )? ? C ? ? ( C 为常数) ⑤复合函数求导 ? ? ? v2 ?v?

;

;

? ? ? x? y x? ? y ?

一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦:1.利用导数研究曲线 y ? f ( x) 的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热 点。 2.常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形 式出现,属容易题。 解题技巧:1.导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数 f ?( x ) 的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s (t ) 对时间 t 的导数) 。 2.求曲线切线方程的步骤: (1)求出函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 的导数 ,即 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 ; .. . .. (2)在已知切点坐标 P( x0 , f ( x0 )) 和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 注:①当曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在,切线无斜率)时, 由切线定义可知,切线方程为 x ? x0 ; ②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解。 例 1: (2010 ·海南高考·理科 T3)曲线 y ? (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 2 x ? 1

x 在点 ? ?1, ?1? 处的切线方程为( A ) x?2 (C) y ? ?2 x ? 3 (D) y ? ?2 x ? 2

二、利用导数研究导数的单调性 解题技巧:利用导数研究函数单调性的一般步骤。 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f ?( x ) ; (3)①若求单调区间(或证明单调性) ,只需在函数 f ( x ) 的定义域内解(或证明)不等式 f ?( x ) >0 或 f ?( x ) <0。 ②若已知 f ( x ) 的单调性,则转化为不等式 f ?( x ) ≥0 或 f ?( x ) ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。 例题:
1

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

三、利用导数研究函数的极值与最值 解题技巧:1.利用导数研究函数的极值的一般步骤: (1)确定定义域。 (2)求导数 f ?( x ) 。 (3)①若求极值,则先求方程 f ?( x ) =0 的根,再检验 f ?( x ) 在 方程根左右值的符号,求出极值。 (当根中有参数时要注意分类讨论) ②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f ?( x ) =0 的根的大小或存在情况,从而求解。

(注 若函数可导,则极值点处的导数等于零,但导数等于零的点不是极值点)
2.求函数 y ? f ( x) 的极值与端点处的函数值 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值。 例 例 6. (2010·全国高考卷Ⅱ理科·T10)若曲线 y ? x 的面积为 18,则 a ? [来 (A)64 (B) 32 (C)16
? 1 2 ? 1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形 ?
(D)8

1 ? ? ? 1 2 ? a , a 【规范解答】选 A, y ? ? x , 所以曲线 y ? x 在点 ? ? 处的切线: 1 3 1 2 ? ? ? ? ? 1 3 y ? a 2 ? ? a 2 ( x ? a),由x ? 0得y ? a 2 ,由y ? 0得,x ? 3a, 1 2 1 23 ? 所以, ? a 2 3a ? 18, 解得a ? 64. 2 2

?

3 2

【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型: (1) “在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导, 代入点的横坐标得到斜率。 (2) “过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点, 故应先设切点,再求切点坐标。

(2009) (21) (本小题满分 12 分) 1 设函数 f ( x) ? x 3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a ,其中常数 a>1 3 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 .
4 2

(09 全国 1) (21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程

2

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

(10 全国 1) (21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3ax4 ? 2(3a ? 1) x2 ? 4 x (I)当 a ?

1 时,求 f ( x ) 的极值; 6

(II)若 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围

(10 全国 2) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

3

2

(2011 全国)21、已知函数: (1)证明:曲线 (2)若

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4 ( a ? R )

y ? f ( x) 在 x ? 0 出的切线过点(2,2)

f ( x) 在 x ? x0 处取得极小值, x0 ? (1,3) ,求 a 的求值范围

(2012) (21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

20. (2013 课标全国Ⅰ, 文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0, f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

(2014 文)21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? =

x

3

? 3 x ? ax ? 2 ,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.
3

2

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

(Ⅰ)求 a; (Ⅱ)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

4


更多相关文档:

高中数学函数解题技巧(导数及其应用)

高中数学函数解题技巧(导数及其应用)_数学_高中教育_教育专区。新课标高考数学分析及解题技巧汇编 第六篇首先掌握求导公式:① C ? ? 0; 函数解题方法和技巧③ (...

高中数学经典解题技巧(导数及其应用)

高中数学经典的解题技巧方法(导数及其应用) 高中数学经典的解题技巧和方法(导数...3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数...

高中数学经典解题技巧(导数及其应用)

高中数学经典解题技巧(导数及其应用)_数学_高中教育_教育专区。1 高中数学经典的...3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数...

高中数学经典解题技巧(导数小技巧)

高中数学经典的解题技巧方法(导数小技巧)首先,解答导数及其应用这两个方面的...3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数...

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用...

高中数学典型例题解析导数及其应用

高中数学典型例题分析 第十章 导数及其应用 §10.1...2)函数积的求导法则:设 f (x ) , g (x ) ...的选取也是任意的, 在解题中也可选取区间的左端点...

高中数学高考综合复习导数及其应用

; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 ...(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①分解:分析所给函数的复合关系,...

高中理科数学解题方法篇(函数与导数)

高中理科数学解题方法篇(函数与导数)_数学_高中教育_教育专区。专题二 函数与导数...与 函数建立联系, 函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程,理所当然是高考的重 ...

高中数学20分钟专题突破-导数及其应用

高中数学20分钟专题突破-导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。---让学习成为一种习惯 数学组 高中数学 20 分钟专题突破 15 导数及其应用一.选择题 1.函数 y ...

高中数学选修导数及其应用

高中数学选修导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。...共 50 分,只有一个答案正确) 2 1.函数 f ( x...三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14...
更多相关标签:
高中导数解题技巧 | 高中数学导数解题技巧 | 高中函数解题技巧 | 高中数学函数解题技巧 | 高中三角函数解题技巧 | 高考导数大题解题技巧 | 导数解题技巧 | 数学导数解题技巧 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com