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江苏省扬州市2014-2015学年高一上学期末考试数学及答案


江苏省扬州市 2014-2015 学年高一上学期末考试 数学 2015.2
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

1. 若集合 A ? ?1,3? , B ? ?0,3? ,则 A ? B ? 2. sin210° 的值为 ▲ . ▲ . ▲ ▲ . . ▲ .

3. lg2+2lg 5 的值为

4. 函数 y ? tan(3 x ? ? ) 的最小正周期为 4 5. 函数 y ?

x?3?

1 的定义域为 1? x

6. 已知幂函数 f ( x) 的图象过 (2,

2 ) ,则 f (4) ? 2


▲ .



7. 函数 f ( x) ? ln ? x ? 2 ? 的单调递增区间为

8. 已知扇形的周长为 8cm ,圆心角为 2 rad ,则该扇形的面积 S 为 9. 在△ABC 中,已知 D 是 BC 上的点,且 CD=2BD.设 AB = a ,
→ →
?



cm2 .
A

AC = b ,则 AD =___▲____.(用 a , b 表示)

?



?

?

B

D 第 9 题图

C

10. 已知不共线向量 a 、 b , AB ? ta ? b (t ? R) , AC ? 2a ? 3b ,若 A 、 B 、 C 三点共线,则 实数 t 等于 ▲ .

11. 将函数 y ? sin x 的图象上所有点向左平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 3 3
▲ .

倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象的对称中心坐标为

12. 在 ?ABC 中,角 A 为钝角,且 AB=(1, m), AC=(m ? 3, ? 2 ) ,则 m 的取值范围是▲.
2 2 13. 已知函数 f ( x) ? x ? mx? | 1 ? x | (m ? R) ,若 f ( x) 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 个零点,则

实数 m 的取值范围是



. ▲ .

x ) ( ? 14. 已知 f ( x) 为 R 上增函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ? 则 f3 ? f ( x) ? 3 ? ? ? 4,

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 设集合 A 为方程 ? x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 的解集,集合 B 为不等式 ax ? 1 ? 0 的解集. (1)当 a ? 1 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知 |a| ? 4,|b| ? 3 , a, b 的夹角 ? 为 60 ,求:
0

(1) (a ? 2b) ? (2a ? b) 的值; (2) |2a ? b| 的值.

17. (本小题满分 15 分) 设向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1,cos? ),? 为锐角. (1)若 a ? b ?
? ?

5 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 2

(2)若 a / / b ,求

1 ? co s 2 ? 的值. sin 2 ?

18. (本小题满分 15 分) 某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖 成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 收购价格 (元/斤) 养殖成本 (元/斤) 1 月份 6 3 2 月份 7 4 3 月份 6 4.6 4 月份 5 5

现打算从以下两个函数模型:① y ? Asin ??x ? ? ? ? B,( A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) , ② y ? log2 ? x ? a ? ? b 中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份 之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式; (2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里 有没有可能亏损?

19. (本小题满分 16 分)

?2 x ? m 设 f ( x) ? x ?1 ( m ? 0, n ? 0 ) . 2 ?n (1)当 m ? n ? 1时,证明: f ( x) 不是奇函数; (2)设 f ( x) 是奇函数,求 m 与 n 的值; 1 (3)在(2)的条件下,求不等式 f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 的解集. 4

20. (本小题满分 16 分) 已知 a ? 0, 函数 f ? x ? ? a cos x ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ,其中 x ? ? ?

? ? ?? . , ? 2 2? ?

(1)设 t ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ,求 t 的取值范围,并把 f ? x ? 表示为 t 的函数 g ? t ? ; (2)求函数 f ? x ? 的最大值(可以用 a 表示) ; (3)若对区间 ? ?

? ? ?? 内的任意 x1 , x2 ,总有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ,求实数 a 的取值范围. , ? 2 2? ?

扬州市 2014—2015 学年度第一学期期末调研测试试题

高一 数 学 参 考 答 案
一、填空题: 1. ?0,1,3? 9. 2. ?

1 2

3.1

4.

? 3

5. {x | x ? ?3且x ? 1}

6.

1 2

7. ? 2, ?? ?

8.4

2? 1? 2 a? b 10 . ? 11 . (3k? ? ? ,0),(k ? Z ) 3 3 3 1 13. m ? ? 或 m ? ?1 14. 28 2
2 2

12 . (-3,1)

(1,2) (2,+?)

|1 ? x 2 | ? x 在区 13. 解:由题方程 x ? mx? |1 ? x | ? 0 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 解,即方程 m ? x
间 (0, 2) 上有且只有 1 解,从而函数 y ?

|1 ? x 2 | ? x, x ? (0, 2) 图象与直线 y ? m 有且只有一个公共 x

?1 ? x ? 2 x, x ? (0,1) 2 ? |1 ? x | ? x ? ??1, x ? 1 点。作出函数 y ? 的图象, x ? 1 ?? , x ? (1, 2) ? x
结合图象知 m ? ?

1 或 m ? ?1 2
x x

14.解: 令 f ( x) ? 3 ? t , 则 f( x) ? 3

故 3t ? t ? 4 , 显然 t ? 1 为 ? t , f (t ) ? 4 ,又 f (t ) ? 3t ? t ,

方程 3t ? t ? 4 一个解,又易知函数 y ? 3x ? x 是 R 上的增函数,所以方程 3t ? t ? 4 只有一

个解 1,故 f ( x) ? 3x ? 1 ,从而 f (3) ? 28
二、解答题: (解法不唯一,请关注学生答卷,合理给分) 15.解:(I)由 ? x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得 A ? ??4,2? ……………………………2 分

a ? 1 时, B ? ? ??,1?

…………………………………… …………… ……4 分 ……………………………………………………………7 分

? A I B ? ??4?
(2) Q A ? B

??4a ? 1 ? 0 ?? ? 2a ? 1 ? 0

……………………………………………………………10 分

??

1 1 ?a? 4 2
2

………………………………………………………

……14 分

16.解: (1)由题: a ? 16, b ? 9 , a b ? 4 ? 3cos 60 ? 6 …………………………3 分
0

2

? (a ? 2b) (2a ? b) ? 2a ? 3a b ? 2b ? 2 ?16 ? 3 ? 6 ? 2 ? 9 ? 32 ……………………7 分
2 2 (2)由题: |2a ? b| ? (2a ? b) ? 4a ? 4a b ? b ? 4 ? 16 ? 4 ? 6 ? 9 ? 49 …………11 分 2 2

2

2

?|2a ? b| ? 7

…………………………………………………………………………14 分

17.解: (1)由题 a ? b ? 2 ? sin ? cos ? ,若 a ? b ?

r r

r r

5 5 ,则 2 ? sin ? cos ? = , 2 2
……2 分

? sin ? cos ? =

1 2

2 所以 (sin ? ? cos? ) =1+2sin ? cos? ? 2 .又因为 θ 为锐角,所以 sin ? ? cos? = 2 …7 分

(2)因为 a / / b ,所以 tan ? ? 2 ,

……10 分

sin 2 ? ? 2cos 2 ? tan 2 ? ? 2 2 2 3 ? ? 1? ? 1? ? , 所以 2 2 2 sin ? tan ? tan ? 4 2

……15 分

18.解: (1)①选择函数模型 y ? Asin ??x ? ? ? ? B,( A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) 拟合收购价格(元/

斤)与相应月份之间的函数关系,……………………………………………1 分 由题: A ? 1, B ? 6, T ? 4 , T ?

? ? 2? ,? ? ? ,? y ? sin( x ? ? ) ? 6 ,………3 分 2 2 |?|

由题图象: y ? sin(

?
2

x ? ? ) ? 6 图象过点 (1, 6) ,?

?
2

x ? ? ? 0 一解为 x ? 1 ,?? ? ?

?
2



? y ? sin( x ? ) ? 6 ? 6 ? cos x 2 2 2

?

?

?

… ………………………………………………5 分

②选择函数模型 y ? log2 ? x ? a ? ? b 拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系 …………………………………………………6 分 由题: y ? log2 ? x ? a ? ? b 图象过点 (1,3) , (2, 4) , ?

? ?3 ? log 2 ?1 ? a ? ? b , ………8 分 ? ?4 ? log 2 ? 2 ? a ? ? b

解得: ?

?a ? 0 ,? y ? log2 x ? 3 , ?b ? 3

… …………………………………10 分

(2)由(1) :当 x ? 5 时,

y ? 6 ? cos

? 5? x ? 6 ? cos ? 6 , y ? log2 x ? 3 ? log2 5 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 2 2

当 x ? 6 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos 3? ? 6 ? 1 ? 7 , y ? log2 6 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 ? 7

当 x ? 7 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos

7? ? 6 , y ? log2 x ? 3 ? log2 7 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 2

当 x ? 8 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos 4? ? 6 ? 1 ? 5 , y ? log2 x ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 ? 5

当 x ? 9 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos

9? ? 6 , y ? log2 x ? 3 ? log2 9 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 2

当 x ? 10 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos 5? ? 7 , y ? log2 x ? 3 ? log2 10 ? 3 ? log2 16 ? 3 ? 4 ? 3 ? 7

当 x ? 11 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos

11? ? 6 , y ? log2 x ? 3 ? log2 11 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 2

当 x ? 12 时,

y ? 6 ? cos

?
2

x ? 6 ? cos 6? ? 5 , y ? log2 x ? 3 ? log2 12 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 6 ? 5

这说明第 8、9、11、12 这四个月收购价格低于养殖成本,生猪养殖户出现亏损。…14 分 答:今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损。…… ……………………15 分 评分说明:只要考生分析说明第 8、9、11、12 这四个月之一数据,并且得出今年该地区生猪养殖户 在接下来的月份里有可能亏损,就不扣分。

? 2x ?1 19. 解:(1)举出反例即可. f ( x) ? x ?1 , 2 ?1
? 2 ?1 1 ? ? , f (?1) ? 2 5 2 ?1 所以 f (?1) ? ? f (1) , f ( x) 不是奇函数; (2) f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) , f (1) ?


?

1 ?1 1 2 ? , 2 4

………………2 分 ………………4 分

?2? x ? m ?2 x ? m ? ? 对定义域内任意实数 x 成立. ………………6 分 2? x ?1 ? n 2 x ?1 ? n 化简整理得 (2m ? n) ? 22 x ? (2mn ? 4) ? 2x ? (2m ? n) ? 0 ,这是关于 x 的恒等式,所以 ?2m ? n ? 0, ?m ? ?1 ?m ? 1 所以 ? 或? . …………9 分 ? ?2mn ? 4 ? 0 ?n ? ?2 ?n ? 2 ?m ? 1 经检验 ? 符合题意. …………10 分 ?n ? 2
(若用特殊值计算,须验证,否则,酌情扣分)

?2 x ? 1 1 2 ? (?1 ? x ) (3)由(2)可知 f ( x) ? x ?1 2 ?2 2 2 ?1
易 判 断

………………11 分

f ( x)



R

















1 f ( f ( x)) ? f ( ) ? 0 4

得: f ( f ( x)) ? f (? ) ? f ( x) ? ?

1 4

1 ? 2x ? 3 4

………………14 分 ………………15 分

? x ? log 2 3

即 f ( x) ? 0 的解集为 (??,log 2 3) 20. 解: (1)因为 t 2 ?

…………16 分

?

1 ? sin x ? 1 ? sin x

?

2

? 2 ? 2 1 ? sin 2 x ? 2 ? 2 cos x ,又因为

? ? ?? x ? ? ? , ? ,所以 cos x ? 0, 从而 t 2 ? 2 ? 2cos x ,所以 t 2 ??2,4? .又因为 t ? 0 ,所以 ? 2 2?
? ,因为 cos x ? 1 t 2 ? 1 ,所以 g ? t ? ? 1 at 2 ? t ? a , t ? ? 2, 2? .-------4 分 t ?? 2, 2 ? ? ? ? 2 2 1 2 (2)求函数 f ? x ? 的最大值即求 g ? t ? ? at ? t ? a , t ? ? 2, 2? 的最大值. ? ? 2
1 1 ? 2 ? 1 ? 1? 1 g ? t ? ? a ? t 2 ? t ? ? a ? a ? t ? ? ? a ? ,对称轴为 t ? ? . a 2 ? a ? 2 ? a? 2a
当?
2

--------5 分

1 2 ? 2 ,即 a ? ? 时, g max ? t ? ? g a 2

? 2? ?

2 ;

当 2?? 当?

1 2 1 1 ? 1? ? 2 ,即 ? ? a ? ? 时, gmax ? t ? ? g ? ? ? ? ? ? a ; a 2 2 2a ? a?
--------9 分

1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? 0 时, gmax ?t ? ? g ? 2? ? a ? 2 ; a 2

综上, 当 a ? ? 当?

1 2 2 1 ?a; ? a ? ? 时, f ? x ? 的最大值是 ? 时, f ? x ? 的最大值是 2 ;当 ? 2a 2 2 2
------10 分

1 ? a ? 0 时, f ? x ? 的最大值是 a ? 2 . 2

(3)要使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 对区间 ? ?

? ? ?? 内的任意 x1 , x2 恒成立,只需 , ? 2 2? ?

? fmax ? x ? ? fmin ? x ? ? 1 .也就是要求 gmax ?t ? ? gmin ?t ? ? 1 对 t ? ? ? 2, 2? 成立
因为当 ?

1 2? 2 ? ,即 a ? 2 ? 2 时, gmin ?t ? ? g ? 2? ? a ? 2 ; a 2
且当 2 ? 2 ? a ? 0 时,

g min ? t ? ? g

? 2? ?

2

--------11 分

结合问题(2)需分四种情况讨论: ①?

1 1 ? a ? 0 时, gmax ? t ? ? gmin ? t ? ? a ? 2 ? 2 ? 1 成立,所以 ? ? a ? 0 ; 2 2

② 2 ?2? a ? ?

1 1 1 ? a ? 2 ? 1 ,即 ? a ? 2 ? 1 ? 0 ,注意到函数 时 g max ? t ? ? g min ? t ? ? ? 2 2a 2a

p ?a? ?

1 1 1 3 ? 1? ? a 在 2 ? 2 ? a ? ? 上单调递减,故 p ? a ? ? p ? ? ? ? ?1 ? ? ? ,于是 2a 2 2 2 ? 2?

1 3 1 ? a ? 2 ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? 0 成立,所以 2 ? 2 ? a ? ? 2a 2 2
③?

1 1 2 ? a ? 2 ? 2 时 g max ? t ? ? g min ? t ? ? ? ? a ? a ? 2 ? 1 ,即 ? 2a ? 3 ? 0 ,注意到函数 2a 2a 2 1 2 ? 2a 在 ? ? a ? 2 ? 2 上单调递增, 2a 2

q ?a? ?

故 q ?a? ? q ? ?

? ? ?

2? 3 2 1 6?3 2 2 ?? ,于是 ? 2a ? 3 ? ? 0 成立,所以 ? ? a ? 2 ?2; ? ? 2 ? 2 2a 2 2

④a ? ?

2 2 时, gmax ? t ? ? gmin ? t ? ? 2 ? a ? 2 ? 1 ,即 a ? 2 ? 3 ,所以 2 ? 3 ? a ? ? ; 2 2

--------15 分 综上,实数 a 的取值范围是 ? 2 ? 3, 0

?

?



………………16 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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