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平面向量2014-2016文科数学高考试题


三年高考(2014-2016)数学(文)试题分项版解析 第五章 平面向量
一、选择题 1.
【2014 高考北京文第 3 题】已知向量 a ? ? 2, 4 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b ? ( B. ? 5,9 ? C. ? 3, 7 ?

?

?

? ?

) D. ? 3,9 ?

A. ? 5, 7 ?

2.

【2015 高考北京,文 6】设 a , b 是非零向量, “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的( B .必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

? ?

? ?

? ?



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

3.

【2014 高考广东卷.文. 3】已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 3,1? ,则 b ? a ? ( B. ? 2, ?1? C. ? 2, 0 ?

?

?

? ?

) D. ? 4,3?

A. ? ?2,1?

4. 【2015 高考 广东,文 9】在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ?? CD 是平行四边形,?? ? ?1, ?2 ? ,
???? ??? ? ???? ?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 5

??? ?

5.

【2014 山东.文 7】已知向量 a ? 1, 3 , b ? ?3, m? .若向量 a, b 的夹角为 (D) ? 3

?

?

?

?

? ?

π ,则实数 m =( 6



(A) 2 3

(B) 3

(C)0

6.

【2015 高考陕西,文 8】对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是(

? ? ?



[来源: 学#科#网 Z#X#X#K]

A. | a ? b |?| a || b |

? ?

? ?

B. | a ? b |?|| a | ? | b ||

? ?

?

C. (a ? b)2 ?| a ? b |2

? ?

? ?

D. (a ? b)( a ? b) ? a ? b

?

? ?

?

?2

?2

7.
A. 1

【2014 全国 2,文 4】设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( B. 2 C. 3 D. 5

? ?

? ?

? ?

? ?



8.【2015 高考新课标 1,文 2】已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (
(A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

??? ?

??? ?

)

9.

【2014 全国 1,文 6】设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? B.

A. AD

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

10.
1(

【2014 年.浙江卷.文 9】设 ? 为两个非零向量 a 、 b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 的最小值为 ) B.若 ? 确定,则| b |唯一 确定 D.若| b |确定,则

A.若 ? 确定,则| a |唯一确定 C.若| a |确定,则

? 唯一确定

? 唯一确定
? ? ?
? ?


11.
(A)

【2015 高考重庆,文 7】已知非零向量 a, b 满足 |b|=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的夹角为(

? ?

?

?

12.

? 2? 5? (C) (D) 3 6 2 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 【2014,安徽文 10】设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a
(B)

? 3

和 2 个 b 排列而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角 为
[来源:Zxxk.Com]

?

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

?2

?

?

( A.



2 ? 3

B.

? 3

C.

? 6

D.0

13.

【2014 上海,文 17】如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边, )

??? ? ??? ? P i (i ? 1, 2,?,7) 是小正方形的其余各个顶点,则 AB ? AP i (i ? 1,2,?,7) 的不同值的个数为(
(A)7 (B)5 (C)3 (D)1

14.【2014 福建,文 10】设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任
意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD 等于

??? ? ??? ? ??? ? ????





???? ? AOM .

???? ? B.2OM

???? ? C.3OM

???? ? D.4OM

15.【2015 高考福建,文 7】设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于(
A. ?

?

?

?

?

?

?

?



3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

O 为原点, B ? 0,3 ? , C ? 3, 16. 【2014 湖南文 10】 在平面直角坐标系中, 动点 D 满足 CD 0? , A ? ?1,0? ,

??? ?

?1,

则 OA ? OB ? OD 的取值范围是( A. ? 4, 6?

??? ? ??? ? ????



,19+1? B. ? 19-1 ? ?

2 7? C. ? 2 3, ? ?
)

,7 +1? D. ? 7-1 ? ?

17.

【2015 四川文 2】设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( (B)3 (C)4 (D)6

(A)2

18. (20 14 课标全国Ⅰ,文 6)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? (
A. AD

??? ? ??? ?

).

????

B.

1 ???? AD 2

C. BC

??? ?

D.

? 1 ??? BC 2


19. 20.
?

【2015 新课标 2 文 4】已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? ( B. 0 C. 1 D. 2
[来源:Z*xx*k.Com]

A. ? 1

? ?? ? ? ? ? ? ? 【2014 辽宁文 5】设 a, b, c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q: ?? ?
? ?


若 a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)

D. p ? (?q)

二、填空题 1. 【 2015
P A? P B=
高 考 山 东 , 文 13 】 . 过点 P 作 圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A, B , 则 ( 1 ,3)

2.

【2014 高考陕西版文第 13 题】设 0 ? ? ?
? ______.

?
2

,向量 a ? (sin 2? , cos? ),b ? (1,? cos? ) ,若 a ? b ? 0 ,

则 tan ?

3. 【2014 四川,文 14】平面向量 a ? (1, 2) ,b ? (4, 2) , c ? ma ? b( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与
? b 的夹角,则 m ?
.

?

?

?

? ?

?

?

?

? ? ? ? 4. 【2015 高考浙江, 文 13】 已知 e1 , 且 e1 ? e2 ? e2 是平面单位向量,
则b ?

?

? ? ? ? ? 1 . 若平面向量 b 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 , 2



5.

【2014 高考重庆文第 12 题】

已知向量 a与b 的夹角为 60?,且a ? (?2,?6),| b |? 10, 则a ? b ? _________.

?

?

?

?

? ?

AC ? 2a ? b , ?ABC 是边长为 2 的等边三角形, 6.【2015 高考安徽, 文 15】 已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a ,
则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论得序号)

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

7. 【2014 天津,文 13】已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上,
BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为________.
??? ? ??? ?

8.

【2015 高考天津,文 13】在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 点 E 和

点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 BE ?

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



9. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 12】 若向量 OA ? (1,?3) , | OA |?| OB | ,OA ? OB ? 0 ,
则 | AB |? ________.
[来源:Z+xx+k.Com]

10. 11.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【2015 高考湖北,文 11】.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? _________.
2 【2014 上海,文 14】已知曲线 C: x ? ? 4 ? y ,直线 l:x=6.若对于点 A(m,0),存在 C 上的点 P

和 l 上的点 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为

??? ? ??? ?

?

.

三、解答题 1.
【2014 高考陕西版文第 18 题】在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P(x, y) 在

?ABC 三边围成的区域(含边界)上,且 OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) .
(1)若 m ? n ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 ,求 |OP| ; 3
[来源:Zxxk.Com]

(2)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

参考答案
一、选择题 1.【解析】因为 2a ? (4,8) ,所以 2a ? b ? (4,8) ? (?1,1) =(5,7) ,故 选 A.
考点:本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题.

r

r r

2.

【答案】A

【考点定位】充分必要条件、向量共线. 【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线,属于容易题.解题时一定要注意 p ? q 时, p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件,否则很容易出现错误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假, 在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化.

3.【答案】B
【解析】由题意得 b ? a ? ? 3,1? ? ?1, 2 ? ? ? 2, ?1? ,故选 B. 【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题. 【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算,属于容易题.解题时要注意对应坐标分别相减, 否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算,即若 a ? ? x1, y1 ? ,

? ?

?

? ? ? b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

4.【答案】D

【考点定位】1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算. 【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算,属于较难题.解题时要注意运 行平行四边形法则的特点,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和

数量积的坐标运算,即若 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .

?

?

? ?

? ?

5.【答案】 B
? ? ? ? a ?b ? 3 ? 3m ? ? , 所以 cos ? 【解析】因为 cos ? a, b ?? ?? , 解得 m ? 3 ,故选 B . 6 2 32 ? m2 | a |?| b |
考点:平面向量的数量积、模与夹角. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式,建立 m 的方程即得. 本题属于基础题,注意牢记夹角公式并细心计算.

6.

【答案】 B

【解析】因为 | a ? b |?|| a || b | cos a, b |?| a || b | ,所以 A 选项正确;当 a 与 b 方向相反时, B 选项不成立, 所以 B 选项错误;向量平方等于向量模的平方,所以 C 选项正确;(a ? b)( a ? b) ? a ? b ,所以 D 选 项正确,故答案选 B . 【考点定位】1.向量的模;2.数量积. 【名师点睛】1.本题考查向量模的运算,采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性.

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

?

?2

?2

7.

【答案】A

【解析】由已知得, a ? 2a ? b ? b ? 10 , a ? 2a ? b ? b ? 6 ,两式相减得, 4a ? b ? 4 ,故 a ? b ? 1. 【考点定位】向量的数量积. 【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算,本题属于基础题,解决本题的关健在于掌握向量的模与向 量数量积之间的关系,还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.

?2

? ? ?2

?2

? ? ?2

? ?

? ?

8.【答案】A
【解析】∵ AB ? OB ? OA =(3,1) ,∴ BC ? AC ? AB =(-7,-4),故选 A. 【考点定位】向量运算 【名师点睛】对向量的坐标运算问题,先将未知向量用已知向量表示出来,再代入已知向量的坐标,即可 求出未知向量的坐标,是基础题.

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

9.

【答案】A

考点:向量的运算 【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线(平行) 、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题 的关键之所在,同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.

10.【答案】B

考点:平面向量的夹角、模,二次函数的最值,难度中等. 【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题,属于中档题目;

11.【答案】C
【解析】由已知可得 a ? ( 2a ? b) ? 0 ? 2a ? a ? b ? 0 ,设 a与b 的夹角为 ? ,则有
2
2

?

?

2 a ? a ? b cos? ? 0 ? cos? ? ?

2a 4a

2

2

1 2? ? ? ,又因为 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? ,故选 C. 2 3

【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角. 【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系,采用两向量垂直时其数量积为零来进行 转化.本题属于基础题,注意运算的准确性.

12.【答案】B.

考点:1.向量的数量积运算;2.分类讨论思想的应用. 【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识,2 个 a 和 3 个 b 排列所得的 S 结果有几种,需要进行讨论,要 注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法,根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质,表示出需 要研究的量的关系.

13.【答案】C
m ?0, 【解析】由数量积的定义知 AB ? AP i ? AB ? AP i ? cos ?P i AB ,记为 m ,从图中可看出,对 P 2, P 5, m ? 4 ,故不同值的个数为 3,选 C. 对P 1, P 3, P 6 , m ? 2 ,对 P 4, P 7,
【考点】向量的数量积及其几何意义. 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b|cos<a,b>?. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

14.【答案】 D

考点:平面向量的线性运算,相反向量. 【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有:忽 视向量的起点与终点,导致加法与减法混淆,对此,要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.

15.【答案】A
【解析】由已知得 c ? (1,2) ? k (1,1) ? (k ? 1, k ? 2) ,因为 b ? c ,则 b ? c ? 0 ,因此 k ? 1 ? k ? 2 ? 0 ,解

?

?

?

? ?

得k ? ?

3 ,故选 A. 2

【考点定位】平面向量数量积. 【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理,由已知 a, b 的坐标计 算 c 的坐标,再利用已知条件列方程求参数的值;本题还可以先利用向量运算,即 b ? c ? 0 ,

? ?

?

? ?

? ? ?2 a ? b ? kb ? 0 ,再引入坐标运算,属于中档题.

16【答案】D

【考点定位】参数方程;圆;三角函数 【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程,解决问题的关键是根据所给条件 CD 得到对应点 C 的轨迹, 然后得到其参数方程 ,根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式,运用三角函数知识不难 得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.

??? ?

17.

【答案】B

【解析】由向量平行的性质,有 2∶4=x∶6,解得 x=3,选 B 【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示,向量共线的性质,考查基本的运算能力. 【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题,我们通常有两条解决通道:一是几何法,可以结合正 余弦定理来处理.二是代数法,特别是非零向量的平行与垂直,一般都直接根据坐标之间的关系,两个非零 向量平行时,对应坐标成比例(坐标中有 0 时单独讨论);两个向量垂直时,对应坐标乘积之和等于 0,即通 常所采用的“数量积”等于 0.属于简单题.

18.

答案:A

解析:由于 D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中点,所以

??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? 1 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ???? EB ? FC ? ? BA ? BC ? CA ? CB ? ? BA ? CA ? AB ? AC ? ? 2 AD ? AD ,故选 A. 2 2 2 2 2

?

? ?

?

?

?

?

?

名师点睛:本题考查平面向量的加法、减法法则,线段中点的性质,考查转化能力,容易题.

19.【答案】C
【解析】 试题分析: 由题意可得 a 2 ? 1 ? 1 ? 2 , a ? b ? ?1 ? 2 ? ?3, 所以 ? 2a ? b? ? a ? 2a ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1.故选 C.
2

【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算. 【名师点睛】 全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运 算的准确性.本题所用到的主要公式是:若

a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

,则

a 2 ? x12 ? y12 , a ? b ? x1 y1 ? x2 y2 .

20.【答案】A

【考点定位】1、平面向量的数量积运算;2、向量共线. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题 将平面向量、简易逻辑联结 词结合在一起综合考查考生的基本数学素养,体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题,难 度不大,关键是要熟练掌握平面向量的基础知识,熟记“真值表”.

二、填空题 1.【答案】
【解析】 如图,连接 PO ,在直角三角形 PAO 中, OA ? 1, PA ? 3, 所以, tan ?APO ?

3 2

3 , 3

3 2 ) 1 ? tan ?APO 1 1 3 3 cos ?APB ? ? ? ,故 PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos ?APB ? 3 ? 3 ? ? . 2 2 2 1 ? tan ?APO 2 3 1 ? ( )2 3
2

1? (

【考点定位】1.直线与圆的位置关系;2.平面向量的数量积. 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积及数形 结合思想,解答本题 的关键,是 结合图形特征,灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”. 本题属于小综合题,以突出考查圆、直线与圆的位置关系为主,考查平面向量的数量积的定义、计算方法, 同时也考查了数形结合思想,本题的“几何味”较浓.

2.

【答案】

1 2

【解析】 试题分析:因为 a ? b ? 0 ,所以 sin 2? ?1 ? cos ? ? 0 ,即 sin 2? ? cos ? ,所以 2sin ? cos ? ? cos ? ;
2 2 2

? ?

因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 cos ? ? 0 ,故 2sin ? ? cos ? ,所以 tan ? ?

sin ? 1 1 ? ,故答案为 . cos ? 2 2

考点:共线定理;三角恒等变换. 【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理,三角恒等变换,属于容易题.解题 时一定要注意角的范围,否则很容易失分.解决此题的关键是三角变换,而三角变换中主要是“变角、变 函数名和变运算形式” ,其中的核心是“变角” ,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是 三角公式.

3.【答案】

2.

【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 【名师点睛】本题考查两向量的夹角,涉及到向量的模,向量的数量积等知识,体现了数学问题的综合性, 考查学生运算求解能力,综合运用能力.

4.【答案】 2

3 3

【解析】 由题可知, 不妨 e1 ? (1,0) ,e2 ? ( ,

? ?

?? ?

? ? ? 1 ? ? 1 3 3 设 b ? (x,y) , 则 b ?e 1 ?x ? 1 ,b ? e2 ? x ? ), y ? 1, 2 2 2 2

所以 b ? (1,

?

? 3 1 2 3 . ) ,所以 b ? 1 ? ? 3 3 3

【考点定位】1.平面向量数量积运算;2.向量的模. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件,设定 e1 , e2 的坐标形式, 利用向量的数量积的坐标表示得到 b 的坐标,进而确定其模.本题属于容易题,主要考查学生基本的运算能 力.

?? ?? ?

?

5.【答案】10
【解析】 试题分析: a ? ? ?2, ?6? ,? a ?

?

?

? ?2? ? ? ?6?
2

2

? 2 10

? ? ? ? 1 ? a ? b ? a ? b ? cos 60? ? 2 10 ? 10 ? ? 10 ,所以答案应填:10. 2
考点:1、平面向量的坐标运算;2、向量的模;3、向量的数量积. 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,向量的模,向量的数量积,本题属于基础题,注意 计算的 准确性.

6.【答案】①④⑤

【考点定位】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用. 【名师点睛】熟练掌握平面向量的单位向量、共线(平行) 、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质 是解决本题的关键之所在,同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.

7.

【2014 天津, 文 13】 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? , 点 E ,F 分别在边 BC 、DC 上,
??? ? ??? ?

BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为________.
【答案】2

【解析】 试题分析:

o

x

??? ? ???? 1 2 3 1 3 ), F ( , 3 ? ) ,由 AE ? AF ? 1 建立如图所示直角坐标系,则 A(?1, 0), B(0, ? 3), C (1, 0), D(0, 3), E ( , ? 3 3 ? ?
4 2 3 1 3 ) ? ( ? 1, 3 ? ) ? 1, ? ? 2. 得: ( , ? 3 3 ? ?

考点:向量坐标表示 【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,利用向量坐标运算解题,本题属于基础题.利用 坐标运算要建立适当的之间坐标系,准确写出相关点的坐标、向量的坐标,利用向量相等关系,列方程组, 解出未知数的值.向量问题考查有两种,一是借助向量的加法、减法、数乘、数量积运算,多考查向量的夹 角、向量的模、数量积,另一种是考查向量的坐标运算.

8. 【2015 高考天津 ,文 13】在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? ,
点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 BE ? 【答案】

点E和

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



29 18

【考点定位】平面向量的数量积. 【名师点睛】高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用 数量积的定义进行计算时 ,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算 ,运算时一定要注 意向量的方向,搞清两向量的夹角.

9.

【答案】 2 5

考点:平面向量的数量积,向量的模的求法,容易题. 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式,扎根基础知识,强调教材的重要性,充分体 现了教材在高考中的地位和重要性,考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正 确的计算平面向量的数量积和向量的模.

10.

【答案】 9 .

uur uu u r uur uu u r uur uur uu u r uur 2 ??? ? ??? ? 【解析】因为向量 OA ? AB ,所以 OA ? AB ? 0 ,即 OA ? (OB ? OA) ? 0 ,所以 OA ? OB ? OA ? 0 ,即

uur uu u r uur 2 OA ? OB ? OA ? 9 ,故应填 9 .
【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算,属基础题. 【名师点睛】将向量的加法运算法则(平行四边形法则和三角形法则)和向量的数量积的定义运算联系在 一起,体现数学学科知 识间的内在联系,渗透方程思想在解题中的应用,能较好的考查学生基础知识的识 记能力和灵活运用能力.

11.【答案】 [2,3]
【解析】由 AP ? AQ ? 0 知 A 是 PQ 的中点,设 P( x, y) ,则 Q(2m ? x, ? y ) ,由题意 ?2 ? x ? 0 ,

??? ? ??? ?

?

2m ? x ? 6 ,解得 2 ? m ? 3 .
【考点】向量的坐标运算. 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b|cos<a,b>?. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解

三、解答题 1.
【答案】 (1) 2 2 ; (2) m ? n ? y ? x ,1.

试题解析: (1)? A(1,1), B(2,3), C(3,2)

??? ? ??? ? ? AB ? (1,2) , AC ? (2,1)

? OP ? mAB ? nAC
又m ? n ?

??? ?

??? ?
2 3

??? ?

??? ? ?|OP|=2 2
??? ?

??? ? 2 ??? ? 2 ???? ? OP ? AB ? AC ? (2, 2) 3 3

(2)?OP ? mAB ? nAC

??? ?

??? ?

? ( x, y) ? (m ? 2n, 2m ? n)
即?

? x ? m ? 2n ? y ? 2m ? n

两式相减得: m ? n ? y ? x 令 y ? x ? t ,由图可知,当直线 y ? x ? t 过点 B(2,3) 时, t 取得最大值 1,故 m ? n 的最大值为 1.
y
3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

B C A
1 2 3 4 5

x

O
–1 –2 –3

考点:平面向量的线性运算;线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的线性运算;线性规划.简单的应用,属于中档题;向量问题与线

性规划问题的结合不是太常见,特别是在大题中,解题是要充分理解题意,将向量问题转化为线性规划问 题是解题的关键


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