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2014年全国高中数学联合竞赛一试(真题)


2014 年全国高中数学联合竞赛一试( A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1 1 1、若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 ? a ? b? ,则 ? 的值为_________. a b
2、设集合 ? ? b 1 ? a ? b ? 2? 中的最大元素与最小元素分别为 M , m ,则 M ? m 的值为 ______________. 3、若函数 f ? x ? ? x2 ? a x ?1 在 ?0, +? ? 上单调递增,则 a 的取值范围是__________. 4、数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

?3 ?a

? ?

2 ? n ? 2? a2014 an ? n ? N ? ? ,则 ? ________. n ?1 a1 ? a2 ? ? a2013

5、 正四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面是边长为 1 的正三角形,M , N 分别是边 AB, BC 的中点, 则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是___________. 6、设椭圆 ? 的两个焦点是 F1,F2 ,过点 F1 的直线与 ? 交于点 P, Q ,若 PF2 ? F 1F2 ,且

3 PF1 ? 4 QF1 ,则椭圆 ? 的短轴与长轴的比值为___________.
7、 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2, 圆心为 I , 若点 P 满足 PI ? 1 , 则 ?APB 与 ?APC 的面积之比的最大值为__________. 8、设 A、B、C、D 是空间四个不共面的点,以

1 的概率在每对点之间连一条边,任意两 2

对点之间是否连边是相互独立的,则 A、B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连 接的概率为_____________.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9、 (本题满分 16 分)平面直角坐标系 xOy 中, P 是不在 x 轴上的一个动点,满足条件:过

P 可作抛物线 y 2 ? 4 x 的两条切线,两切点连线 l P 与 PO 垂直.
设直线 l P 与直线 PO , x 轴的交点分别为 Q, R . (1)证明 R 是一个定点; (2)求

PQ QR

的最小值.

10、 (本题满分 20 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 使得

?
6

, an ?1 ? arctan ? sec an ? ? n ? N ? ? , 求正整数 m , 1 . 100

sin a1 ? sin a2 ?

sin am ?

11、 (本题满分 20 分)确定所有的复数,使得对任意复数 z1 , z2 z1 , z2 ? 1, z1 ? z2 , 均有
2 2 ? z1 ? ? ? ? ? z1 ? ? z2 ? ? ? ? ? z2

?

?

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