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山东省淄博市2013届高三第二次模拟考试 数学文 Word版含答案


高三复习阶段性检测试题 文 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后,将试卷和 答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:

V ?
锥体的体积公式:

1 Sh 3 ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.

如果事件 A,B 互斥, 那么

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?

; 如果事件 A,B 独立, 那么

P ? AB? ? P ? A? ? P ? B ?

.

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.集合 A.

A ? ??1,0,1?, B ? ? y y ? e x , x ? A?
B.

,则 A ? B =

?0?

?1?

C.

?0,1?

D.

??1,0,1?

1? i 2.复数 1 ? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为
A. ?1 B.0 C.1 D.2



1第

3.已知等差数列 A. ?14

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ?
C. ?12 D. ?11 是

B. ?13

4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积 A.1 B.2 C.3 D.4

? ? ?? f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ? , ? ? 2 2 ? 上的图象大致为 5.函数

6.在 ?ABC 中, “

sin A ?

? 3 ?A ? 3 ”的 2 ”是“

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

A B 2 , A ?D 1 ? ? ,
AM ?

?

A 6 0 ? , 点 M 在 AB 边 上 , 且

???? ??? ? ? 1 AB ,则 D M D B ? 3 等于

?
A. 8.设

3 2

3 B. 2

C. ?1

D.1
2

p在?0,5?
2 B. 5

上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为

1 A. 5

3 C. 5

4 D. 5

9.已知 x,y 满足条件 A. ?16 B. ?6

?x ? 0 ? ?y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
8 C. 3 ?

(k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k=

D.6

10. 已 知 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若 ?ABC 的 面 积 为 S , 且
页 2第

2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C
2

等于

3 A. 4

4 B. 3

4 C. 3 ?

3 D. 4 ?
2 2

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使 得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是

4 A. 3 ?
12.定义域为

5 B. 4 ?

3 C. 5 ?

5 D. 3 ?
A,B,M

? a, b? 的函数 y ? f ? x? 的图象的两个端点为

? x, y ? 是f ? x? 图象上任意一点,其中
???? ? MN ? k
恒成立,则称函数

???? ??? ? ??? ? x ? ? a ? ?1 ? ? ? b? ? ? R? ,向量 ON ? ? OA?? 1 ? ?? OB

,若不等式

f ? x ? 在?a, b?
? ?0, ??

1 y ? x ? 在 ?1,? 2 x 上“k 阶线性近似”.若函数 上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为

A.

B.

? ?1, ??

?3 ? ? ? ? 2 ? 2, ? ? C. ?

?3 ? ? ? 2 ? 2, ? ? ? D. ?

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是

______.

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 b 14.若双曲线 a 的左、右焦点分别为 F1,F2,
被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率
2

线 段 F1F2 为______. 函数

15.已知函数

f ? x?

在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是

f ? x?

的 一条 对称 轴;②
2 1

f ? x ? 2? ? ? f ? x ?
2

; ③当

1 ? x1 ? x2 ? 3 时 ,

? f ? x ? ? f ? x ?? ? ? x
f ? 2012?


? x1 ? ? 0, 则
从大到小的顺序为_______.

f ? 2013?

16.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)

已知函数 (I)求


f ? x ? ? 3 sin ? x? ? x ? cos 2 ? x ? cos

1 ?? ? 0 ? 2 , 其最小正

? . 周期为 2

f ? x?

的表达式;
3第

(II)将函数

f ? x?

? 的图象向右平移 8 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,
g ? x? ? k ? 0
? ?? ?0, ? ,在区间 ? 2 ? 上有且只有一个实数解,求实

得到函数

y ? g ? x?

的图象,若关于 x 的方程

数 k 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试 数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六 段:

?, , ?40,50? ,? 50, 60 ??? ? 90,100,得到如图所示的频率分布 ?

直方图. (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分 的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名 学生中成立“二帮一”小组,即从成绩 共同帮助

?90,100? 中选两位同学,

?40,50? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,

乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面 BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD. (I)AE//平面 BCD; (II)平面 BDE ? 平面 CDE. 20.(本小题满分 12 分)

?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4n?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? log2 cn . 等比数列
(I)求

an , Sn ;

第 19 题图

?bn ? 满足bn ?
(II) 数列

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ?

的前 n 项和, 是否存在正整数 m,

? m ? 1? , T1, Tm ,T6m 使得

成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 13 分) 已知

P ? x, y ?

为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率

k ? f ? x?

.



4第

1? ? ? m, m ? ? ? m ? 0? f ? x? 3? (I)若函数 在区间 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;
(II)当 x ? 1 时,不等式 22.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T) ,与抛物
2

f ? x? ?

t x ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围.

???? ???? ? F1P ? F2Q ? ?5 . 线交于不同的两点 P、Q 且
(I)求点 T 的横坐标

x0 ;

? 2? ?1, ? 2 ? ? ?. (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ?
①求椭圆 C 的标准方程;

??? ??? ???? ? ???? ? ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB F A ? ? F2 B ,若 ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 2 的取值范围.



5第

高三复习阶段性检测试题 文科数学参考答案及评分标准 选择题 1-5 B A D B C 6-10 A D C B C 11-12 A C 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

(13) (15)

2 ,?2 2

2 3 (14) 3
(16)66

f (2013 , f (2012) , f (2011 ) )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分)

f ( x ) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?
解: (I)

1 2

?

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) 2 2 2 6
T?

?????3 分

?
2,

由题意知 f (x) 的最小正周期 所以 ? ? 2

T?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

??????????????????????????5 分

?? ? f ? x ? ? sin ? 4 x ? ? 6? ? 所以

??????????????????6 分

? ? y ? sin( 4 x ? ) 3 的图象,再将所得图 (Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个 8 个单位后,得到
y ? sin( 2 x ? ) 3 的图象. 象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 g ( x) ? sin( 2 x ? ) 3 所以
0? x?
因为

?

?

??????????9 分

?
2 ,所以

?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

? ?? ? ?? 0, ?0, 2 ? g ( x) ? k ? 0 在区间 ? ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2 ? 上有且只有 ? ?
页 6第

?
一个交点,由正弦函数的图象可知

3 3 ? ?k ? 2 2 或 ?k ? 1

?
所以

3 3 ?k? 2 2 或 k ? ?1 .

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 . ????2 分

由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数为

1000 ? 0.86 ? 860 人.
(Ⅱ)成绩在 成绩在

???????????????????5 分

?40,50? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人

?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人,??????????7 分

[40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , ACD, ADE ????????10 分 ACE,

其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E

P?
所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 (19)(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得

4 1 ? 20 5 . ????12 分
E

DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC .
又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM ????4 分 ????2 分 C

D A M B

又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD
页 7第

所以 AE ∥平面 BCD .

????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . ????8 分

又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD , 则 CD ? 平面 BDE 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE . ????????????????????12 分 (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.) (20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ????????????????????10 分

c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4
得 c1 ? 2

????????2 分

c1 ? 4c1 ? 10

cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1
所以

????????4 分 ????????5 分

an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1
n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

Sn ?

????????6 分

bn ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 Tn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ?????8 分 于是
假设存在正整数
2

m ? m ? 1?

,使得

T1, Tm , T6m 成等比数列,则

6m ? m ? 1 ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 12m ? 1 ,
2 整理得 4m ? 7m ? 2 ? 0 ,

????????10 分



8第

m??
解得
?

1 4 或 m?2

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 , 因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 (21)(本小题满分 13 分)

T1, Tm , T6m 成等比数列

????????12 分

解: (Ⅰ)由题意

k ? f ? x? ?

1 ? ln x x ,x ?0

????????1 分

ln x ? 1 ? ln x ?? f ?? x? ? ? ? ?? 2 x ? x ? 所以

????????2 分

f ?? x? ? 0 f ?? x? ? 0 当 0 ? x ? 1 时, ;当 x ? 1 时, .
所以 故

f ? x?



? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ??? 上单调递减.
????????4 分

f ? x?

在 x ? 1 处取得极大值.

1? ? ? m, m ? ? f ? x? 3 ? ( m ? 0 )上存在极值, 因为函数 在区间 ?
?0 ? m ? 1 ? 1 ? 2 ?m ? 3 ? 1 3 ? m ? 1 所以 ? 得 ,

?2 ? 1? ? , m 的取值范围是 ? 3 ? . 即实数
f ? x? ? t ? x ? 1??1 ? ln x ? t? x ?1 得 x

????????6 分

(Ⅱ)由

????????7 分



g ? x? ?
g?? x ? ?

? x ? 1??1 ? ln x ?
x
x ? ln x x2 .



????????9 分



h ? x ? ? x ? ln x

1 x ?1 h? ? x ? ? 1 ? = x x 则

h? ? x ? ? 0 h ? x ? ?1, ? +? 因为 x ? 1, 所以 ,故 在 上单调递增,
所以


h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0

,从而

g? ? x ? ? 0


9第

g ? x?



+? ?1, ? 上单调递增,

????????11 分

g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是

? ??,2? .

????????13 分

(22)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 则

P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 )

F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) .

1 由 F P ? F2Q ? ?5 ,

得 又

x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①
2 2 2 2

???????2 分

P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立① 易得 、②

x0 ? 2

????????4 分

(Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 ,

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 设椭圆 C 的标准方程为 a ,

1 1 ? 2 ?1 2 b2 则a
a 2 ? b2 ? 1

③ ④ ???????5 分

将④代入③,解得 b ? 1 或
2

b2 ? ?

1 2 (舍去)
????????6 分

所以 a ? b ? 1 ? 2
2 2

x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的标准方程为 2
(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

????????7 分

x2 ? y2 ? 1 2 2 l 的方程代入 2 将直线 中得: (k ? 2) y ? 2ky ?1 ? 0 .??????8 分



A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,
10 第

可得:

y1 ? y2 ? ? 1 k ?2
2

2k k ?2
2



y1 y2 ? ?



???????9 分

y1 ?? F2 A ? ? F2 B ,所以 y2 因为 ,且 ? ? 0 .
将⑤ 式平方除以⑥ 式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2



? ? ? ?2, ?1? ? ? ? ? +
0 ? k2 ? 2 7

5 2

1

?

? ?2 ? ?

1 1 1 4k 2 ??? ?2?0 ?? ?? 2 ?0 2 ? 2 k ?2

所以

???????????????????????11 分

??? ??? ??? ??? TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 因为
y1 ? y2 ? ? 2k 4(k 2 ? 1) x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 k 2 ? 2 ,所以 k ?2 ,



??? ??? 2 16(k 2 ? 1)2 4k 2 2 2 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ? (k 2 ? 2)2 (k 2 ? 2)2 故
? 16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2 ,
t?


1 2 0 ? k2 ? k ? 2 ,因为 7
2

7 1 1 7 1 ? 2 ? t ?[ , ] 16 2 , 所以 16 k ? 2 2 ,即

??? ??? 7 17 | TA ? TB |2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? 4 2 . 所以 7 1 169 t ?[ , ] f (t ) ? [4, ] 16 2 ,所以 32 . 而

??? ??? 13 2 | TA ? TB |? [2, ] 8 .????????????????????13 分 所以
方法二: 1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时,


A(1,

2 2 ) B(1,? ) 2 , 2 ,
11 第

又 T (2,0) ,所以

??? ??? 2 2 TA ? TB ? ( ?1, ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

????8 分

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?2 由 得


A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?
x1 ? x2 ?

,显然

y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,

可得:

4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2
? 2k 1 ? 2k 2

????????9 分

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?



? k2 y1 ? y2 ? k ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2
2



y1 ?? y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 2 ,且 ? ? 0 .
将⑤ 式平方除以⑥ 式得:

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

由 ? ? ?? 2,?1? 得

??

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ?即 ? ? 2 ? 1

7 1 ?4 k2 ? ? ?0 2 2 故 2 1 ? 2k ,解得 ???????????????10 分 ??? ??? ??? ??? TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 因为

?



x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) 1 ? 2k 2 ,

TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4)2 ? ( y1 ? y2 )2 ?


16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

?

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2 ???????11 分
t?
7 1 k2 ? 2 2 1 ? 2k ,因为

0?
所以




? 1? 1 1 t ? ? 0, ? ? 2 1 ? 2k 8 ,即 ? 8 ? ,
12 第

??? ??? 2 5 17 ? 169 ? TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ? ? ? 4, ? 2 2 ? 32 ? . 所以

? 13 2 ? TA ? TB ? ? 2, ? ? 8 ? ? 所以

????????12 分

??? ??? 13 2 | TA ? TB |? [2, ] 8 . 综上所述:

????????13 分



13 第


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