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江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合练习(四)


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学综合练习(四)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. Y 1. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据除以 100 后进行分析, C 得出新样本方差为 3,则估计总体的标准差为 . Y 2. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回箱 子,然后再摸出 1 只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 3. 设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] , 则点 P 纵坐标的取值范围是____ __ .

4. 若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 5. 已知抛物线 y 2 ? 2 px 的准线与双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左准线重合,

则抛物线的焦点坐标为 . 6. A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是一条弦, 它的长度大于等于半径长度的概率为 7. 对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 8. 如果圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1, 则实数 a 的取值范围是_________ 9. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一点, a 2 b2

且 PF1 ? PF2 , PF ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是 1

? x?0 ? y?0 ? 10. 在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围 x? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 ?
是 11. 已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设向量 PC ? 2PA ? PB ,则 PC 的最小值是

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

.

? a x ?5 ? x ? 6? ? ? 12. 已知函数 f ? x ? ? ? , 数列 ?an ? 满足 an ? f ?n? n ? N , a ?(4 ? ) x ? 4 ? x ? 6 ? ? 2

?

?

且数列 ?an ? 是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是____
3 13. 设函数 f ( x) ? x ? x ,若 0 ? ? ?

___.

?
2

时, f (m cos ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,

则实数 m 的取值范围是 14. 对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数”。 在实数轴(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x 。 这个函数[ x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。 那么 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? [log3 4] ? ? ? [log3 243 = . ] 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (II)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

16. (本题满分 14 分) 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点. D1 求证: (1)AC1∥ 平面 BDE; (2)A1E?平面 BDE. A1 B1 E D A B C1

C

17.(本题满分 14 分) 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,

BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 P D C ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂, 并铺设排污管道 AO、 BO、 OP, 设排污管道的总长为 ykm。 O (1)按下列要求写出函数关系式: ① 设∠ BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; A B ② OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; 设 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短

18.(本题满分 16 分) 已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? (1)求 b1,b2 , b3 , b4 ;

bn 1 . , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 1 ? an 2 (2)求数列{ bn }的通项公式;

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? an an?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立

19. (本题满分 16 分)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

2 ,椭圆上的点 2

到焦点的最短距离为 1-

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 2

?? ? ?? ? AP =? PB .

(1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

?? ?

?? ?

?? ?

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x (a 为实常数). (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f (x) 在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数 f (x) 在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围.

数 学 试 题及参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. Y C Y

1. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据除以 100 后进行分析, 得出新样本方差为 3,则估计总体的标准差为 . 【答案】 100 3 2. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回箱 子,然后再摸出 1 只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 【答案】

12 25

3. 设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则 点 P 纵坐标的取值范围是____ 【答案】 [ ,3] 4. 若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 【答案】2 5. 已知抛物线 y 2 ? 2 px 的准线与双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左准线重合,则抛物线的焦点坐标 为 .【答案】 ?1,0 ? . __

3 4

6. A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是一条弦,它 的长度大于等于半径长度的概率为 【答案】 2 3
2

7. 对一切实数 x ,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ?? 2,??? 8. 如果圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1, 则实数 a 的取值范围是_________ 【答案】 ( ?

3 2 2 3 2, ? )?( , 2) 2 2 2 2

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一点, a 2 b2

且 PF1 ? PF2 , PF ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是 1 【答案】 3

? x?0 ? y?0 ? 10. 在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围 x? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 ?
是 【答案】 7,8

?

?
??? ? ??? ?

11. 已知平面上的向量 PA 、PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设向量 PC ? 2PA ? PB , 则 PC 的最小值是 【答案】2
? a x ?5 ? x ? 6? ? 12. 已知函数 f ? x ? ? ? , 数列 ?an ? 满足 an ? f ?n? n ? N ? ,且数列 ?an ? a ?(4 ? ) x ? 4 ? x ? 6 ? ? 2

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

.

?

?

是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是____ 【答案】 ? 4,8?
3 13. 设函数 f ( x) ? x ? x ,若 0 ? ? ?

___.

?
2

时, f (m cos ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,

则实数 m 的取值范围是 【答案】(-∞,1) 14. 对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数”。在实数 轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x 。这个函数 [ x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 . [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? [log3 4] ? ? ? [log3 243] = 【答案】857 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (II)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2
解: (I)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),

?? ? ? f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ?? 2
令2k? ? ? k? ?

…………4 分 …………5 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 2

?

2 ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 6 3

? f ( x)的单调减区间为 [k? ?
(II)由 f ( A) ? 4 得

?

2 , k? ? ? (k ? Z )] 6 3

…………7 分

f ( A) ? 2 sin(2 A ? ? sin(2 A ?

?
6

)?3? 4

?
6

)?

1 2

又? A为?ABC的内角

?

?
6

6 ? 5? ?2A ? ? 6 6
?A?

? 2A ?

?

?

7? 6

?
3

…………10 分

3 ,b ? 1 3 1 3 ? bc sin A ? 2 2 ? S ?ABC ?
?c ? 2
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ?3 2
…………14 分 …………12 分

?a ? 3
16. (本题满分 14 分) 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点.

D1 A1 B1

C1

E D A B

C

求证: (1)AC1∥ 平面 BDE; (2)A1E?平面 BDE. (1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=O.由条件得 ABCD 为正方形, 故 O 为 AC 中点.因为 E 为 CC1 中点,所以 OE∥ 1. AC 因为 OE?平面 BDE,AC1?平面 BDE.所以 AC1∥ 平面 BDE. / (2)连接 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中,BE=B1E= 2a,BB1=2a.所以 BE2+B1E2= BB12. 所以 B1E?BE.由正四棱柱得,A1B1?平面 BB1C1C,所以 A1B1?BE. 所以 BE?平面 A1B1E.所以 A1E?BE.同理 A1E?DE.所以 A1E?平面 BDE. 17.(本题满分 14 分) 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 P D C CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理 三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边 界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理 O 厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总 长为 ykm。 A B (1)按下列要求写出函数关系式: ① 设∠ BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ② OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; 设 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ )① 由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠ BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

② OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= 若
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ )选择函数模型① y ? ,
'

?10cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? cos ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

? 1 ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 2 4

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6? ?6 4?

数,所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域 6

内且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

18.(本题满分 16 分) 已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ?

bn 1 . , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 1 ? an 2

(1)求 b1,b2 , b3 , b4 ;

(2)求数列{ bn }的通项公式;

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? an an?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立 解: (1) bn ?1 ? ∵a1 ?

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴b2 ?

1 3 , b1 ? 4 4

4 5 6 , b3 ? , b4 ? 5 6 7

……………4 分

(2)∵bn?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1 2 ? bn
……………6 分

∴ 数列{

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 bn ? 1
∴bn ? 1 ?



1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1
1 n?3

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

1 1 1 n ∴Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件设 f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 a=1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时,对称轴 ? ?

3 a?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 a ?1 2 a ?1

……………13 分

f(n)在 (??,1] 为单调递减函数.
2 f ( 1 ) a ? 1n ? ( 3 ? ( ) a?

n ? ?8 a ? 6) (

? ) a (? 1 3

?6 )? a8 ?4 ?1 5
……………15 分 ……………16 分

0

∴a ?

15 4

∴ a<1 时 4aSn ? b 恒成立

综上知:a≤1 时, 4aSn ? b 恒成立

19. (本题满分 16 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距 2

2 离为 1- , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP 2 (1)求椭圆方程;

?? ?

?? ? =? PB .

(2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围. y2 x2 2 c 2 (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2 2 x2 ∴ a=1,b=c= ,故 C 的方程为:y2+ =1 5′ 2 1 2 (2)由AP =λPB , OA+? OB = 4OP ∴ λ+1=4,λ=3 或 O 点与 P 点重合OP = 0

?? ?

?? ?

?? ?





?? ?

?? ?

?? ?





7′

当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 当 λ=3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ?y=kx+m ? ? 2 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 2 ? ?2x +y =1 Δ=(2km)2-4(k2+2) 2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) (m -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 11′ k +2 k +2 ∵ AP =3PB







? ∴ 1=3x2 ∴ -x
2

?x1+x2=-2x2 ? ? ?x1x2=-3x2
2

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴ 3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 2 2 2 2 整理得 4k m +2m -k -2=0 13′ 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2 2-2m 1 1 因 λ=3 ∴ k≠0 ∴ 2= 2 >0,∴ k -1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 2 2 容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪ ,1)∪ ( {0} 16′ 2 2 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a 为实常数).
2

(1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f (x) 在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数 f (x) 在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围. (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) , f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 0, x

故函数 f (x) 在 (1,?? ) 上是增函数.…………………………………………………4 分 (2) f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] . x

若 a ? ?2 , f ?(x ) 在 [1, e] 上非负 (仅当 a ? ?2 , x=1 时, f ?( x) ? 0 ) 故函数 f (x) 在 [1, e] , 上是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 , x ? 当 ………………………………………………6 分

?a 时, f ?( x) ? 0 ; 1 ? x ? 当 2

?a 时, f ?( x) ? 0 , 此时 f (x) 2

是减函数; 当

?a ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 是增函数.故 [ f ( x)] min ? f ( ) 2 2

?

a a a ln(? ) ? . 2 2 2
若 a ? ?2e 2 , f ?(x ) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f (x)

在 [1, e] 上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .……………………………………8 分 综上可知, a ? ?2 时,f (x) 的最小值为 1, 当 相应的 x 值为 1; ? 2e 2 ? a ? ?2 时,f (x) 当

的最小值为

?a a a a ;当 a ? ?2e 2 时, f (x) 的最小值为 a ? e 2 , ln(? ) ? ,相应的 x 值为 2 2 2 2

相应的 x 值为 e .……………………………………………………………………10 分 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵x ?[1, e] , ∴ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] )………………………………………………12 分 x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ?[1, e] ) ,又 g ?( x) ? ,…………………14 分 x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g (x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g (x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) . ………………………16 分


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