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导数测试试卷及答案


导数测试试卷 第 I 卷(选择题,共 60 分)
一 、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的。 1.函数 y=

1 的导数是 (3x ? 1) 2
B.

A.

6 (3 x ? 1) 3

6 (3x ? 1

) 2

C.-

6 (3 x ? 1) 3

D.-

6 (3x ? 1) 2

2.若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 x∈(a,b)时,f′(x)>0,又 f(a)<0,则 A.f(x)在[a,b]上单调递增,且 f(b)>0 B.f(x)在[a,b]上单调递增,且 f(b)<0 C.f(x)在[a,b]上单调递减,且 f(b)<0 D.f(x)在[a,b]上单调递增,但 f(b)的符号无法判断 3.若 f(x)=sinα -cosx,则 f′(α )等于 A.sinα B.cosα C.sinα +cosα D.2sinα 4 下列说法正确的是. A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 C.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值且 f′(x0)存在时,则有 f′(x0)=0 5.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 6.物体运动方程为 s=

1 4 t -3,则 t=5 时的瞬时速率为 4
C.125 m/s ( ) D.625 m/s

A.5 m/s B.25 m/s 7. 下列求导运算正确的是 A. ( x +
2

1 1 )?= 1 + 2 x x

B. (log 2 x) ?=

1 x ln 2

C. ( x cos x)?= - 2 x sin x 8. 函数 y =
2

D. (3x )?= 3x log3 e

x 的导数为 ( ) x +1 x3 - x - 1 x2 - 1 1- x 2 ? ? ? A. y = B. y = C. y = 2 x2 + 1 x +1 (1 + x 2 ) 2
A.(x+

D. y ?=

x- 1 x2 + 1

9.下列求导数运算正确的是

1 1 )′=1+ 2 x x

B.(log2x)′=

1 x ln 2

C. (3x)′=3xlog3e

D.(x2cosx)′=-2xsinx

10.过曲线 y=

1 1 上点 P(1, )且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为 x ?1 2
C.2y+8x-9=0 D.2y-8x+9=0

A.2y-8x+7=0 B.2y+8x+7=0 2x 11.函数 y=sin3 的导数为 A.2(cos32x)·32x·ln3 C.cos32x

B.(ln3)·32x·cos32x D.32x·cos32x

12.已知函数 y ? xf ?( x)的图象如右图所示 (其中f ?( x) 是函数f ( x)的导函数) ,下面四 个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )

y
2 1 -2 -1 -2
A
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

1

x

-2

o

2

x

B

C

D

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二 填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13.函数 y=(1+sin3x)3 是由___________两个函数复合而成. 14.函数 f(x)=cos2x 的单调减区间是___________. 15.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 y=x3+3x2-1 相切的直线方程是____ 16.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________ 三 解答题:本 大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0).若 f(x)的单调递减区间是(0,4) , (1)求 k 的值; (2)当 k<x 时,求证:2 x >3-

1 . x

18. (本小题满分 12 分) 三次函数 f(x)=x3-3bx+3b 在[1,2]内恒为正值,求 b 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 有一边长分别为 8 与 5 的长方形, 在各角剪去相同的小正方形, 把四边折起作成一个无 盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?

20. (本小题满分 12 分) 已知:f(x)=log3

x 2 ? ax ? b ,x∈(0,+∞).是否存在实数 a、b,使 f(x)同时满足下列两个条件: x

(1)f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2)f(x)的最小值是 1,若存在, 求出 a,b,若不存在,说明理由. .

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)满足:af(x)+bf(

1 c )= (其中 a、b、c 均为常数,且|a|≠|b|),试求 f′(x). x x

22(本小题满分 14 分) 知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b 2 2 4 2 4 2 4

是否存在实数 x ? [0, ? ],使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数 则 ) ? 若存在, 求出 x 的值;若不存在,则证明之.

导数测试试卷(一)答案
1.c 2D 3 A 4.D 5. D 6. C 7 B 8 A 9. B 10.A 11 A 12 C .13 y=u3,u=1+sin3x 14 .(kπ ,kπ + 15. 3x+y+2=0 17. 16 -15

? ),k∈Z 2

解: (1)f′(x)=3kx2-6(k+1)x 由 f′(x)<0 得 0<x<

2k ? 2 ∵f(x)的递减区间是(0,4) k



1 1 2k ? 2 1 =4, ∴ k=1.(2) 设 g(x)=2 x ? g ′ (x)= ? 2 当 x>1 时, 1< x <x2 ∴ k x x x

1 1 1 ? 2 ,∴g′(x)>0∴g(x)在 x∈[1,+∞)上单调递增∴x>1 时,g(x)>g(1)即 2 x ? >3 x x x
∴2 x >3-

1 x 8 3

18. 解:∵x∈[1,2]时,f(x)>0∴f(1)>0,f(2)>0∴f(1)=1>0,f(2)=8-3b>0∴b<

又 f′(x)=3(x2-b)(1)若 b≤1,则 f′(x)≥0f(x)在[1,2]上单调递增 f(x)≥f(1)>0 (2)若 1<b<

8 由 f′(x)=0,得 x= b 当 1≤x≤ b 时,f′(x)≤0 f(x)在[1, b ]上单调 3

递减,f(x)≥f( b ) f( b )为最小值 当 b <x≤2 时,f′(x)>0 f(x)在( b ,2]上单调递增

9 时,f(x)>0 4 9 综上(1) 、 (2) ,∴b 的取值范围为 b< . 4
f(x)>f( b )∴只要 f( b )>0,即 1<b< 19. 解: (1)正方形边长为 x,则 V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0<x< V′=4(3x2-13x+10)(0<x<

5 ) 2

5 ) V′=0 得 x=1 根据实际情况,小盒容积最大是存在的, 2

∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18. 20. .解:设 g(x)=

x 2 ? ax ? b x

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1
经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件.

21. .解:以 af(

1 代 x,得 x

1 )+bf(x)=cx x 1 c b ∴f( )= x ? f ( x ) x a a 1 c 代入 af(x)+bf( )= ,得 x x c b c af(x)+b[ x ? f ( x )] ? a a x c a ( ? bx ) ∴f(x)= 2 2 a ?b c c a ( 2 ? b) ∴f′(x)=- 2 2 a ?b x
22 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos

x x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

x x tan ? 1 x 2 x 2 x x x x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? ? 2 sin cos ? 2 cos2 ? 1 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 1 ? tan
? sin x ? cos x.

令f ( x) ? f ?( x) ? 0,即 : f ( x) ? f ?( x) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x
? 2 cos x ? 0. ? ? 可得 x ? , 所以存在实数 x ? ? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0. 2 2


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