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徐州市2013-2014学年度高二第一学期数学试卷及答案(文理通用)


徐州市 2013—2014 学年度第一学期期末抽测

高二数学试题(文理科共用)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题 ~ 第 20 题,共 20 题) 。本卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将

自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: 锥体的体积公式: V =

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 是高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上 . ........ .

(2,0) 1. 焦点为 的抛物线的标准方程为 ▲
2. “a ? b ? 0” 是 的 ▲ “a ? b ” 条件.



x2 y2 ? ? 1 的长轴长为 ▲ 3. 椭圆 9 4



4. 底面半径为 3 ,高为 2 的圆锥的体积为 ▲ 5. 命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是 ▲
2

. . .

6. 若直线 y ? 2 x 与直线 x ? ay ? 3 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值是 ▲ 7. 若曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 在点 ?x0 , sin x0 ? 处的切线与直线 y ? 值为 ▲ .
x ' 2 '

1 x ? 5 平行, 则 x0 的 2

8. 若函数 f ( x) ? x ? e ? f (1) ? x ,则 f (1) ?
2 2





9. 已知圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2 ,过原点的直线 l 与圆 C 相切,则所有切线的斜率之 和为 ▲ .

10. 在等边 V ABC 中, D , E 分别是 AB , AC 边上的中点,那么以 B , C 为焦点且过点

D , E 的双曲线的离心率是 ▲



11. 若 l , m 表示两条不相同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号). ②若 l ? m, l ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 l m, l ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . y 1

①若 l ? m, l ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ;

12. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c 过点 (0, 2) , 其导函 数 f ?( x ) 的图象如图所示, 则a+ b+ c = 13. 若 圆 O1 : ▲ .

x 2 ? y 2 ? 5 与 圆 O2 :

O

1

2

x

( x ? m) 2 ? y 2 ? 20 相交于 A, B 两点,且两圆在点
A 处 的切线互相垂直,则线段 AB 的长是 ▲


(第 12 题)

14 .已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 在区间 ? , e ? 上有两个极值,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答。 ....... 15.(本小题满分 14 分)
[来

?1 ?e

? ?

如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD , CD ? 2 AB , 平面 PAD ? 底面 ABCD ,

PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.
求证: (1)PA ? 底面 ABCD ; (2) 平面 BEF // 平面 PAD . P

F A D

B

E

C (第 15 题)

16.(本小题满分 14 分)

[来

在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x + 3)2 + ( y - 1)2 = 25 和 圆

C2 : ( x - 4)2 + ( y - 2)2 = 4 .
(1)判断两圆的位置关系; (2)求过两圆的圆心的直线的方程; (3)若直线 m 过圆 C1 的圆心,且被圆 C2 截得的弦长为 2 3 ,求直线 m 的方程.

17.(本小题满分 14 分) (文科生必做题)

[来

2 设命题 p : 曲线 y = x + 2 x + 2t - 4 与 x 轴没有交点;命题 q : 方程

x2 y2 + =1 4- t t - 2

所表示的曲线是焦点在 x 轴的椭圆. (1)若命题 p 为真命题,求实数 t 的取值范围; (2)如果“ p ? q ”为真命题, “ p ? q ” 为假命题,求实数 t 的取值范围. (理科生必做题) 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , 底 面 A B C D是 一 直 角 梯 形 , PA ? 底 面 A B C D,

?BAD ? 90? , AP ? BC , AB = BC = 1 , AD = AP = 2 , E 是 PD 的中点.
(1)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小; (2)求直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值. P

E

A

D

B

C (第 17 题)

18. (本小题满分 16 分) 已知 P 为椭圆

[来

x2 + y 2 = 1 上一点, F1 , F2 分别为该椭圆的左、右两焦点. 2

(1)若 VPF1 F2 为直角三角形,且 PF1 ? PF2 ,求 PF :PF2 的值; 1 (2)设点 M (t , 0)(t ? R) ,求 PM 的最小值(用 t 表示). 19. (本小题满分 16 分)
[来

如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000 cm ,四周空白的宽度为 10 cm ,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5 cm ,设广告牌的高为 xcm ,宽为 ycm
2

(x) (1) 试用 x 表示 y ; (2)用 x 表示广告牌的面积 S ;
(x) (2) 广告牌的高取多少时,可使广告牌的面积 S 最小?

(第 19 题)

[来

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

[来

1 m( x ? 1) 2 ? 2 x ? 3 ? ln x, m ? R 2

(1)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2) 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1,1) 处的切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点, 求实数

m 的取值范围.

2013—2014 学年度第一学期期末抽测

高二数学试题参考答案
一、填空题: 1. y 2 = 8x 7. 2. 充分不必要 9. - 2 3. 6 4.2 ? 5.?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ≥ 0 12. 6. 2

? 3

8. ?2e

10. 3 ? 1 11.①④

8 3

13. 4

14. ( , )

1 1 e 2

二、解答题: 15. ⑴因为 PA ? AD , 平面 PAD ? 底面 ABCD , 平面 PAD I 底面 ABCD ? AD ,PA ? 平面 PAD ,所以 PA ? 底面 ABCD .????????????????????4 分 ⑵因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,所以 EF // PD ,???????????6 分 而 EF ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD ,所以 EF // 平面 PAD ;????????8 分 因为 AB // CD , CD ? 2 AB ? 2 ED ,所以四边形 ABED 是平行四边形,????10 分 所以 BE // AD ,而 BE ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 BE // 平面 PAD ;??????????????????????????12 分 而 EF ? 平面 BEF , BE ? 平面 BEF , EF I BE ? E , 所以平面 BEF // 平面 PAD .???????????????????????14 分 16.⑴圆 C1 的圆心坐标为 ? ?3,1? ,半径为 5 ,圆 C2 的圆心坐标为 ? 4, 2 ? ,半径为 2 , ??????4 分 ? ?3 ? 4? ? ?1 ? 2? ? 50 ? 5 ? 2 ? 7 ,故两圆外离. y ?1 x ? 3 ? ⑵经过点 ? ?3,1? 和 ? 4, 2 ? 的直线,由直线的两点式方程,得 ,

C1C2 ?

2

2

2 ?1

4?3

整理得 x ? 7 y ? 10 ? 0 .

???????????????????????8 分

⑶经分析,直线 m 的斜率存在,故设直线 m 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 3? , 即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,?????????????????????????9 分 因直线 m 被圆 C2 截得的弦长为 2 3 ,且圆 C2 的半径为 2, 所以圆 C2 的圆心到直线 m 的距离为 1 ,故 解之得 k ? 0 或 k ? z P E D y

4k ? 2 ? 3k ? 1 k 2 ?1

? 1,
Z A

7 ,??13 分 24

B X C x 2 (第 17 题) 17. (文科)⑴若 p 为真命题,则 ? ? 2 ? 4 ? 2t ? 4? ? 0 ,??????????? 2 分, X

故直线 m 的方程为 y ? 1 或 7 x ? 24 y ? 45 ? 0 .??14 分

5 解得 t ? ;?????????????????????????????4 分 X 2

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆为真, ⑵若命题 q : 方程 4?t t ?2
则有 4 ? t ? t ? 2 ? 0 ,????????????????????????6 分

解得 2 ? t ? 3 .???????????????????????????8 分 又由题意“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,知命题 p 与 q 有且只有一个是正确的,?10 分 故有:①若 p 真 q 假时,则有 t ≥ 3 ;②若 p 假 q 真时,则有 2 ? t ≤ 综上所述, t 的取值范围是 2 ? t ≤

5 . 2

5 或 t ≥ 3 .?????????????14 分 2

(理科)⑴以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示空 间直角坐标系 A ? xyz ,则 A? 0,0,0 ,? B 1 ,0,0 ? ,

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AE ? CD 1 1 ,所以 AE , DC ? 60? , cos AE, CD ? uuu ? ? r uuu r 2? 2 2 AE ? CD
uuu r uuu r

? , D ?0,2,0 ? , P ?0,0,2? ??2 分 uuu r 因为 E 为 PD 的中点,所以点 E 为 ? 0,1,1? , AE ? ? 0,1,1? , CD ? ? ?1,1, 0 ? ,?4 分

1 ,1 ,0 ?C ?r uuu

即异面直线 AE 与 CD 所成的角为 60 ? .???????????????????7 分 ⑵设平面 PCD 的一个法向量 n ? ? x, y, z ? , PD ? ? 0, 2, ?2 ? , CD ? ? ?1,1, 0 ? ,

uuu r ? uuu r uuu r n g PD ? 2 y ? 2z ? 0 ? 由 n ? PD, n ? CD ,得 ? uuu ,令 y ? 1 ,得 x ? 1, z ? 1 . r n g CD ? ? x ? y ? 0 ? ?
所以 n ? ?1,1,1? 是平面 PCD 的一个法向量.?????????????????10 分

uur uur uur BP ? n BP ? ? ?1, 0, 2 ? , BP ? 5, n ? 3 , cos BP, n ? uur ?
BP ? n
故直线 BP 与平面 PCD 所成的角的正弦值为

uur

1 15 ? , 5 ? 3 15

15 .??????????????14 分 15

P 在以 F1F2 为直径的圆上, 18.⑴ⅰ)若 ?F 1PF 2 为直角,则
ì ? x2 2 ? ? + y =1 联立 í 2 ,解得点 P 的坐标为 ? 0, ?1? ,此时 PF1 : PF2 ? 1 ; ? 2 2 ? ?x + y =1 ? ?
(注:也可由椭圆定义: PF 1 + PF 2 = 2 2 ,及勾股定理,求出: PF 1=

2, PF2 =
2 , 2

2,

从而得出 PF1 : PF2 ? 1)??????????????????????????4 分

P 的横坐标为 1 ,代入椭圆方程得纵坐标为 ? ⅱ)若 ?F 1 F2 P 为直角,则点
? 2? 9 1 此时 PF1 ? ?1 ? 1? ? ? 1 : PF 2 ? 3, ? 2 ? ? ? 2 , PF2 ? 2 ,此时 PF ? ?
2 2

综上, PF1 : PF2 ? 1或 PF 1 : PF 2 ? 3 .???????????????????8 分

⑵设 P(x, y) 是椭圆

x2 x2 + y 2 = 1 上任意一点,则 y 2 = 12 2

所以 PM = g ( x) =

( x - t ) + y 2 = ( x - t ) + 1臌

2

2

1 x2 2 = ( x - 2t ) + 1 - t 2 ,???9 分 2 2

由椭圆范围可知: x ? 轾 犏 2, 2 , ⅰ)若 2t ? ? 2 ,即 t ? ?
2 - 2, 2 上单调增, 时, g ? x ? 在 轾 犏 臌 2

PM m i ? 2 ;??????????????????????11 分 ng ? 2 ? t ?

?

?

ⅱ)若 ? 2 ≤ 2t ≤ 2 ,即 ? ⅲ)若 2t ?

2 2 ≤t≤ 时, PMmin ? g ? 2t ? ? 1 ? t 2 ; ???13 分 2 2

2 ,即 t ?

2 - 2, 2 上单调减, 时, g ? x ? 在 轾 犏 臌 2

P M m i? n

?g 2 ? ? ?

t ?2

?

2

15 分 ? t ?;????????????????? 2

综上, PM min

? 2 , ? t ? 2 ,t ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 1? t2 ,? ≤t ≤ , ??????????????????16 分 2 2 ? ? 2 . ? t ? 2 ,t ? 2 ? ?

19.⑴每栏的高和宽分别为 ? x ? 20? cm ,

1 ( y - 25)cm ,其中 x ? 20 , y ? 25 . 2 y - 25 18000 =18000 ,整理得, y = + 25 .??4 分 两栏面积之和为: 2 ( x - 20) 2 x - 20

骣 18000 18000 x + 25÷ = + 25 x , ? x ? 20? ??????????? 7 分 ⑵ S ( x) = xy = x ? ÷ ? ÷ ? 桫 x - 20 x - 20
⑶ S? ( x) =

25( x - 20) - 36000

2

( x - 20)

2

,?????????????????????10 分

当 20 < x < 140 时, S ? (x) < 0 ;当 x > 140 时, S ?(x)> 0 ; 所以函数 S ( x) 在 ? 20,140? 上单调减,在 ?140, ??? 上单调增, ????????14 分 当 x ? 140 时, S ( x) 取得极小值,也是最小值为 S ?140? ,???????????15 分 答:当广告牌的高取 140cm 时,可使广告的面积 S ( x) 最小.??????????16 分 20.⑴由题意知, f (x) = - 2x + 3 + ln x , 所以 f ? ( x) = - 2 +

1 - 2x + 1 = (x > 0) .????????????????2 分 x x

1 1 令 f? (x)> 0 得 x ? ? ÷,所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ? ÷.????4 分 ?0, ÷ ?0, ÷
⑵由 f ? ( x) = mx - m - 2 +

骣 ? 桫 2÷

骣 ? 桫 2÷

1 ,得 f? (1) = - 1 ,又 f ?1? ? 1, x

所以曲线 y = f (x) 在点 P ?1,1? 处的切线 l 的方程为 y = - x + 2 ,???????6 分 因为 l 与曲线 y = f (x) 有且只有一个公共点, 即关于 x 的方程

1 2 m ( x - 1) - 2 x + 3 + ln x = - x + 2 有且只有一个解, 2

即 m(x - 1) - x + 1 + ln x=0 有且只有一个解.???????????????8 分

1 2

2

1 2 m(x - 1) - x + 1+ ln x (x > 0) , 2 2 1 mx - (m + 1) x + 1 ( x - 1)(mx - 1) = 则 g? ( x) = m ( x - 1)- 1 + = ( x > 0) .????10 分 x x x
令 g ( x) = ① m ≤ 0 时,由 g ? (x)> 0 得 0 < x < 1 ,由 g ?(x) < 0 ,得 x > 1 , 所以函数 g ( x) 在 (0, 1) 上为增函数,在 (1, +

) 上为减函数,

又 g (1)=0 ,故 m ≤ 0 符合题意;?????????????????????11 分

1 1 ,由 g ? (x) < 0 ,得 1< x < , m m 1 1 所以函数 g ( x) 在 ? 0,1? 上为增函数,在 (1 , ) 上为减函数,在 ( , + ) 上为增函数, m m
②当 0 < m < 1 时,由 g ? (x)> 0 ,得 0 < x < 1 或 x > 又 g (1)=0 ,且当 x 时, g (x) ,此时曲线 y = g (x) 与 x 轴有两个交点,

故 0 < m < 1 不合题意;?????????????????????????12 分 ③当 m = 1 时, g ? (x)≥ 0 , g ( x) 在 ? 0, ??? 上为增函数,且 g (1)=0 , 故 m = 1 符合题意;???????????????????????????13 分

1 1 或 x > 1 ,由 g ? (x) < 0 ,得 < x < 1 , m m 1 1 所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上为增函数,在 ( ,1) 上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, m m
④当 m > 1 ,由 g ? (x)> 0 ,得 0 < x < 又 g (1)=0 ,且当 x ? 0 时, g (x) ? ,此时曲线 y = g (x) 与 x 轴有两个交点, 故 m > 1 不合题意;????????????????????????????14 分 综上,实数 m 的取值范围 m ≤ 0 或 m ? 1 . ???????????????? 16 分


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